เมทริกซ์ – ตอนที่ 2: บวก ลบ คูณ หาร

บวก – ลบ – คูณ

เพราะเมทริกซ์เกิดขึ้นมาเพื่อ “เลียนแบบ” ตัวเลข และทำในบางสิ่งที่ตัวเลขทำไม่ได้ สิ่งที่ต้องมีแน่ๆคือเราต้องนิยามการคำนวณต่างๆของเมทริกซ์ให้คล้ายกับของตัวเลขให้มากที่สุด และสอดคล้องกับการนำไปใช้ตามจุดประสงค์หลักที่มันเกิดมา :: เพื่อแก้ระบบสมการเป็นหลัก

 

การบวกและลบเมทริกซ์นั้นตรงไปตรงมา คือการนำสมาชิกในเมทริกซ์ที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันมาบวกลบกัน การบวกลบที่นิยามแบบนี้จึงบังคับไปในตัวว่า “มิติ” ของเมทริกซ์ที่นำมาบวกลบกันนั้นต้องเท่ากัน ไม่อย่างนั้นตัวใดตัวหนึ่งจะมี “บางตำแหน่ง” ที่อีกตัวไม่มี แล้วก็เลยไม่รู้จะเอาไปบวกลบกับใคร กฎข้อนี้เข้มงวดมาก จะหยวนๆให้กับเมทริกซ์สองตัวที่มิติใกล้เคียงกันก็ไม่ได้ ต้องเท่ากันเป๊ะๆเท่านั้น

 

สิ่งที่ซับซ้อนขึ้นมาหน่อยคือการคูณ หลายคนมักจะสงสัยว่าทำไมไม่นิยามการคูณเมทริกซ์ให้ง่ายๆ (คือคูณกันตัวต่อตัวไปเลย) เหมือนกับการบวกและลบ แต่กลายเป็นวิธีใหม่ที่ดูจำยากเหลือเกิน คำตอบตรงนี้ก็คือ เพื่อให้มันเหมาะสมต่อกระบวนการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (ซึ่งเดี๋ยวเราจะใช้คำตอบนี้ไปอีกหลายครั้งในเรื่องนี้)

ถ้าใครสันทัดจะจำ กฎสั้นๆของการคูณเมทริกซ์ที่เขานิยามไว้ คือ “เอาแต่ละแถว ไปคูณกับแต่ละหลัก ได้เป็นสมาชิกหนึ่งตัวของผลคูณ”

อธิบายได้ว่าแต่ละสมการในระบบจะมี “ค่าคงที่” คูณกับ “ตัวแปร” อยู่หลายคู่แล้วนำมาบวกกัน ขั้นตอนแรกของการแก้ระบบสมการด้วยเมทริกซ์คือพยายาม แยก ค่าคงที่และตัวแปรออกจากกัน (แต่ต้องแยกเพื่อให้คูณกันกลับมาได้ตัวเดิม) การคูณเมทริกซ์จึงประกอบด้วยสองขั้นตอนคือการคูณตัวต่อตัว (ซึ่งตั้งใจให้เป็นการคูณระหว่างชุดของค่าคงที่กับชุดของตัวแปร) และการนำผลคูณนั้นมาบวกกัน

 

แต่ต่อให้รู้ที่มาที่ไปว่าทำไมเราจึงคูณเมทริกซ์แบบนี้แล้ว ก็อาจจะยังไม่ช่วยให้หายงงเวลาลองไปนั่งคูณดูจริงๆ วิธีง่ายๆในการคูณเมทริกซ์ไม่ให้งงคือจัดรูปแบบการเขียนให้ดีกว่าเดิมสักหน่อย

