ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

เส้นตรง ในฐานะเซตของจุด

 

อาจจะฟังดูแย่หน่อยที่นักคณิตศาสตร์ก็ “จนปัญญา” เหมือนกันที่จะหาคำมาอธิบายว่า “เส้นตรง” คืออะไร มันเป็นอย่างนั้นจริงๆ เราอาจจะคิดถึงคำอธิบายประมาณว่า “เซตของจุดที่เรียงตัวอยู่ในแนวเดียวกัน” …ซึ่งถ้าจะทำอย่างนั้นก็จะต้องรู้ก่อนว่า “แนวเดียวกัน” แปลว่าอะไร ทำไปทำมาเราก็เลี่ยงไม่ได้ที่จะต้องกลับมาใช้คำว่า “ตรง” คือวนกลับมาที่เดิม การพยายามอธิบายของพวกนี้จึงไม่ค่อยเกิดประโยชน์อะไร นอกจากทำให้เรื่องยืดยาวโดยใช่เหตุ … วิธีแก้ปัญหาแบบสั้นๆถูกนำมาใช้อีกครั้ง คือการสรุปว่า “ทุกคนรู้จักเส้นตรง ดังนั้นเราจะไม่ให้ความหมายมัน”

เรขาคณิตวิเคราะห์มีทางออกที่ง่ายกว่าอีกแล้ว โดยการบอกว่า …เราไม่ต้องรู้หรอกว่าเส้นตรง “คืออะไร” รู้แค่ว่าเส้นตรงมัน “หน้าตาเป็นยังไง“ ก็พอ

เส้นตรงหน้าตาเป็น “ความสัมพันธ์” บนเซตของจำนวนจริง (แปลว่าคือคู่อันดับ (x,y) ของจำนวนจริง แปลอีกทีว่าเป็น “เซตของจุด”) ซึ่งจุด (x,y) เหล่านั้นสอดคล้องกับสมการ

Ax + By + C = 0

โดยที่ A, B, C เป็นจำนวนจริง (คำว่าสอดคล้องกับสมการ แปลว่าแทนลงในสมการแล้วเป็นจริง)

เวลาสร้างรูปทั่วๆไปจากสมการ เราจะทำทีละจุด คือกำหนดค่า x เป็นตัวเลขอะไรก็ได้ตามใจชอบ แล้วแก้สมการหาค่า y ออกมา ก็จะได้พิกัดของจุด (x,y) ออกมาหนึ่งจุด เอาไปจิ้มลงในตำแหน่งนั้นๆบนแกนพิกัดฉาก ถ้าทำหลายๆครั้ง จุดก็เรียงตัวกันเป็นรูปบางอย่างออกมา

การวาดเส้นตรงไม่ต้องใช้พลังเยอะขนาดนั้น เพราะเรารู้ว่าจุดสองจุดสามารถมีเส้นตรงผ่านได้เส้นเดียว ถ้าแก้สมการเพื่อหาจุดออกมาให้ได้สักสองจุดก็เพียงพอที่จะวาดเส้นตรง เพราะแค่เอาไม้บรรทัดมาทาบให้ผ่านจุดทั้งสองแล้วลากเส้น ก็จะได้เส้นตรงแล้ว

ความชัน

เส้นตรงในเรขาคณิตวิเคราะห์มีสมบัติบางอย่างเพิ่มเข้ามาเรียกว่า “ความชัน”

ความชันเป็นตัวเลขที่จะบอกเราได้ว่า ถ้าต้องการไต่ขึ้น(หรือลง)ไปตามเส้นตรงนี้ จะใช้ความพยายามมากน้อยขนาดไหน ถึงนึกไม่ออกให้คิดถึงเวลาขึ้นบันได ถ้าการก้าวแต่ละครั้งต้องยกขาสูง เราจะบอกว่าบันไดนี้ชันมาก แต่ถ้าต้องก้าวไปข้างหน้ายาวๆ กว่าที่บันไดจะยกตัวขึ้นหนึ่งขั้น เราก็จะบอกว่าบันไดมันไม่ค่อยชันเท่าไหร่ ยิ่งถึงเดินบนพื้นราบ ก็จะบอกว่ามัน “ไม่ชันเลย”

ความชันของเส้นตรงในทางเรขาคณิตนั้นนิยามเลียนแบบความหมายที่เราใช้กันอยู่ในชีวิตประจำวัน ถ้าสมมุติว่าเส้นตรงคือบันได ความชันคืออัตราส่วนระหว่างความสูงที่ต้องยกขาขี้นบันไดหนึ่งก้าว หารด้วยความยาวที่เราต้องยืดขาไปข้างหน้าเพื่อขึ้นบันไดขั้นนั้น

ถ้าเป็นเส้นตรงบนแกนพิกัดฉาก การหาความชันทำได้โดยสร้าง “สามเหลี่ยมมุมฉาก” ขึ้นมาก่อน โดยใช้เส้นตรงที่มีเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก จากนั้นความยาวด้านประกอบมุมฉากตามแนวนอนจะเรียกว่า \Delta x และความยาวในแนวตั้งจะเรียกว่า \Delta y  ซึ่งหมายถึงค่า x และค่า y ที่เปลี่ยนไปเวลาเดินก้าวขึ้นบันไดเอียงๆนี้ เมื่อนำ \Delta y และ \Delta x มาหารกันก็จะได้สิ่งที่เรียกว่าความชันของเส้นตรง

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

%d bloggers like this: