ไม่ได้เข้ามาเขียนเพิ่มนานมากแล้ว เพราะว่างานรัดตัวพอสมควรเลยครับ ถ้ามีโอกาสจะหาเวลามาเติมให้เต็มเป็นบทๆไป
ช่วงนี้หันมาจับงานวีดิโอสื่อการสอนมากกว่าครับ เพราะใช้เวลาเตรียมน้อยกว่าบทความ ตั้งใจทำวีดิโอให้เสร็จ แล้วค่อยเขียนบทความประกอบจนครบ ดูตัวอย่างได้ในนี้ครับ
https://www.youtube.com/user/CoolCourseClip
หลังจากนี้ไปจะสิงสถิตอยู่ที่ Youtube ช่องนี้เป็นหลักนะครับ จะพยายามทำเพิ่มอย่างสม่ำเสมอทุกวัน ^^
ค่าความจริงของประพจน์
เนื่องจากประพจน์คือประโยค การจะเขียนประพจน์หนึ่งประพจน์อาจต้องใช้แรงกายเป็นอันมาก ประพจน์ที่ยาวๆย่อมเสียพลังงานเยอะ ซึ่งนักคณิตศาสตร์ไม่ชอบสิ่งนี้ จึงตกลงกันว่า “เราตั้งชื่อให้มันกันดีกว่า” ว่าแล้วก็ตกลงใช้ “ตัวแปร” มาช่วยให้เขียนสั้นลง เรียกว่า “ตัวแปรประพจน์” (Statement variable) เช่นเราอาจกำหนดให้ p เป็นตัวแปรแทนข้อความ “พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก” และให้ q แทนข้อความ “วันนี้ฝนตกที่วัดพระแก้ว” เจ้าตัวแปร p และ q นี้แหละเรียกว่าตัวแปรประพจน์
ที่จริงแล้วตัวแปรประพจน์ใช้เขียนเพื่อแทนข้อความยาวๆในประพจน์ แต่เนื่องจากประพจน์สามารถเป็นจริงหรือไม่ก็เป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เราจึงตกลงกันว่าตัวแปรประพจน์มีค่าที่เป็นไปได้อยู่ 2 ค่า เรียกว่า ค่าความจริง คือมีค่า จริง (True: T) กับ เท็จ (False: F) เท่านั้น และในการคำนวณต่อไป มักไม่ค่อยได้สนใจว่าตัวแปรหนึ่งๆนั้นแทนประพจน์อะไร จะสนใจแต่ค่าความจริงของมัน
เช่น p แทนข้อความ “พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก” แต่ค่าของตัวแปร p จะเป็น “จริง” (T)
และพอรู้ว่า p เป็น “จริง” ปุ๊บ ในระหว่างการคำนวณยาวๆ ก็มักไม่มีใครมาถามอีกแล้วว่า p แทนข้อความอะไร
คล้ายๆกับค่าตัวแปรที่ใช้ในระบบจำนวน เช่น x = 2, y = 5
ต่างกันที่ตัวแปรประพจน์ มีค่าให้แทนลงไปได้แค่สองค่าคือ T (จริง) กับ F (เท็จ) เท่านั้น
ถ้าเรียนตรรกศาสตร์ในวิชาวงจรดิจิตอล (ซึ่งชื่อว่าวิชา Boolean Algebra) ค่าของตัวแปรประพจน์ก็จะเป็น 1 กับ 0 แทนสถานะ “ไฟติด” กับ “ไฟดับ” ซึ่งก็คือจริงกับเท็จนั่นเอง และตลอดเรื่องตรรกศาสตร์ ผลลัพธ์จากการคำนวณใดๆทางตรรกศาสตร์ก็จะมีแค่ 2 ค่าคือ T กับ F ไม่มีอะไรมากไปกว่านั้น …ดูน่าจะง่ายกว่าตัวเลขซะอีก
หนึ่งประพจน์มีค่าความจริงหนึ่งค่า แล้วถ้าหลายประพจน์ล่ะ…
เชื่อว่าตอนเด็กๆ เราน่าจะเคยเรียนเลขกันแบบนี้
โจทย์ : “แม่ค้ามีส้มอยู่ 10 กิโล ไปซื้อมาเพิ่มอีก 5 กิโล ทิ้งไว้ข้ามวันส้มเน่าไป 1 กิโล จากนั้นขายไป 8 กิโล สุดท้ายแล้วแม่ค้าเหลือส้มอยู่เท่าไร”
ประโยคสัญลักษณ์ : 10 + 5 – 1 – 8 = ?
จากโจทย์ (ซึ่งเป็นประโยคภาษามนุษย์) ก่อนจะคิดเลขได้เราต้องทำเป็นประโยคสัญลักษณ์ก่อน ครูประถมสอนเราว่าการมีส้ม 10 กิโล ให้แทนด้วยเลข 10 เฉยๆ ถ้าซื้อเพิ่มแปลว่าเดี๋ยวจะมีมากขึ้น ให้ใส่เครื่องหมายบวก การเน่าไปในชีวิตจริงแปลว่าของมันหายไปจึงมีน้อยลง ให้ใส่เครื่องหมายลบ เป็นต้น พอแปลงทุกอย่างเป็นสัญลักษณ์แล้วจึงค่อยลงมือคิดเลข ในวิชาตรรกศาสตร์เราทำแบบเดียวกัน โดยเปลี่ยนจากตัวเลขเป็น ”ค่าความจริง” และเปลี่ยนจากเครื่องหมายบวก ลบ คูณ หารเป็น “ตัวเชื่อมประพจน์” ซึ่งตัวเชื่อมหลักๆที่ใช้กันคือ “และ (
ในเรื่องตรรกศาสตร์ ข้อความ (ประพจน์) หนึ่งๆมีค่าความจริงหนึ่งค่า เมื่อมีหลายๆประพจน์มาเชื่อมต่อกันก็จะได้เป็นประพจน์อันใหม่ (ในวิชาภาษาไทยจะเรียกว่าประโยคความรวม) ตรรกศาสตร์จะบอกว่าค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมเสร็จแล้วจะเป็นยังไง โดยตกลงกันไว้ในสิ่งที่เรียกว่า “ตารางค่าความจริง”
ตารางค่าความจริง
เป็นตารางที่บรรจุค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมกัน โดยแจกแจงค่าของตัวแปรทุกตัวให้ครบทุกค่าที่เป็นไปได้ (แต่ละตัวมีแค่ 2 ค่า จึงแจกแจงให้ครบได้) จะว่าไปตารางค่าความจริงก็คล้ายๆกับ “สูตรคูณ” คือเป็นเครื่องมือที่บอกว่า “ตัวนี้ทำไอ้นี่กับตัวนั้น แล้วได้อะไรออกมา” ต่างกันที่ว่าสูตรคูณนั้นให้ท่องตัวเลขแค่บางตัว (เพราะตัวเลขมีเยอะจนนับไม่หวาดไม่ไหว) ส่วนตารางค่าความจริงนั้นใส่ทุกค่าที่เป็นไปได้ เพราะมันมีอยู่นิดเดียว
ชอบมีคนถามว่าตารางนี้ “ต้องท่องไหม”
คงต้องตอบว่า จะไม่ท่องก็ได้ แต่ต้องจำให้ได้
แปลว่าจะท่องก็ได้ แต่มีวิธีจำให้เป็นธรรมชาติกว่าการท่อง โดยการแปลความหมายของตัวเชื่อมต่างๆตามที่เราใช้กันในชีวิตประจำวันนี้แหละ
เช่นการพูดว่า “ตอนนี้ฝนตก และแดดออก” ถ้าอยากได้ตารางค่าความจริงโดยไม่ต้องท่อง ก็นั่งพินิจพิเคราะห์ดูเอาเองว่า ประโยคนี้จะถูกเมื่อไหร่ จะผิดเมื่อไหร่ ตามความรู้สึกของเราแล้วมันถูกเมื่อ “ฝนต้องตก” และ “แดดต้องออก” ทั้งสองอย่างพร้อมๆกันเท่านั้น ถ้ามีแค่อย่างเดียวหรือไม่มีสักอย่าง มันจะผิด
ก็เลยได้ข้อสรุปว่า 
ทำนองเดียวกัน ถ้าสั่งเด็กเสิร์ฟว่า “เอากาแฟหรือชามาก็ได้” แล้วเด็กเสิร์ฟยกชามาอย่างเดียว ก็ถือว่าทำถูกคำสั่งแล้ว หรือต่อให้ยกมาทั้งคู่เลยก็ถือว่าทำถูกคำสั่งเช่นกัน ดังนั้น 
จะตั้งใจเขียนไปเรื่อยๆ จนกว่าโลกจะแตก
วงรี
ถ้าใครเคยไปพิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์ จะมีของเล่นชิ้นใหญ่อยู่ชิ้นหนึ่ง เรียกว่า “ห้องกระซิบ” ซึ่งจะหน้าตาเป็นโลหะโค้งๆสองชิ้นตั้งอยู่ห่างกัน ให้เราไปยืนพูดด้วยเสียงไม่ดังมากอยู่ตรงจุดที่เหมาะสม แล้วให้เพื่อนฟังอยู่ใกล้ๆแผ่นโค้งๆอีกแผ่นนึง เราจะได้ยินเสียงคนพูดได้ชัดเจน แม้ว่าจะอยู่ห่างกันเกินระยะที่คุยปกติ
หลักการของห้องกระซิบคือการใช้สมบัติของ “วงรี” ที่ว่า ผิวด้านในของวงรีจะสะท้อนแสง เสียง หรือคลื่นใดๆที่ออกจากจุดโฟกัสหนึ่งไปยังอีกจุดโฟกัสหนึ่ง (ต่างกับพาราโบลาที่สะท้อนจากแหล่งกำเนิดที่เป็นจุดออกไปเป็นแนวขนาน หรือสะท้อนรังสีขนานให้เป็นจุด)
เราวาดวงรีได้ง่ายๆ โดยการใช้วัสดุใกล้ๆตัว ขอแค่ตะปูหรือหมุดสองตัว กับเชือกหนึ่งเส้นก็สร้างวงรีได้แล้ว โดยไม่ต้องกะๆเอาให้มันรี วิธีวาดก็คือ ใช้เชือกที่มีอยู่ผูกปลายทั้งสองติดเข้ากับหมุดข้างละตัว ปักหมุดลงบนกระดาษให้เชือกหย่อนนิดหน่อย (หรือหย่อนมากก็ได้) แล้วใช้ปลายปากกาดึงเชือกให้ตึง รูดไปมาโดยให้เชือกตึงตลอดเวลา เมื่อรูดไปจนครบวงทั้งด้านบนและด้านล่างก็จะพบว่าได้วงรี
การวาดวงรีด้วยวิธีนี้ นำไปใช้สร้างนิยามของวงรีว่าคือ เซตของจุดที่เมื่อวัดระยะห่างจากจุดคงที่สองจุด (จะได้ระยะห่างสองค่า) เมื่อนำระยะห่างทั้งสองมาบวกกันจะได้ค่าคงที่
การสร้างสมการวงรีจึงตั้งต้นด้วยนิยาม ซึ่งมาจากการวัดระยะทางระหว่างจุดสองจุด แต่วัดสองรอบนำมาบวกกัน ถ้าสมมุติให้เชือกยาว 2a และจุดที่ปักหมุดลงบนกระดาษ เรียกว่าจุดโฟกัส ซึ่งมีสองจุดคือคือ (x1, y1) และ (x2, y2)
สำหรับรูปอย่างง่ายที่สุด เมื่อรูปวงรีวางตามแนวนอน และให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) ซึ่งจะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองพอดี ถ้าระยะโฟกัสยาวเท่ากับ c พิกัดจุดโฟกัสจะกลายเป็น (-c, 0) และ (c, 0) ตามลำดับ ซึ่งช่วยให้สมการรูปอย่างง่ายนั้นง่ายขึ้นได้อีกเยอะ สมการตั้งต้นของวงรีจะหน้าตาเป็นแบบนี้
$latex \sqrt{{{\left({x + c}\right)}^2}+{y^2}}+\sqrt{{{\left({x – c}\right)}^2}+{y^2}}$ = 2a
สมการที่ติดสแควร์รูทนั้นนักคณิตศาสตร์ไม่ค่อยชอบกัน จึงต้องทำให้ง่ายกว่านี้ โดยการย้ายสแควร์รูทไปไว้คนละข้างกันแล้วยกกำลังสองทั้งสองข้าง
$latex \sqrt{{{\left({x + c}\right)}^2}+{y^2}}$ = $latex 2a – \sqrt{{{\left({x – c}\right)}^2} + {y^2}}$
$latex {x^2} + 2xc + {c^2} + {y^2}$ = $latex 4{a^2}+4a\sqrt{{{\left({x – c}\right)}^2}+{y^2}}+{x^2}-2xc + {c^2}$
ตัดกันไปมาจะเหลือ
$latex xc = {a^2} + a\sqrt {{{\left( {x – c} \right)}^2} + {y^2}} $
$latex xc – {a^2} = \sqrt {{{\left( {x – c} \right)}^2} + {y^2}} $
ยกกำลังสองทั้งสองข้างอีกที
$latex {c^2}{x^2} – 2xc + {a^4} =…
View original post 108 more words
ชีวิตมนุษย์เราประกอบด้วยส่วนที่เป็นเหตุผลและอารมณ์ความรู้สึก สมองคนเราแบ่งเป็นสองซีกคือซีกที่ใช้คิดคำนวณไตร่ตรองด้วยเหตุผล และซีกที่ใช้ประมวลผลเกี่ยวกับอารมณ์ความรู้สึก ถ้าจะพูดว่าสองซีกนั้นคือ “ศาสตร์” ซะซีกหนึ่งและ “ศิลป์” อีกซีกหนึ่งก็คงไม่ผิด
เราใช้เหตุผลกันเพื่อตัดสินว่า สิ่งนี้ถูก สิ่งนั้นผิด ความคิดนี้ถูก ความคิดนั้นผิด คำกล่าวนี้ถูก คำกล่าวนั้นผิด แต่บ่อยครั้งก็เห็นมีคนใช้อารมณ์มาตัดสินความถูกผิดกัน ซึ่งไม่น่าจะดีสักเท่าไหร่ การจะชี้ให้ได้ว่าสิ่งนี้ถูกหรือผิดกันแน่ ก็ต้องมีกฎเกณฑ์บางอย่างให้ยึดถือกันเป็นมาตรฐานก่อน จะได้ไม่ต้องมานั่งเถียงกันว่า “ความจริง” ของใครถูก และจะได้ไม่มีช่องว่างให้เกิดกรณี “สองมาตรฐาน” ขึ้นได้
