เรขาคณิตวิเคราะห์ ตอนที่ 2: ว่าด้วยจุด

จุด

ตอนเด็กๆ การเขียนจุดคือการเอาดินสอจิ้มลงไปหนึ่งครั้งบนกระดาษ ออกแรงกดอย่างเดียวโดยไม่ต้องลากไปมา เราก็จะได้จุดตามต้องการ จะเล็กหรือใหญ่ขึ้นอยู่กับว่าออกแรงมากน้อยขนาดไหน หรือถ้าต้องการจุดใหญ่มากก็จะต้อง “ฝน” วงกลมเล็กๆให้เต็มวง ซึ่งอนุโลมเรียกว่าจุดได้

ที่ว่ามาคือวิธีเขียนจุดบนกระดาษ ไม่ได้บอกว่าจุดคืออะไร

แล้วจุดคืออะไรล่ะ ?

ในทางคณิตศาสตร์ ถ้าเราอุตริไปบอกว่าจุดคือ “สิ่งที่เขียนได้โดยวิธีการข้างต้น เริ่มจากการใช้ดินสอจิ้ม… ฯลฯ” เราจะพบว่าจุดของแต่ละคนหน้าตาไม่เหมือนกัน เล็กบ้าง ใหญ่บ้าง เบี้ยวๆ รีๆบ้างก็มี … หรือถ้าเปลี่ยนใหม่โดยบอกว่าจุดคือ “ตำแหน่งที่เส้นตรงสองเส้นตัดกัน” เราจะพบปัญหาว่าต้องไปอ้างถึงเส้นตรงต่อไปอีก ก็จะมีคำถามว่า “แล้วเส้นตรงคืออะไร” “ตัดกันแปลว่าอะไร” และ “ตำแหน่งคืออะไร” ทำไปทำมาก็จะพบว่าการนิยามจุดมันยากเหลือเกิน ต้องใช้ความรู้เกือบทั้งหมดที่เรามีเพื่ออธิบายของง่ายๆ …แค่จุด

นักคณิตศาสตร์แก้ปัญหาด้วยวิธีเดิม … คือตกลงกันว่า “จุด” เป็นสิ่งที่ไม่ต้องนิยาม คือเชื่อมั่นแน่นอนว่าทุกคนเข้าใจตรงกันว่าจุดคืออะไร ให้ใครมาชี้ก็ชี้ได้ว่าอันนี้ใช่จุด อันนั้นไม่ใช่จุด … จุดจึงเป็น “อนิยาม” ตั้งแต่นั้นมา

แต่การให้ความหมายไม่ได้ ไม่ได้แปลว่าเราจะไม่ต้องเรียนมัน

กลับกัน มีเรื่องมากมายเกี่ยวกับจุดที่จะได้เรียนในวิชาคณิตศาสตร์ ยกเว้นเรื่องเดียวเท่านั้นแหละ คือคำถามว่า “จุดคืออะไร”

จุดในวิชาเรขาคณิต หน้าตาเป็น “คู่อันดับ” ซึ่งประกอบด้วยจำนวนจริงสองตัวเขียนเรียงกันในวงเล็บ คั่นด้วยลูกน้ำตรงกลาง หมายถึงพิกัดตามแนวแกน x และแกน y ตามลำดับ

ค่า x หรือเลขตัวแรกในคู่อันดับ บอกว่าจุดของเรานั้นอยู่ทางซ้ายหรือทางขวาของจุดกำเนิด (จุดที่แกน x และ y ตัดกัน) เป็นระยะทางเท่าไหร่ ส่วนค่า y ก็บอกว่าจุดของเราอยู่ด้านบนหรือด้านล่างของจุดกำเนิดเป็นระยะทางเท่าไหร่ เช่น (1,5) แปลว่าจุดนี้อยู่ทางขวาของจุดกำเนิด วัดไป 1 หน่วย และอยู่ด้านบนของจุดกำเนิด วัดขึ้นไปจากเมื่อกี้อีก 5 หน่วย

เหตุที่เราต้องใช้ตัวเลขถึงสองตัวในการเรียกจุดหนึ่งจุดเป็นเพราะ “จุดเดียวไม่พอใช้” ในระนาบ ถ้าบอกตัวเลขแค่ค่าเดียวเราจะบอกได้แต่ระยะทาง โดยไม่รู้ว่าต้องเดินอย่างไร ซึ่งการบอกเลขสองตัวให้เดินซ้าย – ขวา – ขึ้น – ลงนั้นเพียงพอต่อการใช้งานในระนาบ ก็เลยตกลงกันว่าให้ใช้คู่อันดับในการบอกตำแหน่งจุดหนึ่งจุด

ถึงจุดจะมีหน้าตาเป็นคู่อันดับ แต่จุด “ไม่ใช่” คู่อันดับนะ งงไหม…

การเรียกจุดด้วยคู่อันดับเป็นการบอก “คุณสมบัติ” อันหนึ่งของจุดหนึ่งจุด คือบอกว่าจุดนั้น “อยู่ตรงไหน” (ซึ่งก็ไม่ได้บอกว่าจุดคืออะไรอยู่ดี)

คู่อันดับยังถูกนำไปใช้ที่อื่น ซึ่งไม่ได้หมายความถึงจุดเลยก็มี เช่น ในเรื่องทฤษฎีจำนวน เราสามารถเขียน (A, B) หมายถึง “ตัวหารร่วมมากของ A และ B” ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันในวิชานั้น ทำให้ช่วยยืนยันได้ว่าจุดกับคู่อันดับไม่ใช่สิ่งเดียวกัน เราแค่ใช้คู่อันดับมาเป็นชื่อเรียกของจุดในวิชานี้เท่านั้นเอง

จุดกำเนิด

อันที่จริงแกน x และ y ก็คือเส้นจำนวนสองเส้นมาวางตั้งฉากกันโดยให้เลข 0 ของทั้งสองเส้นมาเจอกันพอดี ตรงจุดที่แกน x และ y ตัดกันเรียกว่าจุดกำเนิดจึงมีพิกัดเป็น (0,0)

จุดกำเนิดทำตัวเป็น “ศูนย์กลาง” และเป็น “มาตรฐาน” ให้จุดอื่นๆทั้งหมดบนระนาบนี้มาวัดค่าเปรียบเทียบกับมัน นั่นคือการจะบอกว่าอะไรอยู่ตรงไหนบนแกนพิกัดฉาก (บน ล่าง ซ้าย ขวา) ตำแหน่งของมันจะถูกวัดโดยเทียบกับจุดกำเนิดเสมอ

เดาเอาว่าทำไมมันถึงชื่อว่าจุดกำเนิด

มีสองคำอธิบายที่ฟังดูดีทั้งคู่ คำอธิบายชุดแรกคือ ในวิชาฟิสิกส์ จะยุ่งเกี่ยวกับสิ่งที่เรียกว่า “เวกเตอร์” ซึ่งวางอยู่บนแกนพิกัดฉากเหมือนกัน การเรียกเวกเตอร์ใช้สัญลักษณ์คล้ายๆการเรียกจุด เช่นเขียนว่า <1,5> แปลว่าเวกเตอร์ที่มีองค์ประกอบแนวนอน 1 หน่วย แนวตั้ง 5 หน่วย หรือเป็นเวกเตอร์ที่มี “หัวลูกศร” อยู่ที่จุด (1,5) และ “หาง” อยู่ที่ (0,0) โดยไม่จำเป็นต้องเขียนตำแหน่งหางให้เห็น การถือเอาจุด (0,0) เป็นหางนี้ถือเป็นมาตรฐาน แปลว่าจะสร้างเวกเตอร์ใดๆก็ตามจะมี “หาง” (หรือจุดที่เริ่มลากเส้น) จาก (0,0) ออกไปเสมอ ถ้าจะโยงเข้าเรื่องนี้ก็คงพูดได้ว่าจุด (0,0) เป็น “ที่เกิด” หรือ “จุดกำเนิด” ของเวกเตอร์ทั้งหลาย

อีกคำอธิบายนึงคือ ถ้าเราได้เรียนการสร้างรูปภาคตัดกรวยในครึ่งหลังของบทนี้ จะพบว่าสมการรูป “อย่างง่าย” ของแต่ละรูปนั้นให้รูปที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) ทั้งนั้นเลย ก่อนที่เราจะเลื่อนแกนเพื่อเคลื่อนย้ายรูปไปอยู่ที่อื่น จึงน่าจะพูดได้ว่าจุด (0,0) เป็น “บ้านเก่า” หรือ “ที่เกิด” ของรูปเรขาคณิตอย่างง่ายได้เหมือนกัน

เซตของจุด

ในบทเรียนเรื่องเซต เราได้รู้ว่าเซตนั้นเป็นกล่องวิเศษ ใส่อะไรลงไปก็ได้ทั้งนั้น รวมถึงใส่ “จุด” ก็ได้ การสร้างรูปเรขาคณิต (รวมทั้งรูปทุกชนิดที่วางอยู่บนแกนพิกัดฉาก) ทำได้โดยการเรียงจุดจำนวนมากมายนับไม่หวาดไม่ไหวให้อยู่ติดๆกันจนดูแล้วกลายเป็นเส้นขึ้นมา เส้นที่ได้นี้จะเป็นรูปอะไรขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่บังคับให้จุดเรียงตัวกัน ซึ่งก็คือ “สมการ” นั่นเอง

ในเรื่อง “ความสัมพันธ์” เรานิยามว่าความสัมพันธ์คือเซตของคู่อันดับซึ่งสมาชิกตัวหน้าอยู่ในเซตหนึ่ง สมาชิกตัวหลังอยู่ในอีกเซต สมาชิกตัวหน้าและตัวหลังจะ “เกี่ยวดอง” กันด้วยอะไรบางอย่าง ซึ่งมักจะคือสมการนั่นเอง นั่งดูดีๆสักพักก็จะรู้ว่า “เซตของจุด” ซึ่งวาดเป็นรูปเรขาคณิตได้ในบทนี้…มันคือ “ความสัมพันธ์” ดีๆนี่เอง

ในบทเรขาคณิตวิเคราะห์จะไม่ค่อยได้ใส่ใจฐานะ “ความสัมพันธ์” ในบทก่อนหน้าสักเท่าไหร่ แต่จะข้ามขั้นไปเป็นการเชื่อมโยงระหว่างสมการกับรูปกราฟที่สมการนั้นให้ออกมา (ซึ่งที่จริงรูปนั้นคือกราฟของความสัมพันธ์นั่นแหละ) การคิดคำนวณก็จะวนอยู่กับเรื่องสมการ รูปที่วาดได้จากสมการ และสมบัติต่างๆของรูปเหล่านั้น เรขาคณิตวิเคราะห์บอกเราว่า ถ้ามีอย่างใดอย่างหนึ่งในสามอย่างนี้ เราสามารถหาอีกสองอย่างที่เหลือได้ เช่นให้ข้อมูลของรูปวงรีมาว่ากว้าง – ยาวเท่าไหร่ เราสามารถจะหาสมการวงรีได้โดยไม่ต้องวาดรูปเลย หรือถ้าให้สมการพาราโบลามา เราสามารถหาจุดยอด จุดโฟกัส ฯลฯ ได้โดยไม่ต้องวาดรูปอีกเช่นกัน

เรขาคณิตวิเคราะห์ ตอนที่ 1: แปลชื่อวิชา

เรขาคณิตวิเคราะห์

รู้จักเรขาคณิตกันซะก่อน…

 

เรขาคณิต มีชื่อภาษาอังกฤษว่า Geometry

ถ้าใครรู้รากศัพท์อังกฤษสักหน่อย จะพอแยกคำนี้ได้เป็น Geo + metry

 

Geo แปลว่า “โลก”

ส่วน metry แปลว่า “การวัด”

 

ดังนั้นถ้าเอารากศัพท์มารวมกันตรงๆ จะได้ความหมายของเรขาคณิตว่าคือ “การวัดโลก”

ซึ่งโดยกำเนิดของคำนี้แล้ว ไม่ได้ผิดไปจากความหมายของมันเลย

 

ความรู้เรื่องการหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม วงกลม ฯลฯ เหล่านี้ กำเนิดมาจากศาสตร์แขนงหนึ่งชื่อว่า การรังวัด แปลว่าการหารูปร่างและขนาดของที่ดินซึ่งรู้ขอบเขตที่แน่นอน ความรู้สำคัญที่ได้จากเรื่องการรังวัดก็คือ ที่ดินในความครอบครองของใครสักคนอาจมีรูปร่างแปลกๆอย่างไรก็ได้ (ขอให้เป็นเหลี่ยมๆ ไม่ใช่โค้งๆ) แต่รูปเหล่านั้นสามารถนำมาแตกย่อยเป็นรูปสามเหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมเล็กๆหลายๆรูปต่อกันได้เสมอ รูปร่างพื้นฐานจำพวกสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และหลายเหลี่ยม เหล่านี้เรารู้จักกันในนาม “รูปเรขาคณิต” ซึ่งแตกต่างจากรูปร่างอิสระอื่นๆตรงที่มันมีสูตรการคำนวณพื้นที่ที่แน่นอนและไม่ค่อยซับซ้อนเท่าไหร่

เรขาคณิตอย่างง่าย ที่เราได้เรียนกันในสมัยประถมสืบมาจนถึงตอนนี้ เป็นเรขาคณิตบนระนาบ แปลว่าเป็นรูปร่างบนกระดาษหรือพื้นอะไรก็ตามที่แบนๆ เรียกว่าเรขาคณิตของ “ยูคลิด” เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ซึ่งเป็นคนรวบรวมและคิดค้นระเบียบวิธีคิดเกี่ยวกับ “รูปร่างบนแผ่นแบนๆ” ทั้งหลายไว้

 

ต่อมาเมื่อผู้คนเริ่มรู้ว่าโลกไม่ได้แบน แต่มีลักษณะเกือบๆกลม การวัดหรือคำนวณอะไรก็ตามบนผิวโลกต้องทำโดยถือว่ามันเป็นผิวโค้ง ซึ่งได้คำตอบไม่เท่ากับตอนที่คำนวณบนระนาบแบบๆ ก็เลยมีคนคิดวิธีคำนวณต่างๆขึ้นมาสำหรับรูปร่างบนผิวโค้ง ซึ่งผิวโค้งมีได้หลายแบบเช่นทรงกลม ทรงกรวย อานม้า ทรงกระบอก ฯลฯ การคำนวณก็จะแตกต่างกัน เกิดเป็นเรขาคณิตอีกสาขาใหญ่ๆสาขาหนึ่ง เรียกว่าเรขาคณิตนอกแบบยูคลิด (Non-Euclidean Geometry) ความหมายของมันก็เป็นไปตามชื่อ คือเป็นเรื่องเรขาคณิตในแบบอื่นๆที่ยูคลิดไม่ได้เขียนไว้