วิธีการคือเขียนเมทริกซ์ตัวตั้งไว้บรรทัดปกติ แต่เขียนตัวคูณให้สูงขึ้นไปจากบรรทัดของตัวตั้ง เพื่อเว้นที่ว่างในบรรทัดปกติไว้เขียนผลคูณ เวลาคูณเราจะสามารถลากเส้นจากแต่ละแถวของตัวตั้ง มาตัดกับแต่ละหลักของตัวคูณในตำแหน่งที่ควรจะเป็นผลคูณ การทำแบบนี้ช่วยให้รู้ว่าต้องเอาแถวไหนมาคูณกับหลักไหน และพอคูณเสร็จแล้วต้องเขียนไว้ตรงไหน ความผิดพลาดก็จะลดลงได้

 

อินเวอร์สเมทริกซ์ :: การหารดีๆนี่เอง

สมัยประถมคงพอจำกันได้ว่าการหารจำนวนเต็มมันยากขนาดไหน พอเรียนม.ต้นก็มีการหารพหุนาม ซึ่งต้องใช้เครื่องไม้เครื่องมือแทบทั้งหมดที่เราเคยเรียนมาเกี่ยวกับพหุนาม พอมาถึงการหารเมทริกซ์เราก็จะรู้สึกคล้ายๆกันว่า “ทำไมมันยุ่งจังเลย” (ซึ่งก็เป็นความรู้สึกที่ถูกแล้ว) การหาอินเวอร์สซึ่งเทียบได้กับการหารเมทริกซ์นั้นใช้เครื่องไม้เครื่องมือที่ต้องยกเครื่องใหม่หมด แถมเครื่องมือเหล่านั้นก็แทบไม่ได้เอาไปใช้ที่อื่นอีกเลยด้วย

 

สมัยเรียนแก้สมการที่มีเครื่องหมายคูณ เช่น 5x = 15 เราต้องการให้เหลือ x ตัวเดียว พอเห็น 5 มากวนใจอยู่จึงต้องกำจัดมันทิ้งไป แต่ด้วยกฎของการแก้สมการที่บอกว่าจะทำอะไรต้องทำทั้งสองข้าง เราจึงเอา 5 ไปหารทั้งสองข้างของสมการ แล้วเราก็นั่งคิดเลขว่าเอา 15 ตั้ง หารด้วย 5 ได้อะไร …นั่งท่องสูตรคูณสักพักก็รู้ว่าได้ 3

หรือไม่อย่างนั้นเราจะใช้วิธีคูณก็ได้ แต่ต้องรู้ก่อนว่าอะไรคูณ 5 แล้วจะตัดกันหายไป (ได้ 1) นั่งคิดสักพักก็รู้ว่าคือ 1/5 ซึ่งเท่ากับ 0.2 (เรียกว่าอินเวอร์สการคูณของ 5) แล้วเอา 0.2 ไปคูณทั้งสองข้างของสมการ ก็จะได้คำตอบเดียวกัน

 

พอจะมาทำสิ่งเดียวกันกับสมการเมทริกซ์ เช่น AX = B เราก็น่าจะเอา A ไปหารทั้งสองข้างของสมการเหมือนกัน บังเอิญว่าวิธีการแบบเมทริกซ์ไม่มีขั้นตอนวิธีการหารที่จะเขียนออกมาได้ง่ายๆเหมือนการหารจำนวนหรือหารพหุนาม (คงจะมี แต่มันไม่ง่ายเลย … เราจึงไม่ต้องเรียนเรื่อง “การหารเมทริกซ์”) ก็เลยเลี่ยงมาใช้รวิธีคูณด้วยอินเวอร์สการคูณแทน ซึ่งทำง่ายกว่าการไปตะบี้ตะบันหาวิธีหารเป็นขั้นเป็นตอนออกมา

เมทริกซ์ – ตอนที่ 1: รู้จักเมทริกซ์

การมี “ตัวแปร” เกิดขึ้นในคณิตศาสตร์ทำให้เกิดสิ่งที่เรียกว่า “สมการ” ทำให้ปัญหาหลายอย่างแก้ได้ง่ายขึ้นมาก และทำให้คณิตศาสตร์เจริญเติบโตขึ้น มีพัฒนาการออกมาเป็นแขนงต่างๆมากมาย การมีตัวแปรเพียงแค่ตัวเดียว (มักจะให้ชื่อว่า) ก็ทำให้เรามีพหุนาม เอ็กซ์โพเนนเชียล ตรีโกณมิติ ฯลฯ เกิดขึ้นจนเป็นอย่างที่เห็นทุกวันนี้ (ซึ่งบางคนบอกว่า ไม่น่าจะเกิดมาเล้ยยย…) พอเกิดมีขึ้นมาแล้ว ก็ทำให้มีคำถามตามมาว่า…แล้วถ้าสมการมีตัวแปรหลายตัวล่ะ

สมการที่มีตัวแปรหลายตัวนั้นมีจริงๆ ตัวอย่างง่ายๆเช่น x+y = 5 แต่สิ่งที่เกิดขึ้นคือ สมการนี้มีหลายคำตอบ เพราะมีค่า x, y ที่ทำให้สมการเป็นจริงได้อยู่หลายคู่ เช่น x = 1, y = 4 หรือ x = 3,  y = 2 ก็ใช้ได้ทั้งนั้น

นักคณิตศาสตร์กลับไปนั่งคิดว่า เมื่อไหร่สมการหลายตัวแปรจึงจะมีคำตอบได้ชุดเดียว (นั่นคือมี x แค่ตัวเดียว มี y แค่ตัวเดียว) คิดไปคิดมาก็พบว่าสมการหลายตัวแปรจะต้องมี “หลายสมการ” ที่ใช้ตัวแปรชุดเดียวกัน ซึ่งเรียกว่า “ระบบสมการ” จึงจะหาคำตอบที่แน่นอนได้เพียงชุดเดียว เช่น

หลักการก็คือ เมื่อเรามีหลายๆสมการที่ใช้ตัวแปรร่วมกัน ค่าของตัวแปรจะเริ่ม “ดิ้นไปไหนไม่ได้” มากขึ้นเรื่อยๆ จนในที่สุดก็จะมีค่าของ x, y ที่ทำให้สมการเป็นจริงทั้งคู่ได้แค่ชุดเดียว

ในมุมมองแบบเรขาคณิตวิเคราะห์ สมการเชิงเส้นสองตัวแปรก็คือเส้นตรงเส้นหนึ่ง (ลองเอา x+y=5 ไปวาดเส้นตรงดูก็ได้) ทุกๆจุดบนเส้นตรงคือคำตอบของสมการ เนื่องจากเส้นตรงประกอบตัวจุดมากมาย คำตอบของสมการเชิงเส้น(สมการเดียว) จึงมีเป็นอนันต์ การที่มีระบบสมการทำให้มีเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งเพิ่มขึ้น ถ้าเส้นที่เพิ่มมานี้ตัดกับเส้นเดิมที่จุดจุดเดียว จุดนั้นก็จะเป็นคำตอบของระบบสมการ เพราะมันอยู่บนเส้นตรงทั้งสองเส้น เป็นจุดที่ทำให้ทั้งสองสมการเป็นจริงพร้อมกัน

ในขณะที่สมการเชิงเส้น 3 ตัวแปรมีหน้าตาเป็น “ระนาบ” คือเป็นแผ่นๆเรียบๆ ระนาบสองแผ่นที่ตัดกันจะได้รอยตัดเป็นเส้นตรง และถ้ามีอีกแผ่นมาตัดเส้นตรงนั้น ก็จะได้จุดจุดเดียวเป็นคำตอบของระบบสมการเช่นเดียวกัน

วิธีหาคำตอบของระบบสมการมีหลายวิธี เริ่มตั้งแต่ง่ายที่สุดคือ “ลองจับสมการนึงแทนในอีกสมการนึง” ไปเรื่อยๆจนกว่าจะเหลือตัวแปรเดียวให้แก้ได้ ซึ่งวิธีนี้เร็วดีเมื่อมีสองสมการ สองตัวแปร แต่ถ้าระบบเริ่มใหญ่โตกว่านั้น สมการก็จะวุ่นวาย และคนคิดก็จะเหนื่อยขึ้น