กฎเกณฑ์เช่นว่านั้นเรียกว่า “ตรรกะ” ซึ่งเอาไว้ตัดสินความจริงหรือความเท็จของ “คำกล่าว” อันหนึ่งๆ อันที่จริงตรรกศาสตร์ไม่ได้ซับซ้อนอะไรเลย มันเป็นเรื่องของการตีความภาษาที่ใช้กันอยู่เป็นปกติให้มีความหมายรัดกุมขึ้นเท่านั้นเอง ภาษาของตรรกะก็คือภาษามนุษย์ดีๆนี่เอง (จะเป็นภาษาของชาติไหนก็ได้) เพียงแต่ตรรกะนั้นไม่ใช่ทั้งหมดของภาษา เป็นแค่เสี้ยวหนึ่งเท่านั้น ซึ่งอาจจะดูแข็งๆไปสักหน่อยเพราะถูกตัดมาใช้เฉพาะส่วนที่รัดกุมแน่นหนาเท่านั้น
ตกลงกันก่อน …
ตรรกศาสตร์นั้นเป็นสิ่งที่เชื่อม “ภาษา” กับ “คณิตศาสตร์” เข้าด้วยกัน เราจึงต้องมาตกลงกันก่อนว่า ตรรกศาสตร์ ในฐานะ “ภาษาคณิตศาสตร์” นั้นมีขอบเขตแค่ไหน
ภาษาทั้งหมดที่ใช้พูดๆกัน บางทีก็ไม่ได้มีความหมายชัดเจนนัก พูดประโยคหนึ่งอาจตีความได้หลายแบบ ดังนั้นประโยค วลี หรือคำทั่วๆไป คงใช้ในเรื่องตรรกศาสตร์ไม่ได้ทั้งหมด ในวิชาตรรกศาสตร์ เราจะเลือกเอาเฉพาะ “ประโยค” ที่บอกได้ว่าจริงหรือเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้น เรียกว่า “ประพจน์”
ที่บอกว่าจริงหรือเท็จเพียงอย่างเดียว แปลว่าถ้าประโยคไหน “กำกวม” ตรรกศาสตร์ก็จะไม่ยุ่งด้วยเลย ความกำกวมมีหลายลักษณะ อาจมีตั้งแต่แบบที่แปลได้สองความหมาย หรือไม่มีเกณฑ์อะไรมาตัดสินว่าถูกหรือผิด หรืออาจเป็นประโยคที่ “ผิดก็ไม่ได้ ถูกก็ไม่ได้” (ซึ่งเดี๋ยวจะยกตัวอย่างให้ดู) ก็เป็นได้
ตัวอย่างประพจน์ เช่น
พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก : บอกได้ว่าจริง
วันนี้ฝนตกที่วัดโสธร : ไปเช็คดูได้ว่าวันนี้มีฝนตกจริงไหม ถ้าตกก็เป็นจริง ถ้าไม่ตกก็เป็นเท็จ
นักเรียนบางคนไม่ต้องเรียนฟิสิกส์ : หามาให้ได้สักคนสิ (คนที่ไม่ได้เรียนวิทย์) สรุปว่าเป็นจริง
ตัวอย่างประโยคที่ไม่ใช่ประพจน์ เช่น
โอ๊ย!! ทำไมมันยากยังงี้ : เป็นคำอุทาน และเป็นความเห็นส่วนตัวว่า (อะไรบางอย่าง) มันยากมาก
มีใครมาหาที่หน้าประตูรึเปล่า : เป็นคำถาม บอกไม่ได้ว่าถามจริงๆหรือถามเท็จๆ
ฉันสวยที่สุดในโลก : ไม่มีเกณฑ์วัดความสวยที่ทุกคนเห็นตรงกัน คนส่องกระจกจะมองเห็นว่าตัวเองสวยกว่าคนอื่นเสมอ จึงไม่เป็นมาตรฐาน ทำให้บอกไม่ได้ว่าจริงหรือเท็จ
ส่วนประโยคเจ้าปัญหาที่บอกว่ามัน “ผิดก็ไม่ได้ ถูกก็ไม่ได้” หน้าตาเป็นแบบนี้
“ข้อความนี้เป็นเท็จ”
แว้บแรกที่อ่าน คงดูไม่มีอะไร แต่เมื่อเราเริ่มจับให้มั่นคั้นให้ตายว่ามันจริงหรือเท็จ ปัญหาจะค่อยๆโผล่ขึ้นมาทันที
ประโยคนี้เป็นจริงได้ไหม ถ้าเป็นจริงแปลว่าสิ่งที่ประโยคนี้บอก (ว่าตัวมันเองเป็นเท็จ) นั้นถูกต้อง เราจะได้ข้อสรุปว่า ข้อความนี้เป็นเท็จ
แล้วประโยคนี้เป็นเท็จได้ไหม ถ้าเท็จก็แปลว่าสิ่งที่ประโยคนี้บอกนั้นไม่จริง ข้อสรุปก็คือ ข้อความนี้เป็นจริง …งงไหมล่ะ
พูดให้ง่ายก็คือ ถ้าสมมุติว่ามันจริง คิดต่อสักนิดจะได้ข้อสรุปว่าตัวมันเป็นเท็จ แต่ถ้าสมมุติว่ามันเท็จ ก็จะได้ว่าตัวมันเป็นจริง …ข้อสมมุติกับข้อสรุปขัดแย้งกันทั้งสองกรณี ดังนั้นข้อความนี้ “เป็นเท็จก็ไม่ได้ เป็นจริงก็ไม่ได้” และไม่ถือว่าเป็นประพจน์ด้วยเช่นกัน
วงรี
ถ้าใครเคยไปพิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์ จะมีของเล่นชิ้นใหญ่อยู่ชิ้นหนึ่ง เรียกว่า “ห้องกระซิบ” ซึ่งจะหน้าตาเป็นโลหะโค้งๆสองชิ้นตั้งอยู่ห่างกัน ให้เราไปยืนพูดด้วยเสียงไม่ดังมากอยู่ตรงจุดที่เหมาะสม แล้วให้เพื่อนฟังอยู่ใกล้ๆแผ่นโค้งๆอีกแผ่นนึง เราจะได้ยินเสียงคนพูดได้ชัดเจน แม้ว่าจะอยู่ห่างกันเกินระยะที่คุยปกติ
หลักการของห้องกระซิบคือการใช้สมบัติของ “วงรี” ที่ว่า ผิวด้านในของวงรีจะสะท้อนแสง เสียง หรือคลื่นใดๆที่ออกจากจุดโฟกัสหนึ่งไปยังอีกจุดโฟกัสหนึ่ง (ต่างกับพาราโบลาที่สะท้อนจากแหล่งกำเนิดที่เป็นจุดออกไปเป็นแนวขนาน หรือสะท้อนรังสีขนานให้เป็นจุด)
เราวาดวงรีได้ง่ายๆ โดยการใช้วัสดุใกล้ๆตัว ขอแค่ตะปูหรือหมุดสองตัว กับเชือกหนึ่งเส้นก็สร้างวงรีได้แล้ว โดยไม่ต้องกะๆเอาให้มันรี วิธีวาดก็คือ ใช้เชือกที่มีอยู่ผูกปลายทั้งสองติดเข้ากับหมุดข้างละตัว ปักหมุดลงบนกระดาษให้เชือกหย่อนนิดหน่อย (หรือหย่อนมากก็ได้) แล้วใช้ปลายปากกาดึงเชือกให้ตึง รูดไปมาโดยให้เชือกตึงตลอดเวลา เมื่อรูดไปจนครบวงทั้งด้านบนและด้านล่างก็จะพบว่าได้วงรี
การวาดวงรีด้วยวิธีนี้ นำไปใช้สร้างนิยามของวงรีว่าคือ เซตของจุดที่เมื่อวัดระยะห่างจากจุดคงที่สองจุด (จะได้ระยะห่างสองค่า) เมื่อนำระยะห่างทั้งสองมาบวกกันจะได้ค่าคงที่