ถ้าสมมุติว่าเราต้องการวัดพื้นที่ของประเทศไทย ซึ่งกินพื้นที่มากพอสมควรบนโลกที่มีรูปทรงเป็นทรง(เกือบๆ)กลม เราก็จะต้องอาศัยความรู้เรื่อง Non-Euclidean Geometry ที่ว่ามานี้

 

เรขาคณิต + วิเคราะห์

ก่อนจะมีเรขาคณิตวิเคราะห์ เรามีสิ่งที่เรียกว่า Classical Geometry หรือเรขาคณิตแบบเก่า เป็นการศึกษาจุด เส้น และรูปร่างที่วาดขึ้นลอยๆ ไม่มีอะไรมาบอกว่า “รูปอยู่ตรงไหน” เช่นถ้าวาดวงกลมขึ้นมาหนึ่งวง จุดศูนย์กลางและเส้นรอบวงจะลอยๆอยู่ในกระดาษ ไม่มีอะไรมาบอกว่าตรงไหนด้านบน ล่าง ซ้าย ขวา จะพลิกจะหมุนรูปยังไงก็ยังถือว่าเป็นรูปเดิมอยู่ ถ้าลากส่วนของเส้นตรงขึ้นมาหนึ่งเส้นก็จะไม่มีสิ่งที่เรียกว่า “ความชัน” เพราะเราสามารถหมุนรูปเล่นได้ตามใจชอบ จะชันมากชันน้อยขึ้นอยู่กับว่าตะแคงไปอย่างไร

ส่วนเรขาคณิตแบบใหม่ก็คือวิชานี้นั่นเอง ซึ่งมีการเพิ่มสิ่งใหม่เรียกว่า “แกนพิกัดฉาก” ลงไปในรูป ทำให้เกิดการ “วิเคราะห์” เพิ่มขึ้นจากเดิมมากมาย แกนพิกัดฉากอย่างเดียว ทำให้จุดทุกจุดมี “ชื่อเรียก” ขึ้นมาได้ ไม่ว่าจุดนั้นจะอยู่บนรูปที่เราวาดหรือไม่ และยังทำให้รูปมีทิศทางกำกับไว้ ถ้าจะหมุนหรือพลิกรูปก็ต้องทำการเลื่อนจุดบนรูป ไม่ใช่หมุนกระดาษเอาเองเหมือนแบบเก่า

 

การวิเคราะห์เริ่มจริงจังเมื่อเราใช้สมการและเซตเข้ามาอธิบายจุด เส้น และรูปร่างต่างๆ จากเดิมที่รูปร่างทั้งหลายเกิดจากการวาดเท่านั้น กลายเป็นว่าไม่ต้องวาดรูปก็สร้างนั่นสร้างนี่และคำนวณได้มากมาย รูปทุกรูปจะมีหน้าตาเป็น “เซตของจุด” ที่มีเงื่อนไขตามสมการบางอย่าง เวลาเขียนก็เป็นที่เข้าใจกันว่า เขียนสมการอย่างเดียวหมายถึงรูปได้แล้ว และถ้ามีรูปก็สามารถแปลงกลับเป็นสมการได้เช่นกัน

เซต – ตอนที่ 2: นั่งนับเซต

สมาชิกในเซตไม่ต้องเขียนเรียงกัน ถ้าซ้ำกันให้เขียนแค่ตัวเดียว

นอกเรื่อง : ผมเคยงงกับคำว่า “ไม่ต้อง” กับ “ต้องไม่” อยู่พักนึง แต่พอมาแกะภาษาไทยดูอย่างใกล้ชิดก็พบว่ามันคนละอย่างกัน … “ไม่ต้อง” แปลว่า จะทำก็ได้ไม่ทำก็ได้ เช่นวันเสาร์เป็นวันหยุด นักเรียนไม่ต้องมาโรงเรียน (ใครจะมาก็ไม่ว่ากัน) ส่วน “ต้องไม่” แปลว่า ห้ามเด็ดขาด อย่ามาทำให้เห็นเลยเชียว เช่นบอกว่านักเรียนต้องไม่พกอาวุธมาโรงเรียน แปลว่าใครพกมานี่เป็นเรื่องเลยเชียว

 

กลับเข้าเรื่องของเราดีกว่า

 

ข้อตกลงอย่างหนึ่งที่ทำให้เซตมีประโยชน์มากก็คือ การไม่ต้องเรียงลำดับสมาชิกในเซต และการนับตัวที่ซ้ำกันว่าเป็นตัวเดียว