เมทริกซ์เกิดมาเพื่อสิ่งนี้

ระบบสมการหลายตัวแปรไม่ใช่ของง่ายนัก ปัญหาก็คือหากได้เรียนคณิตศาสตร์ให้สูงๆขึ้นไป เราจะได้พบเจอเจ้าระบบสมการหลายตัวแปรนี้บ่อยมาก มีตั้งแต่การแก้ระบบสมการเชิงเส้นแบบตรงไปตรงมา (ให้สมการเชิงเส้นมาเลย) กับแบบที่ซับซ้อนกว่านั้นคือระบบสมการไม่ได้เป็นเชิงเส้น แต่ใช้การคำนวณแบบประมาณๆว่าเป็นเชิงเส้นได้

ด้วยเหตุผลบางอย่าง นักคณิตศาสตร์เลยจำเป็นต้องหาเครื่องมือไว้คอยจัดการกับมัน เครื่องมือชิ้นนี้เรียกว่า “เมทริกซ์”

เมทริกซ์ถูกสร้างขึ้นเพื่อ “เลียนแบบ” ระบบจำนวน ต่างกันที่ว่าเมทริกซ์หนึ่งตัวมีหน้าตาเป็นตารางสี่เหลี่ยม ประกอบด้วยจำนวนหลายจำนวนอยู่ในนั้น แต่ถึงหน้าตาจะต่างกันเล็กน้อย หัวใจก็ยังเหมือนกัน เพราะเดี๋ยวเราจะพบว่าเมทริกซ์สามารถนำไปบวก ลบ คูณ หาร ยกกำลังได้คล้ายๆกับจำนวนที่เราใช้ๆกันอยู่

x + y = 5

X – y = 1

จากตัวอย่างข้างบน เมทริกซ์ถูกนำมาใช้แบบนี้ (ขออนุญาตแอบทำให้ดูก่อน) เราจะเขียนฝั่งซ้ายของสมการ (ข้างที่มีตัวแปร x, y) เป็นผลคูณของเมทริกซ์ (เขียนยังไง…เดี๋ยวดูเรื่องการคูณเมทริกซ์) ใส่เครื่องหมาย = ตัวเดียวไว้ตรงกลาง และฝั่งขวาก็จะเขียนเป็นเมทริกซ์อีกตัวนึง จะได้หน้าตาอย่างนี้

=

จากนั้น มอง ใหม่ว่าเมทริกซ์สองตัวทางซ้าย เป็นค่าคงที่ซะหนึ่งตัว (สมมุติว่าชื่อ A) เป็นตัวแปรหนึ่งตัว (สมมุติว่าชื่อ X) คูณกันแล้วได้ค่าคงที่ทางฝั่งขวามือ (สมมุติว่าชื่อ B) จากระบบสมการแรกที่มีสองบรรทัด ก็สามารถเขียนเป็นสมการใหม่ในบรรทัดเดียวได้ว่า

AX = B

        ซึ่งถ้าอยู่ในระบบจำนวน เราจะหาค่าของ X ได้ง่ายๆโดยย้าย A ไปหารทางฝั่งขวา

เมื่อเป็นเมทริกซ์ เราเกือบจะทำสิ่งเดียวกันเลย ต่างกันแค่ว่าการหารของเมทริกซ์ไม่ได้เรียกว่าการหารเท่านั้นเอง (แต่เรียกว่าการคูณด้วยอินเวอร์ส) ซึ่งวิธีนี้ทำให้การแก้สมการหลายตัวแปรที่ดูน่าจะแก้ยาก กลายเป็นการคูณหารธรรมดาในระบบเมทริกซ์ไปทันที