การสร้างสมการวงรีจึงตั้งต้นด้วยนิยาม ซึ่งมาจากการวัดระยะทางระหว่างจุดสองจุด แต่วัดสองรอบนำมาบวกกัน ถ้าสมมุติให้เชือกยาว 2a และจุดที่ปักหมุดลงบนกระดาษ เรียกว่าจุดโฟกัส ซึ่งมีสองจุดคือคือ (x1, y1) และ (x2, y2)
สำหรับรูปอย่างง่ายที่สุด เมื่อรูปวงรีวางตามแนวนอน และให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) ซึ่งจะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองพอดี ถ้าระยะโฟกัสยาวเท่ากับ c พิกัดจุดโฟกัสจะกลายเป็น (-c, 0) และ (c, 0) ตามลำดับ ซึ่งช่วยให้สมการรูปอย่างง่ายนั้นง่ายขึ้นได้อีกเยอะ สมการตั้งต้นของวงรีจะหน้าตาเป็นแบบนี้
สมการที่ติดสแควร์รูทนั้นนักคณิตศาสตร์ไม่ค่อยชอบกัน จึงต้องทำให้ง่ายกว่านี้ โดยการย้ายสแควร์รูทไปไว้คนละข้างกันแล้วยกกำลังสองทั้งสองข้าง
ตัดกันไปมาจะเหลือ
ยกกำลังสองทั้งสองข้างอีกที
หารตลอดด้วยพจน์ซ้ายมือ จะได้
เมื่อเหลือสูตรเล็กขนาดนี้แล้ว นักคณิตศาสตร์เปลี่ยนชื่อตัวแปรใหม่ได้สั้นลงไปอีก และมีความหมายมากขึ้น โดยให้ 
สมการวงรีจึงเสร็จสมบูรณ์ด้วยประการฉะนี้ ซึ่งอย่างที่บอกไปแล้วว่าสมการนี้สำหรับวงรีที่วางในแนวนอน ถ้าสลับตัวแปร x, y กัน วงรีจะเปลี่ยนเป็นแนวตั้ง (ถูกบีบทางด้านข้าง แทนที่จะบีบด้านบน-ล่าง)
a,b,c เจ้าปัญหา
a,b,c มีความหมายโดยตรงถึงอวัยวะต่างๆในรูปวงรี ความยากของการใช้ตัวแปรสามตัวนี้คือ เดี๋ยวมันจะมาโผล่หน้าให้ชมอีกครั้งในรูปไฮเพอร์โบลา และมีความหมายต่างจากที่กล่าวถึงในรูปวงรี (เพราะอวัยวะมันไม่เหมือนกัน)
ในการวาดวงรีด้วยมือ เนื่องจากเรากำหนดให้เชือกยาว 2a และจุดโฟกัสทั้งสองอยู่ห่างกัน 2c เมื่อขึงเชือกให้ตึงโดยปลายปากกาอยู่ในแนวกึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสพอดีเป๊ะ ถ้าลากเส้นเพิ่มนิดหน่อยจะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่เท่ากัน ค่าของ a และ c จะเป็นด้านทแยงและด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งตามลำดับ เหลืออีกด้านหนึ่งซึ่งจะยาวเท่ากับ b เราจึงได้
มีหลายวิธีที่จะช่วยให้เราท่องอะไรบางอย่างที่เราไม่ได้เป็นคนคิดมันขึ้นมาเอง เช่นเวลาได้รับมอบหมายให้ท่องศัพท์เป็นการบ้านตอนเด็กๆ บางคนถนัดที่จะจดซ้ำๆหลายๆรอบ บางคนก็ถนัดที่จะอัดเสียงใส่เทป (เดี๋ยวนี้คงใช้ mp3 กันหมดแล้ว) แล้วเปิดฟังซ้ำไปซ้ำมา บางคนถนัดที่จะมี trainer หรือคู่ซ้อมคอยบอกบทให้จนกว่าจะจำได้เอง บางคนบอกว่า ขอนั่งดูอย่างเดียวนี่แหละ เดี๋ยวก็จำได้แล้ว
ส่วนตัวผมถนัดวิธีแรก ไม่ว่าจะต้องท่องอะไรก็ตาม เช่นการท่องศัพท์ ท่องอาขยาน ท่องเรียงความไปพูดหน้าห้อง ก็มักจะต้องลงมือเขียนสักสามสี่รอบ รอบแรกๆก็ดูบทไป แต่พยายามจะไม่ดู เมื่อผ่านไปสักสองสามรอบก็จะพึ่งพาบทน้อยลงเรื่อยๆ และจำได้ในที่สุด
วันนี้ผมมีของมาฝากน้องๆที่ต้องท่องศัพท์ โดยเฉพาะน้องม.ปลายครับ เรื่องมันเริ่มจากว่าผมได้รับมอบหมายให้ทำโปรแกรมสำหรับ “สอบเก็บคะแนน” ท่องศัพท์เพื่อจะเอาไปใช้ในโรงเรียน โปรแกรมนี้บรรจุคำศัพท์ประมาณ 3,500 คำที่คัดมาแล้วว่ามักจะเจอตลอดชีวิตการเรียนภาษาอังกฤษ โดยจะแบ่งคำเป็นชุด ชุดละ 100 คำ สุ่มเลือกมาสอบทีละ 10 คำในแต่ละครั้งที่มีนักเรียนเข้ามาใช้งาน ซึ่งเจ้าโปรแกรมนี้จะเริ่มใช้งานจริงในปีการศึกษาหน้า
ระหว่างนี้ผมก็มีไอเดียว่า ไหนๆมันจะถูกใช้เป็นข้อสอบแล้ว ระบบประเภทนี้น่าจะใช้เป็นของเล่นได้ด้วย อย่างน้อยก็เอาเล่นสนุกๆ ฆ่าเวลาพร้อมได้ท่องศัพท์ไปในตัว ก็เลยกลายมาเป็นโปรแกรมนี้ครับ ชื่อว่า VocabMaster เข้าไปลองใช้งานกันได้ที่
เมื่อ register และ login เข้าไปแล้ว จะพบกับหน้า profile ที่มี Hall of Fame อยู่ข้างๆ ส่วนด้านล่างจะเป็นโหมดการเล่นแบบต่างๆครับ
Start test คือเข้าไปทำแบบทดสอบที่แบ่งไว้ทีละ 100 คำ ไล่ไปเรื่อยๆจนครบสามพันห้าร้อยคำแล้ววนมาขึ้นต้นใหม่ ใน 100 คำของแต่ละชุดจะถูกสุ่มมาสร้างเป็นแบบทดสอบชุดละ 10 ข้อ ซึ่งถ้านั่งทำไปเรื่อยๆ คะแนน Attendance และ Test Score ก็จะค่อยๆเพิ่มขึ้น มีการจำกัดเวลาข้อละ 15 วินาทีเหมือนตอนทำ test ถ้าไม่ตอบในเวลาที่กำหนดถือว่าตอบผิด และถ้าตอบผิดครบ 3 ครั้งก่อนเล่นจบ จะถูกเด้งออกจากการทดสอบทันที เพราะถือว่าคุณรู้น้อยเกินไป ต้องไปฝึกมาใหม่
ส่วนโหมดที่เป็นเกมมี 3 รูปแบบด้วยกัน
Basic คือเกมที่เล่นเหมือนทำแบบทดสอบ แต่มีระบบ level ด้วย ซึ่งเมื่อ level สูงขึ้น ชุดคำศัพท์ที่มีสิทธิ์จะถูกสุ่มมาก็จะกว้างขึ้นจาก 100 เป็น 250 –> 500 –> 1200 ไปเรื่อยๆจนถึง level 5 คือแบบทดสอบ 10 จะสุ่มมาจากทั้ง 3500 คำ