ทั้งสองข้อตกลงนี้มาจากความเข้าใจง่ายๆว่า สิ่งของชิ้นหนึ่งๆ จะมีที่อยู่ได้เพียงที่เดียวคือ “ข้างใน” หรือไม่ก็ “ข้างนอก” เซตที่กำหนดให้ การอยู่ข้างในนั้นไม่ได้บอกเลยว่าต้องอยู่ลำดับที่เท่าไหร่ จะอยู่ตัวแรก ตัวที่ห้า หรือตัวสุดท้ายก็ไม่ต่างกัน เพราะทุกตัวต่างก็ “อยู่ข้างใน” เหมือนกัน

แปลว่าเขียนเซต  A = {1, 3, 5}  ไม่ต่างกับการเขียนว่า A = {3, 5, 1}  หรือ {5, 3, 1} เลย

 

ส่วนเรื่องการเขียนตัวที่ซ้ำกันแค่ครั้งเดียว อธิบายได้ว่าสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ตัวหนึ่งๆ ไม่ว่าจะเขียนกี่ครั้งก็ตาม ถือว่าแต่ละตัวมีลักษณะไม่ต่างกัน มีค่าเท่ากันหมด และใช้แทนกันได้ ดังนั้นการเขียนหลายตัวกับการเขียนตัวเดียวจึงมีความหมายไม่ต่างกัน เช่น

{1, 2, 2, 2} กับ {1, 2} ไม่ต่างกันเลย แต่นิยมเขียนแบบหลัง (ออกจะเป็นข้อบังคับซะด้วยซ้ำ ว่าต้องเขียนแบบหลัง) เพื่อประโยชน์ในการนับจำนวนสมาชิกในเซตว่ามีกี่ตัวกันแน่ จะได้ไม่ต้องมีคำพูดต่อท้ายว่า “จงหาจำนวนสมาชิก(ที่ไม่ซ้ำกัน)ของเซต A”

 

เซตจำกัด เซตอนันต์

อย่างที่บอกว่าเซตเป็นกล่องวิเศษ จะใส่ของมากชิ้นหรือน้อยชิ้นก็ได้ ข้อดีอีกอย่างหนึ่งของมันคือ เซตสามารถใส่ของได้เป็นอนันต์ชิ้น โดยที่กล่องไม่ระเบิดแตกออกมา

 

ถ้าเซตใส่ของอยู่ไม่กี่ชิ้น เราจะเรียกว่า “เซตจำกัด” คำว่าไม่กี่ชิ้นนี้หมายถึง มีจำนวนที่แน่นอนอยู่ค่าหนึ่ง (ไม่จำเป็นต้องแปลว่าน้อยนะ) อาจไม่มีเลย (สังเกตว่าไม่มีเลยก็เรียกว่าจำกัดเหมือนกัน) มีชิ้นเดียว มีสิบชิ้น สองร้อยชิ้น หรืออาจเป็นสิบล้านชิ้นก็ได้ คำว่า “จำกัด” นี้แปลตรงๆว่า ถ้านับไปเรื่อยๆทีละชิ้น สักวันเราจะนับจนครบได้ ถ้าเยอะหน่อยอาจจะต้องช่วยกันนับหลายคนก็ไม่เป็นไร ซึ่งตรงข้ามกับ “เซตอนันต์” ซึ่งใส่ของอยู่เป็นจำนวนอนันต์ชิ้น แปลว่านั่งนับไปเรื่อยๆ นานแค่ไหนก็จะไม่หมดซะที

 

จำนวนสมาชิก

สำหรับเซตจำกัด เราสามารถ “นับ” จำนวนสมาชิกได้ คำว่าจำนวนสมาชิกนี้ตกลงกันไว้ดีแล้วว่าเป็น “จำนวนสมาชิกที่ไม่ซ้ำกัน” ซึ่งแปลว่าเซตที่เราจะนับนี้ มีสมาชิกที่แตกต่างกันอยู่ทั้งหมดกี่ตัว ข้อตกลงนี้ไม่ค่อยจำเป็นเท่าไหร่ เพราะเราไปตกลงกันตอนเขียนเซตแล้ว ว่าจะไม่เขียนสมาชิกซ้ำกันหลายๆตัว

เช่น A = {1, 2, 2, 2} = {1, 2} มีสมาชิก 2 ตัว

เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า n(A) = 2 (n มาจากคำว่า number of elements)

 

สำหรับเซตอนันต์ ซึ่งไม่สามารถนับจำนวนสมาชิกจนหมดได้ ถ้าอยากพูดถึงจำนวนสมาชิกเราจะบอกว่า n(A) =  (ซึ่งที่จริงไม่นิยมเขียนกัน) ถ้าเรียนคณิตศาสตร์สูงกว่านี้จะมีความรู้เพิ่มเติมอีกว่า อินฟินิตี้มีหลายแบบ (มีอย่างน้อยสองแบบ) คือแบบ countable (นับทีละตัวได้…แต่ไม่หมดซะที) กับแบบ uncountable (ไม่มีแม้แต่วิธีนับทีละตัว)

เซต – ตอนที่ 1.5: มีอะไรไม่ใช่เซตบ้าง

เล่าเรื่องลึกๆของเซตให้ฟังสักเรื่อง เผื่อว่าใครอยากรู้…

คำถามที่นำมาก่อนเลยคือ “เซตคืออะไร”

ความหมายทั่วไปคงพูดได้ไม่ยาก แต่ของง่ายมักกลายเป็นของยากเวลาเราต้องการทำให้มันถูกเป๊ะๆ เซตก็ประสบปัญหาเดียวกัน เพราะการอธิบายว่า “อะไรที่เหมือนๆกัน” ในทางคณิตศาสตร์เป็นยังไง มันเห็นๆกันอยู่ แต่พูดไม่ถูก สมัยก่อนนักคณิตศาสตร์ก็เลยตกลงกันว่า เราจะไม่พูดถึง “ความหมาย” ของเซต ซึ่งเขาจะเรียกมันว่าเป็น “อนิยาม” คือสิ่งที่ไม่ต้องการคำอธิบายก็แล้วกัน เพราะ “ทุกคนคงรู้” และเข้าใจตรงกัน

ฟังดูเข้าท่าดี และแก้ปัญหาได้ง่ายดีด้วย จนกระทั่งวันนึง…

มีคนถาม(กวนๆ)ว่า เซตนี้หน้าตาเป็นยังไง ช่วยเขียนสมาชิกของมันให้ดูหน่อย

­­แปลเป็นภาษาพูดได้ว่า “A เป็นเซตที่ประกอบด้วยสมาชิก x ซึ่ง x จะต้องไม่อยู่ในเซต A” … เอาล่ะสิ

แปลเป็นภาษาคนอีกทีได้ว่า “อะไรที่จะอยู่ใน A ได้ จะต้องไม่อยู่ใน A” …???

ถ้าเลข 1 อยู่ในเซต A แล้ว 1 จะไม่อยู่ในเซต A !!! … อะไรของมัน

หลังจากนั่งอึ้งๆไปสักพักเพื่อหาอะไรมาอธิบายมัน เราจะพบคำตอบว่า…

“A ไม่เป็นเซต”

ทีนี้เกิดปัญหาใหญ่เลยล่ะ เพราะมันมีอะไรบางอย่างที่ดูเหมือนจะเป็นเซต แต่ไม่เป็น ถ้าอย่างนั้นจะไปโมเมเหมาเอาว่าทุกคนจะเข้าใจตรงกันได้ไงว่าเซตคืออะไร …

จากเรื่องนี้ ทำให้นักคณิตศาสตร์ต้องไปรื้อระบบคิดกันใหม่หมดเลย ซึ่งคงอธิบายกันไม่จบในที่นี้ แต่สรุปสั้นๆก็คือ ในที่สุดแล้วเซตต้องการอะไรบางอย่างที่ “พื้นฐานกว่านั้น” มาให้ความหมายแก่มัน (แทนที่เซตจะเป็นวัตถุที่พื้นฐานที่สุด เราก็ไปศึกษาเพื่อหาอะไรที่พื้นฐานกว่านั้นอีก แล้วบอกว่าเซตเป็น “ชนิดหนึ่ง” ของไอ้ตัวเหล่านั้น) ไอ้เจ้าสิ่งที่พื้นฐานกว่าเซตซึ่งถูกสร้างขึ้นมาใหม่นี้ เรียกว่า “Category”

ใครสนใจลองไปถาม Google ว่า category theory คืออะไรดู

เตือนไว้ก่อนว่าอะไรที่เป็น “พื้นฐาน” ไม่จำเป็นต้องง่ายเสมอไป

เซต – ตอนที่ 1: เซตคืออะไรบ้าง

เซต

มนุษย์เป็นสัตว์ที่อยู่ไม่สุข ชอบจัดหมวดหมู่ให้สิ่งนั้นสิ่งนี้อยู่เรื่อย ถ้าใครเรียนเคมีหรือชีวะมาแล้วก็จะได้เจอกับตารางธาตุ และเรื่องอนุกรมวิธาน (การจัดหมวดหมู่สิ่งมีชีวิต) แม้แต่วิชาอย่างอื่นที่ไม่เป็นวิทยาศาสตร์เช่นสังคม ภาษาไทย ก็ยังมีการจัด “ประเภท” เยอะแยะไปหมด มองไปทางไหนก็จะพบว่าคนเรากับการจัดหมวดหมู่นี่แทบจะแยกกันไม่ออกจริงๆ ลองดูตัวอย่าง

น้ำปลาตรากุ้งเขียว กับน้ำปลาตราแมลงเต่าทอง (สมมุติว่ามันมีจริงๆ) ยังไงซะก็เป็นน้ำปลาเหมือนกัน

ต้นกล้วยกับต้นมะขาม ดูยังไงก็ไม่คล้ายกัน แต่ครูวิทยาศาสตร์บอกว่ามันเป็น “ต้นไม้” เหมือนกัน ถ้าเรียนลึกไปกว่านั้นอีก ทั้งคู่ยังเป็น “พืชดอก” เหมือนกันด้วย