เมื่อเล่นถึง level 2 ก็จะปลดล็อคโหมด Challenger คือสามารถ “ท้าชิง” เพื่อนที่ผ่านเข้า level 2 ด้วยกันได้ ซึ่งจะให้คลิกที่ชื่อเพื่อนเพื่อท้าชิง แล้วทำแบบทดสอบ 10 ข้อ ด้วยเวลาจำกัดข้อละ 8 วินาที จะผิดกี่ข้อก็ได้ไม่มีการเด้งออก เมื่อทำเสร็จ โจทย์ชุดเดียวกันพร้อมคะแนนของเราจะถูกส่งไปที่เพื่อนที่เราท้าชิงไว้ เมื่อเพื่อนมาเปิดดูแล้วทำเสร็จก็จะเทียบคะแนนกัน ใครได้มากกว่าก็รับคะแนนก้อนใหญ่ไป
พอถึง level 3 จะปลดล็อคอีกโหมดหนึ่งคือ Survivor คือเป็นการ “ทำไปเรื่อยๆ” ตราบใดที่ยังตอบถูก ก็จะสุ่มโจทย์ข้อใหม่มาให้ทำ จะทำติดกันได้เป็นร้อยเป็นพันข้อก็ได้ ซึ่งคะแนนของข้อท้ายๆจะยิ่งสูงขึ้นกว่าข้อแรกๆมาก ยิ่งทำได้ติดต่อกันมากเท่าไหร่ ก็จะยิ่งสะสมคะแนนได้เร็วขึ้นเท่านั้น
และคะแนนของใครสูงเป็น 5 อันดับแรกก็จะปรากฏชื่ออยู่ใน Hall of Fame ครับ
ถ้าใครสงสัยว่าศัพท์ 3500 คำที่ว่านั้นคืออะไรบ้าง เรามีไฟล์ให้โหลดอยู่ที่ด้านล่างของหน้าแรกของเว็บครับ ลองเปิดดูไปเรื่อยๆแล้วทำแบบทดสอบไปวันละนิดละหน่อย เดี๋ยวก็จำได้เอง
ด้วยความรู้งูๆปลาๆเรื่องการเขียนโปรแกรมและการออกแบบหน้าตาของมัน เกมท่องศัพท์อาจจะยังไม่สวยและอาจจะมีข้อขัดข้องอยู่บ้าง ถ้าเล่นแล้วพบเจอข้อผิดพลาดอะไร หรือมีข้อชี้แนะอย่างไรวานบอกไว้ในนี้แบบไม่ต้องเกรงใจครับ ผมจะได้นำไปปรับปรุงพัฒนาให้ดียิ่งขึ้น
ขอให้สนุกกับการท่องศัพท์ครับ
คิดว่าคงมีน้องๆหลายคนที่เตรียมสอบกันช่วงนี้นะครับ
เมื่อวันจันทร์ที่ 12 ธ.ค.ที่ผ่านมา พี่อำนวย สุนทรโชติ ประธานชมรมค่านิยมเพื่อสร้างชาติ และเป็นรุ่นพี่โรงเรียนเดียวกับผม (เบญจมราชรังสฤษฎิ์ ฉะเชิงเทรา) ได้จัดติวเข้มเรื่องการทำข้อสอบ GAT ภาษาไทยขึ้นที่โรงเรียนสอนพิเศษฟรีซึ่งสร้างขึ้นเองอยู่ที่แถวๆสถานีขนส่งจังหวัดฉะเชิงเทรา มีนักเรียนจากโรงเรียนต่างๆในฉะเชิงเทราไปเรียนกันประมาณสองร้อยคน
ผมและรุ่นน้องไปทำการบันทึกวีดิโอตลอดการสอนความยาวประมาณเกือบ 6 ชั่วโมง เก็บไว้ในฮาร์ดดิสก์และแปลงไฟล์เป็น flv อัพขึ้นเว็บแชร์ไฟล์ไว้ (ไม่ได้ใส่ youtube เพราะบางคลิปยาวเกิน 10 นาที) ใครสนใจสามารถเข้าไปตามลิงค์ที่ให้ไว้ด้านล่างเพื่อโหลดวีดิโอทั้งหมด (ขนาดประมาณ 2GB) มาดูได้ครับ ถ้าใจดีก็สามารถนำไปเผยแพร่ต่อได้ตามสะดวก เพราะเป็นเจตนาของผู้สอนที่อยากเผยแพร่อยู่แล้วครับ
http://www.4shared.com/folder/bZSR_xK-/_online.html
พาราโบลา
เดี๋ยวนี้เราหางานศิลปะรูปพาราโบลาสวยๆดูได้ไม่ยาก ตามหลังคาบ้านหลายๆคนเริ่มเปลี่ยนจากเสาตรงๆโด่ๆมีก้างปลาอยู่ข้างบนมาเป็นจานกลมๆสีแดงบ้าง ดำบ้าง ขาวบ้าง และสีอื่นๆอีกหลากสี เอามารับสัญญาณผ่านดาวเทียม แทนที่จะใช้สัญญาณส่งจากภาคพื้นดิน ซึ่งใครๆก็โฆษณาว่าช่องมันเยอะกว่า และชัดกว่าดูจากเสาทีวีปกติ
จานดาวเทียม มีลักษณะเป็นรูป “พาราโบลอยด์” (Paraboloid) ได้จากการนำเส้นโค้งพาราโบลามาหมุนรอบตัวให้ครบวง นึกถึงเวลาเขาปั้นหม้อดินเผา จะมีการขึ้นรูปหม้อเป็นทรงต่างๆ ถ้าเรานำลวดที่เป็นเส้นโค้งพาราโบลาไปทาบเป็นแบบ ก็จะได้รูปพาราโบลอยด์ออกมา
เส้นโค้งพาราโบลา หรือรูปทรงพาราโบลอยด์ มีสมบัติพิเศษอยู่อย่างหนึ่งที่รู้จักกันดี นั่นคือความสามารถในการสะท้อนแสงหรือคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่เดินทางมาเป็นเส้นตรงให้มารวมกันที่จุดจุดเดียว ผลจากการสะท้อนมารวมกันทำให้แสงหรือคลื่นที่ว่านั้นมีความเข้มสูงขึ้นมาก ถ้าเป็นคลื่นที่เป็นสัญญาณภาพและเสียงของโทรทัศน์ ก็จะทำให้รับสัญญาณได้ชัดเจนกว่าการใช้เสาอากาศดักคลื่น แล้วปล่อยให้คลื่นบางส่วนผ่านเลยไปโดยเปล่าประโยชน์
ถ้าใครเคยใช้เครื่องดักฟังเสียง (เสียงที่ล่องลอยมาในอากาศ ไม่ใช่เสียงจากคู่สายโทรศัพท์) บางประเภท ก็จะมีแผ่นสะท้อนเสียงเป็นรูปพาราโบลอยด์เหมือนกัน ซึ่งใช้หลักการเดียวกับจานดาวเทียม
เราจะพบรูปทรงพาราโบลอยด์ได้ที่อื่นอีกเช่น “ไฟฉาย” แผ่นสะท้อนแสงสีเงินๆที่ล้อมรอบหลอดไฟอยู่จะมีรูปทรงพาราโบลอยด์เหมือนกัน เพราะหลอดไฟจะปล่อยแสงออกมาจากจุดจุดเดียวคือไส้หลอด แต่คนที่ใช้ไฟฉายต้องการความสว่างเฉพาะด้านหน้าไฟฉายเท่านั้น จึงต้องใช้แผ่นที่สะท้อนแสงด้านข้างรอบๆหลอดไฟให้พุ่งไปเสริมกับแสงทางด้านหน้า ทำให้ไฟสว่างมากขึ้น
แต่ถ้าที่บ้านใครไม่เคยมีไฟฉายใช้ ไม่มีเครื่องดักฟัง ไม่มีจานดาวเทียม แต่อยากเห็นพาราโบลา ก็แค่หาก้อนหินสักก้อนโยนเฉียงๆขึ้นไปในอากาศ มันก็จะวิ่งตามเส้นทางที่เป็นรูปพาราโบลาให้เห็น (เพียงแต่ไม่ทิ้งร่องรอยไว้ในอากาศ ต้องจับตาดูตอนมันวิ่งเท่านั้น) ก่อนจะตกลงมาถึงพื้นอีกครั้ง