กุ้ง กับ กิ้งกือ อย่างแรกกินได้ แต่อย่างหลังคงไม่ค่อยมีใครกล้ากิน นักชีวะเขาบอกว่ามันอยู่ไฟลัมเดียวกัน บรื๋อออ…

ดาว 7 ดวงที่ดันมาเรียงตัวอยู่ใกล้ๆกัน ก็มีคนอุตริไปจับเป็นกลุ่มแล้วตั้งชื่อให้มันซะว่า ดาวลูกไก่

สมชายกับสมศรี เป็นนักเรียนชั้นม. 4/1 เหมือนกัน

อาจเป็นเพราะการจัดหมวดหมู่มีประโยชน์หลายอย่าง เช่นว่า เรียกใช้ หยิบใช้ง่ายดี เหมารวมได้ ไม่ต้องไปเสียเวลาใส่ใจกับหน่วยเล็กๆที่ปลีกย่อยในลักษณะบางอย่างที่ไม่ค่อยสำคัญ พอมันทำให้ชีวิตง่ายขึ้น คนเราก็มักชอบทำกัน

หลายคนบอกว่า วิทยาศาสตร์เกิดมาเพื่ออธิบายธรรมชาติ ส่วนคณิตศาสตร์เกิดมาเพื่ออธิบายวิทยาศาสตร์อีกทีนึง (เลยเรียกคณิตศาสตร์ว่า Queen of Science :: แม่ของวิทยาศาสตร์) สมัยที่เรายังเรียนแต่ตัวเลขอาจจะยังรู้สึกว่าคณิตศาสตร์ก็เป็นแค่เรื่องของตัวเลข ซึ่งมันเกี่ยวกับเราอยู่บ้างก็จริง แต่ก็ไม่ตลอดเวลาเท่าไหร่นัก แต่พอมาเจอเรื่องเซตเราจะพบว่า ยังไงชีวิตนี้ก็หนีเซตไม่พ้น เพราะเราจัดหมวดหมู่อยู่เกือบตลอดเวลา ยิ่งกว่าคิดเลขซะอีก

เซต… คืออะไรหว่า

เซต เป็นเครื่องมือชิ้นหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์คิดขึ้นมาใช้อธิบายความเป็น “พวกเดียวกัน” ของสิ่งต่างๆที่เดิมอาจจะกระจัดกระจายกันอยู่ นั่นคือ เป็นความพยายามที่จะบอกว่าอะไรเป็นพวกเดียวกัน อะไรต่างพวกกัน ถ้าไปเปิดดิกชันนารีดู จะพบคำแปลหนึ่งของ Set ว่า “ชุด” หรือ “กลุ่ม” ซึ่งน่าจะใกล้เคียงความหมายจริงๆมากที่สุด

มีข้อตกลงสำคัญๆในการที่สิ่งใดสิ่งหนึ่งจะเป็นเซต ดังนี้ :

เซตต้องทำตัวเหมือน “กล่อง” คือบรรจุสิ่งของได้ โดยที่สิ่งของอย่างใดอย่างหนึ่งจะมีที่อยู่ได้ที่เดียว คือ “ในกล่อง” หรือไม่ก็ “นอกกล่อง” เท่านั้น ไม่มีของชิ้นไหนที่อยู่ได้ทั้งในและนอกกล่องพร้อมๆกัน พูดง่ายๆคือ สิ่งของชิ้นไหนไปปรากฎอยู่ในกล่องแล้ว จะไม่ไปโผล่นอกกล่องอีก จะว่ามันเหมือน “คอก” ก็ได้ คือเป็นสิ่งที่แสดงขอบเขตได้อย่างชัดเจนว่า อะไรอยู่ในคอก อะไรอยู่นอกคอก

เซตเปรียบเหมือนกล่อง อะไรที่อยู่ในกล่องเรียกว่า “เป็นสมาชิก” ของเซต ใช้สัญลักษณ์ว่า

ส่วนอะไรที่ไม่ได้อยู่ในกล่อง เรียกว่า “ไม่เป็นสมาชิก” ใช้สัญลักษณ์

แปลว่าถ้ามีเซตชื่อว่า A และ จะหมายถึงว่า A เป็นกล่อง และมีเลข 1 อยู่ในกล่อง ซึ่งก็จะได้ข้อสรุปโดยอัตโนมัติว่า 1 จะไปโผล่อยู่นอกกล่องอีกไม่ได้เด็ดขาด

เมื่อไหร่ที่ใช้เครื่องหมาย “เป็นสมาชิก” (หรือไม่เป็นสมาชิกก็ตามแต่) ให้คิดเสมอว่าเรากำลังมีกล่องอยู่จริงๆ และสิ่งของที่เป็น(หรือไม่เป็น)สมาชิกนั้นก็เป็นสิ่งของที่มีตัวตนจริงๆ ถ้าทำได้แล้วต่อไปในการคำนวณต่างๆเกี่ยวกับเซต จะเห็นภาพได้ง่ายขึ้น