สร้างรูปพาราโบลา
พาราโบลาสร้างยากกว่าวงกลมพอสมควร แค่นิยามก็เข้าใจยากกว่ามากแล้ว แต่สมการของรูปจะดูเป็นมิตรกว่า
การสร้างพาราโบลา ต้องใช้ของเริ่มต้น 2 ชิ้นวางไว้ก่อน จุดต่างๆบนพาราโบลาจะสร้างโดยวัดระยะทางเทียบกับของสองชิ้นนี้ทั้งหมด ของสองชิ้นที่ว่านั้นคือจุด 1 จุด เรียกว่าจุดโฟกัส (Focus) และเส้นตรง 1 เส้นเรียกว่าเส้น ไดเรกตริกซ์ (Directrix)
จุดทั้งหลายบนพาราโบลา คือจุดที่อยู่ห่างจากจุดโฟกัสและห่างจากเส้นไดเรกตริกซ์เป็นระยะทางเท่าๆกัน
แปลว่าจุด (x, y) จะอยู่บนรูปพาราโบลาของเราได้ ถ้าวัดระยะจากจุด (x, y) ไปถึงจุดโฟกัส (ได้ความยาวออกมาค่าหนึ่ง) และวัดระยะจากจุด (x, y) เดียวกันไปถึงเส้นไดเรกตริกซ์ (ได้ความยาวออกมาอีกค่าหนึ่ง) แล้วปรากฏว่าความยาวสองค่านี้เท่ากัน
จุดแรกที่ตรงตามเงื่อนไขนี้แน่ๆ คือจุดตรงกลางระหว่างจุดโฟกัสและเส้นไดเรกตริกซ์พอดี วัดไปทางหนึ่งก็จะเจอจุด วัดไปทางตรงกันข้ามก็จะเจอเส้น และรับประกันว่าระยะทางทั้งสองเท่ากันแน่ๆ เพราะจุดของเรามันอยู่ตรงกลาง
จุดอื่นๆที่ตรงตามเงื่อนไขเดียวกันนี้จะค่อยๆโค้งออกห่างจากเส้นไดเรกตริกซ์ กางออกไปทั้งสองข้าง มีลักษณะเหมือนอ้าปากงับจุดโฟกัสไว้ แขนทั้งสองข้างสามารถยาวไปได้เรื่อยๆไม่มีที่สิ้นสุด ยิ่งวิ่งไปไกลก็จะยิ่งชันมากขึ้น แต่ส่วนใหญ่เราจะเจอแต่รูปเล็กๆเพราะมักไม่มีที่กว้างๆให้วาดรูปใหญ่ๆ
การสร้างสมการของพาราโบลาจึงเริ่มจากการจับ “ระยะทาง” สองค่าที่วัดได้นี่มาเท่ากัน อันนึงเป็นระยะทางจากจุดถึงจุด อีกอันเป็นระยะทางจากจุดถึงเส้นตรง เราเริ่มต้นด้วยของง่ายก่อนคือสมมุติว่ารูปนี้เป็นพาราโบลาแนวตั้ง จุดยอดของรูปอยู่ที่ (0, 0) ซึ่งหมายถึงจุดโฟกัสต้องอยู่ที่ (0, c) และสมการเส้นไดเรกตริกซ์คือ y = -c (หรือจัดรูปใหม่ได้เป็น 0x+y+c = 0)
ระยะทางจากจุด (x, y) ถึง (0, c) = ระยะทางจากจุด (x, y) ถึงเส้นตรง y = -c
เหตุที่ฝั่งขวาไม่ต้องใช้สูตรการวัดระยะทางที่ยุ่งๆ ยาวๆ เพราะมันเป็นระยะทางในแนวดิ่ง ตรงๆ ไม่เอียง จึงวัดว่าค่า y ห่างกันเท่าไหร่ได้โดยตรง (จุดลอยสูงจากพื้น y หน่วย และเส้นอยู่ต่ำลงไปจากพื้นอีก c ทั้งสองจึงห่างกัน y+c)
ถอดสแควร์รูทออกมาแล้วจัดรูปสมการไปมาจะได้
ดูง่ายกว่าสมการวงกลมเยอะเลย
สมการพาราโบลามีค่าคงที่อยู่หนึ่งตัว เช่นเดียวกับสมการวงกลม ในที่นี้คือค่า c เรียกว่าระยะโฟกัส เป็นระยะห่างระหว่างจุดยอดกับจุดโฟกัส การปรับค่า c ทำให้พาราโบลาหุบเข้าหรือบานออก ยิ่ง c มีค่ามากจะทำให้พาราโบลาบานมากขึ้น
สิ่งที่ต่างจากวงกลมคือ พาราโบลาเป็นรูปที่สมมาตรแกนเดียว การพลิกรูปหรือหมุนรูปจะทำให้ได้รูปใหม่ที่แตกต่างจากรูปเดิม ไม่เหมือนวงกลมที่จะพลิกจะหมุนยังไงก็ยังได้รูปเดิม ถ้าพาราโบลาถูกพลิกกลับหัว จุดยอดก็จะขึ้นไปอยู่ด้านบนสุดเหมือนตอนที่เราโยนหินขึ้นไปในอากาศ ถ้าจับตะแคงก็จะได้รูปคล้ายๆลำโพงที่หันหน้าออกข้างๆ อาจจะเป็นทางซ้ายหรือขวาก็ได้
การพลิกรูปโดยใช้สมการ ทำได้ง่ายมากโดยการเปลี่ยนค่า c ให้ติดลบ จะเห็นว่า 
ส่วนการตะแคงรูปทำได้โดยการ “สลับตัวแปร” คือทำให้แกน y กลายเป็นแกน x และแกน x กลายเป็นแกน y อะไรที่เคยตั้งก็จะกลายเป็นนอนไปหมด รูปที่เคยตั้งก็กลายเป็นรูปแนวนอน ค่า c เป็นบวกจะทำให้ได้พาราโบลาตะแคงขวา และ c เป็นลบก็จะได้พาราโบลาตะแคงซ้าย
สมการพาราโบลาเต็มยศ
สมการพาราโบลาที่เลื่อนแกนและกระจายพจน์ให้ยุ่งๆแล้วจะหน้าตาเป็นแบบนี้
ทั้งสองแนวนี้ต่างกันแค่สลับ x กับ y เท่านั้นเอง
เดี๋ยวถ้าได้นั่งสังเกตสมการของรูปทั้ง 4 ชนิดพร้อมๆกันจะพบว่า สมการพาราโบลาจะพิเศษกว่าใครเพื่อนตรงที่มีพจน์กำลังสองแค่พจน์เดียว ในขณะที่รูปอื่นๆมีทั้ง 
บวก – ลบ – คูณ
เพราะเมทริกซ์เกิดขึ้นมาเพื่อ “เลียนแบบ” ตัวเลข และทำในบางสิ่งที่ตัวเลขทำไม่ได้ สิ่งที่ต้องมีแน่ๆคือเราต้องนิยามการคำนวณต่างๆของเมทริกซ์ให้คล้ายกับของตัวเลขให้มากที่สุด และสอดคล้องกับการนำไปใช้ตามจุดประสงค์หลักที่มันเกิดมา :: เพื่อแก้ระบบสมการเป็นหลัก
การบวกและลบเมทริกซ์นั้นตรงไปตรงมา คือการนำสมาชิกในเมทริกซ์ที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันมาบวกลบกัน การบวกลบที่นิยามแบบนี้จึงบังคับไปในตัวว่า “มิติ” ของเมทริกซ์ที่นำมาบวกลบกันนั้นต้องเท่ากัน ไม่อย่างนั้นตัวใดตัวหนึ่งจะมี “บางตำแหน่ง” ที่อีกตัวไม่มี แล้วก็เลยไม่รู้จะเอาไปบวกลบกับใคร กฎข้อนี้เข้มงวดมาก จะหยวนๆให้กับเมทริกซ์สองตัวที่มิติใกล้เคียงกันก็ไม่ได้ ต้องเท่ากันเป๊ะๆเท่านั้น
สิ่งที่ซับซ้อนขึ้นมาหน่อยคือการคูณ หลายคนมักจะสงสัยว่าทำไมไม่นิยามการคูณเมทริกซ์ให้ง่ายๆ (คือคูณกันตัวต่อตัวไปเลย) เหมือนกับการบวกและลบ แต่กลายเป็นวิธีใหม่ที่ดูจำยากเหลือเกิน คำตอบตรงนี้ก็คือ เพื่อให้มันเหมาะสมต่อกระบวนการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (ซึ่งเดี๋ยวเราจะใช้คำตอบนี้ไปอีกหลายครั้งในเรื่องนี้)
ถ้าใครสันทัดจะจำ กฎสั้นๆของการคูณเมทริกซ์ที่เขานิยามไว้ คือ “เอาแต่ละแถว ไปคูณกับแต่ละหลัก ได้เป็นสมาชิกหนึ่งตัวของผลคูณ”
อธิบายได้ว่าแต่ละสมการในระบบจะมี “ค่าคงที่” คูณกับ “ตัวแปร” อยู่หลายคู่แล้วนำมาบวกกัน ขั้นตอนแรกของการแก้ระบบสมการด้วยเมทริกซ์คือพยายาม แยก ค่าคงที่และตัวแปรออกจากกัน (แต่ต้องแยกเพื่อให้คูณกันกลับมาได้ตัวเดิม) การคูณเมทริกซ์จึงประกอบด้วยสองขั้นตอนคือการคูณตัวต่อตัว (ซึ่งตั้งใจให้เป็นการคูณระหว่างชุดของค่าคงที่กับชุดของตัวแปร) และการนำผลคูณนั้นมาบวกกัน
แต่ต่อให้รู้ที่มาที่ไปว่าทำไมเราจึงคูณเมทริกซ์แบบนี้แล้ว ก็อาจจะยังไม่ช่วยให้หายงงเวลาลองไปนั่งคูณดูจริงๆ วิธีง่ายๆในการคูณเมทริกซ์ไม่ให้งงคือจัดรูปแบบการเขียนให้ดีกว่าเดิมสักหน่อย
วิธีการคือเขียนเมทริกซ์ตัวตั้งไว้บรรทัดปกติ แต่เขียนตัวคูณให้สูงขึ้นไปจากบรรทัดของตัวตั้ง เพื่อเว้นที่ว่างในบรรทัดปกติไว้เขียนผลคูณ เวลาคูณเราจะสามารถลากเส้นจากแต่ละแถวของตัวตั้ง มาตัดกับแต่ละหลักของตัวคูณในตำแหน่งที่ควรจะเป็นผลคูณ การทำแบบนี้ช่วยให้รู้ว่าต้องเอาแถวไหนมาคูณกับหลักไหน และพอคูณเสร็จแล้วต้องเขียนไว้ตรงไหน ความผิดพลาดก็จะลดลงได้
อินเวอร์สเมทริกซ์ :: การหารดีๆนี่เอง
สมัยประถมคงพอจำกันได้ว่าการหารจำนวนเต็มมันยากขนาดไหน พอเรียนม.ต้นก็มีการหารพหุนาม ซึ่งต้องใช้เครื่องไม้เครื่องมือแทบทั้งหมดที่เราเคยเรียนมาเกี่ยวกับพหุนาม พอมาถึงการหารเมทริกซ์เราก็จะรู้สึกคล้ายๆกันว่า “ทำไมมันยุ่งจังเลย” (ซึ่งก็เป็นความรู้สึกที่ถูกแล้ว) การหาอินเวอร์สซึ่งเทียบได้กับการหารเมทริกซ์นั้นใช้เครื่องไม้เครื่องมือที่ต้องยกเครื่องใหม่หมด แถมเครื่องมือเหล่านั้นก็แทบไม่ได้เอาไปใช้ที่อื่นอีกเลยด้วย
สมัยเรียนแก้สมการที่มีเครื่องหมายคูณ เช่น 5x = 15 เราต้องการให้เหลือ x ตัวเดียว พอเห็น 5 มากวนใจอยู่จึงต้องกำจัดมันทิ้งไป แต่ด้วยกฎของการแก้สมการที่บอกว่าจะทำอะไรต้องทำทั้งสองข้าง เราจึงเอา 5 ไปหารทั้งสองข้างของสมการ แล้วเราก็นั่งคิดเลขว่าเอา 15 ตั้ง หารด้วย 5 ได้อะไร …นั่งท่องสูตรคูณสักพักก็รู้ว่าได้ 3
หรือไม่อย่างนั้นเราจะใช้วิธีคูณก็ได้ แต่ต้องรู้ก่อนว่าอะไรคูณ 5 แล้วจะตัดกันหายไป (ได้ 1) นั่งคิดสักพักก็รู้ว่าคือ 1/5 ซึ่งเท่ากับ 0.2 (เรียกว่าอินเวอร์สการคูณของ 5) แล้วเอา 0.2 ไปคูณทั้งสองข้างของสมการ ก็จะได้คำตอบเดียวกัน
พอจะมาทำสิ่งเดียวกันกับสมการเมทริกซ์ เช่น AX = B เราก็น่าจะเอา A ไปหารทั้งสองข้างของสมการเหมือนกัน บังเอิญว่าวิธีการแบบเมทริกซ์ไม่มีขั้นตอนวิธีการหารที่จะเขียนออกมาได้ง่ายๆเหมือนการหารจำนวนหรือหารพหุนาม (คงจะมี แต่มันไม่ง่ายเลย … เราจึงไม่ต้องเรียนเรื่อง “การหารเมทริกซ์”) ก็เลยเลี่ยงมาใช้รวิธีคูณด้วยอินเวอร์สการคูณแทน ซึ่งทำง่ายกว่าการไปตะบี้ตะบันหาวิธีหารเป็นขั้นเป็นตอนออกมา
การมี “ตัวแปร” เกิดขึ้นในคณิตศาสตร์ทำให้เกิดสิ่งที่เรียกว่า “สมการ” ทำให้ปัญหาหลายอย่างแก้ได้ง่ายขึ้นมาก และทำให้คณิตศาสตร์เจริญเติบโตขึ้น มีพัฒนาการออกมาเป็นแขนงต่างๆมากมาย การมีตัวแปรเพียงแค่ตัวเดียว (มักจะให้ชื่อว่า) ก็ทำให้เรามีพหุนาม เอ็กซ์โพเนนเชียล ตรีโกณมิติ ฯลฯ เกิดขึ้นจนเป็นอย่างที่เห็นทุกวันนี้ (ซึ่งบางคนบอกว่า ไม่น่าจะเกิดมาเล้ยยย…) พอเกิดมีขึ้นมาแล้ว ก็ทำให้มีคำถามตามมาว่า…แล้วถ้าสมการมีตัวแปรหลายตัวล่ะ
สมการที่มีตัวแปรหลายตัวนั้นมีจริงๆ ตัวอย่างง่ายๆเช่น x+y = 5 แต่สิ่งที่เกิดขึ้นคือ สมการนี้มีหลายคำตอบ เพราะมีค่า x, y ที่ทำให้สมการเป็นจริงได้อยู่หลายคู่ เช่น x = 1, y = 4 หรือ x = 3, y = 2 ก็ใช้ได้ทั้งนั้น
นักคณิตศาสตร์กลับไปนั่งคิดว่า เมื่อไหร่สมการหลายตัวแปรจึงจะมีคำตอบได้ชุดเดียว (นั่นคือมี x แค่ตัวเดียว มี y แค่ตัวเดียว) คิดไปคิดมาก็พบว่าสมการหลายตัวแปรจะต้องมี “หลายสมการ” ที่ใช้ตัวแปรชุดเดียวกัน ซึ่งเรียกว่า “ระบบสมการ” จึงจะหาคำตอบที่แน่นอนได้เพียงชุดเดียว เช่น