สัญลักษณ์ของเซต ใช้วงเล็บปีกกา { } เป็นสัญลักษณ์มาตรฐานที่ใช้กันทั่วโลก คือให้ถือเอาว่า “กล่อง” ถูกแทนด้วยเครื่องหมาย { } แล้วข้างในกล่องจะใส่อะไรไว้ก็ค่อยว่ากัน เช่น…

{1, 2, 3, 4, 5} เป็นเซตที่มีเลข 1, 2, 3, 4, 5 อยู่ข้างใน

{คณิต, ฟิสิกส์, เคมี} เป็นเซตของวิชาที่นายเขียวตั้งใจจะอ่านคืนนี้

{พม่า, ลาว, กัมพูชา, มาเลเซีย} เป็นเซตของประเทศที่อยู่ติดชายแดนไทย

จะเห็นว่าเซตนี้เป็นกล่องวิเศษ ใส่อะไรที่ใหญ่แค่ไหนก็ได้ ไม่จำเป็นต้องเป็นตัวเลขหรือสิ่งที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ก็ได้ ขอให้เขียนออกมาเป็นคำพูด (หรือใช้สัญลักษณ์แทน) ให้ได้ก็แล้วกัน

เซตเขียนได้หลายแบบ ที่นิยมเขียนกันมีอยู่ 2 แบบคือแบบ “บอกเงื่อนไข” กับแบบ “แจกแจงสมาชิก” แต่นิยมใช้ในโอกาสที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับว่าเมื่อไหร่แบบไหนจะใช้ง่ายกว่ากัน

การบอกเงื่อนไข ก็คือ การอธิบายลักษณะที่สิ่งของต่างๆในกล่อง(เซต)นั้นมีร่วมกัน โดยบอกเป็นคำพูด มักใช้ในกรณีที่ต้องการ “เหมารวม” ลักษณะอะไรสักอย่างหนึ่ง ไม่ต้องเสียเวลามานั่งไล่เขียนสมาชิกทีละตัว หรือเป็นไปได้ว่าสมาชิกอาจมีเยอะ (บางครั้งก็มีจำนวนนับไม่ถ้วน) ซึ่งเขียนแจกแจงให้ครบไม่ได้ จึงต้องเลี่ยงไปบอกว่ามันมีลักษณะยังไง แทนที่จะบอกไปตรงๆว่ามันมีอะไรบ้าง

สิ่งที่ต้องระวังในการบอกเงื่อนไขคือ คำพูดที่ใช้อธิบายเงื่อนไขนั้นต้อง “รัดกุม” อย่างยิ่ง แปลว่าให้คนสองคนไหนก็ตามในโลกนี้มาอ่านแล้วตีความ ต้องได้ความหมายตรงกัน แถไถไปเป็นอื่นไม่ได้

ส่วนการ แจกแจงสมาชิก ก็ตรงตัว คือการเขียน “สมาชิกทั้งหมดที่มี” ลงในกรอบของเซตภายในเครื่องหมาย { } แล้วคั่นแต่ละตัวด้วยลูกน้ำ ( , ) อนุโลมกันว่าถ้าสมาชิกมีเยอะ(จนขี้เกียจเขียน) หรือเยอะจนเขียนยังไงก็ไม่หมด ให้ละไว้ในฐานที่เข้าใจได้โดยเขียน “…” ต่อท้ายไว้ หมายถึงว่ายังมีตัวที่ต่อไปจากนี้ เช่น

{1, 2, 3, …, 10} แบบนี้ทุกคนน่าจะเข้าใจตรงกันว่าตัวที่ละไว้คือ 4, 5, 6 ไปเรื่อยๆจนถึง 10

{3, 3.5, 4, 4.5, 5, …} แบบนี้คนอ่านก็น่าจะเข้าใจว่าเพิ่มขึ้นทีละ 0.5 และไม่มีที่สิ้นสุด

ข้อควรระวังก็คือ ห้ามเขียนละเครื่องหมาย “จุด จุด จุด” ไว้ในฐานที่ไม่เข้าใจ เด็ดขาดเพราะจะเป็นการ “ไม่รัดกุม” เอาไปใช้ประโยชน์อะไรต่อก็ไม่ได้ เช่น

{1, 4, …, 67} คนที่มาอ่านต่อคงจะงงว่าเลขที่ไม่ได้เขียนให้ดูนั้น มีกี่ตัว และตัวต่อไปน่าจะเป็นอะไร การเขียนเซตแบบนี้ ถึงจะหน้าตาเป็นเซตก็จริง แต่เขาไม่ยอมรับกันเพราะมันไม่รัดกุม ตีความไปตามใจชอบได้หลายแบบ

เซตบางเซตเขียนได้เพียงแบบเดียว เช่น เซตอนันต์ที่สมาชิกเบียดเสียดกันอยู่อย่างแนบชิด เป็นต้นว่า {x | x คือจำนวนจริงระหว่าง 0 กับ 1} คงไม่สามารถแจกแจกสมาชิกได้แน่ๆ เพราะมีจำนวนจริงมากมายอยู่ระหว่าง 0 กับ 1