หลักการก็คือ เมื่อเรามีหลายๆสมการที่ใช้ตัวแปรร่วมกัน ค่าของตัวแปรจะเริ่ม “ดิ้นไปไหนไม่ได้” มากขึ้นเรื่อยๆ จนในที่สุดก็จะมีค่าของ x, y ที่ทำให้สมการเป็นจริงทั้งคู่ได้แค่ชุดเดียว
ในมุมมองแบบเรขาคณิตวิเคราะห์ สมการเชิงเส้นสองตัวแปรก็คือเส้นตรงเส้นหนึ่ง (ลองเอา x+y=5 ไปวาดเส้นตรงดูก็ได้) ทุกๆจุดบนเส้นตรงคือคำตอบของสมการ เนื่องจากเส้นตรงประกอบตัวจุดมากมาย คำตอบของสมการเชิงเส้น(สมการเดียว) จึงมีเป็นอนันต์ การที่มีระบบสมการทำให้มีเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งเพิ่มขึ้น ถ้าเส้นที่เพิ่มมานี้ตัดกับเส้นเดิมที่จุดจุดเดียว จุดนั้นก็จะเป็นคำตอบของระบบสมการ เพราะมันอยู่บนเส้นตรงทั้งสองเส้น เป็นจุดที่ทำให้ทั้งสองสมการเป็นจริงพร้อมกัน
ในขณะที่สมการเชิงเส้น 3 ตัวแปรมีหน้าตาเป็น “ระนาบ” คือเป็นแผ่นๆเรียบๆ ระนาบสองแผ่นที่ตัดกันจะได้รอยตัดเป็นเส้นตรง และถ้ามีอีกแผ่นมาตัดเส้นตรงนั้น ก็จะได้จุดจุดเดียวเป็นคำตอบของระบบสมการเช่นเดียวกัน
วิธีหาคำตอบของระบบสมการมีหลายวิธี เริ่มตั้งแต่ง่ายที่สุดคือ “ลองจับสมการนึงแทนในอีกสมการนึง” ไปเรื่อยๆจนกว่าจะเหลือตัวแปรเดียวให้แก้ได้ ซึ่งวิธีนี้เร็วดีเมื่อมีสองสมการ สองตัวแปร แต่ถ้าระบบเริ่มใหญ่โตกว่านั้น สมการก็จะวุ่นวาย และคนคิดก็จะเหนื่อยขึ้น
เมทริกซ์เกิดมาเพื่อสิ่งนี้
ระบบสมการหลายตัวแปรไม่ใช่ของง่ายนัก ปัญหาก็คือหากได้เรียนคณิตศาสตร์ให้สูงๆขึ้นไป เราจะได้พบเจอเจ้าระบบสมการหลายตัวแปรนี้บ่อยมาก มีตั้งแต่การแก้ระบบสมการเชิงเส้นแบบตรงไปตรงมา (ให้สมการเชิงเส้นมาเลย) กับแบบที่ซับซ้อนกว่านั้นคือระบบสมการไม่ได้เป็นเชิงเส้น แต่ใช้การคำนวณแบบประมาณๆว่าเป็นเชิงเส้นได้
ด้วยเหตุผลบางอย่าง นักคณิตศาสตร์เลยจำเป็นต้องหาเครื่องมือไว้คอยจัดการกับมัน เครื่องมือชิ้นนี้เรียกว่า “เมทริกซ์”
เมทริกซ์ถูกสร้างขึ้นเพื่อ “เลียนแบบ” ระบบจำนวน ต่างกันที่ว่าเมทริกซ์หนึ่งตัวมีหน้าตาเป็นตารางสี่เหลี่ยม ประกอบด้วยจำนวนหลายจำนวนอยู่ในนั้น แต่ถึงหน้าตาจะต่างกันเล็กน้อย หัวใจก็ยังเหมือนกัน เพราะเดี๋ยวเราจะพบว่าเมทริกซ์สามารถนำไปบวก ลบ คูณ หาร ยกกำลังได้คล้ายๆกับจำนวนที่เราใช้ๆกันอยู่
x + y = 5
X – y = 1
จากตัวอย่างข้างบน เมทริกซ์ถูกนำมาใช้แบบนี้ (ขออนุญาตแอบทำให้ดูก่อน) เราจะเขียนฝั่งซ้ายของสมการ (ข้างที่มีตัวแปร x, y) เป็นผลคูณของเมทริกซ์ (เขียนยังไง…เดี๋ยวดูเรื่องการคูณเมทริกซ์) ใส่เครื่องหมาย = ตัวเดียวไว้ตรงกลาง และฝั่งขวาก็จะเขียนเป็นเมทริกซ์อีกตัวนึง จะได้หน้าตาอย่างนี้
![\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&{-1} \end{array}} \right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B+%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%2A%7B20%7D%7Bc%7D%7D++++1%261%5C%5C++1%26%7B-1%7D++%5Cend%7Barray%7D%7D+%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=444444&s=0&c=20201002)
![\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B+%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%2A%7B20%7D%7Bc%7D%7D++x%5C%5C++y++%5Cend%7Barray%7D%7D+%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=444444&s=0&c=20201002)
จากนั้น มอง ใหม่ว่าเมทริกซ์สองตัวทางซ้าย เป็นค่าคงที่ซะหนึ่งตัว (สมมุติว่าชื่อ A) เป็นตัวแปรหนึ่งตัว (สมมุติว่าชื่อ X) คูณกันแล้วได้ค่าคงที่ทางฝั่งขวามือ (สมมุติว่าชื่อ B) จากระบบสมการแรกที่มีสองบรรทัด ก็สามารถเขียนเป็นสมการใหม่ในบรรทัดเดียวได้ว่า
AX = B
ซึ่งถ้าอยู่ในระบบจำนวน เราจะหาค่าของ X ได้ง่ายๆโดยย้าย A ไปหารทางฝั่งขวา
เมื่อเป็นเมทริกซ์ เราเกือบจะทำสิ่งเดียวกันเลย ต่างกันแค่ว่าการหารของเมทริกซ์ไม่ได้เรียกว่าการหารเท่านั้นเอง (แต่เรียกว่าการคูณด้วยอินเวอร์ส) ซึ่งวิธีนี้ทำให้การแก้สมการหลายตัวแปรที่ดูน่าจะแก้ยาก กลายเป็นการคูณหารธรรมดาในระบบเมทริกซ์ไปทันที
![\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 1 \end{array}} \right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B+%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%2A%7B20%7D%7Bc%7D%7D++5%5C%5C++1++%5Cend%7Barray%7D%7D+%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=444444&s=0&c=20201002)
ที่ทางของคนมีปัญหา 