จะตั้งใจเขียนไปเรื่อยๆ จนกว่าโลกจะแตก

ที่ทางของคนมีปัญหา

วงรี

ถ้าใครเคยไปพิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์ จะมีของเล่นชิ้นใหญ่อยู่ชิ้นหนึ่ง เรียกว่า “ห้องกระซิบ” ซึ่งจะหน้าตาเป็นโลหะโค้งๆสองชิ้นตั้งอยู่ห่างกัน ให้เราไปยืนพูดด้วยเสียงไม่ดังมากอยู่ตรงจุดที่เหมาะสม แล้วให้เพื่อนฟังอยู่ใกล้ๆแผ่นโค้งๆอีกแผ่นนึง เราจะได้ยินเสียงคนพูดได้ชัดเจน แม้ว่าจะอยู่ห่างกันเกินระยะที่คุยปกติ

หลักการของห้องกระซิบคือการใช้สมบัติของ “วงรี” ที่ว่า ผิวด้านในของวงรีจะสะท้อนแสง เสียง หรือคลื่นใดๆที่ออกจากจุดโฟกัสหนึ่งไปยังอีกจุดโฟกัสหนึ่ง (ต่างกับพาราโบลาที่สะท้อนจากแหล่งกำเนิดที่เป็นจุดออกไปเป็นแนวขนาน หรือสะท้อนรังสีขนานให้เป็นจุด)

เราวาดวงรีได้ง่ายๆ โดยการใช้วัสดุใกล้ๆตัว ขอแค่ตะปูหรือหมุดสองตัว กับเชือกหนึ่งเส้นก็สร้างวงรีได้แล้ว โดยไม่ต้องกะๆเอาให้มันรี วิธีวาดก็คือ ใช้เชือกที่มีอยู่ผูกปลายทั้งสองติดเข้ากับหมุดข้างละตัว ปักหมุดลงบนกระดาษให้เชือกหย่อนนิดหน่อย (หรือหย่อนมากก็ได้) แล้วใช้ปลายปากกาดึงเชือกให้ตึง รูดไปมาโดยให้เชือกตึงตลอดเวลา เมื่อรูดไปจนครบวงทั้งด้านบนและด้านล่างก็จะพบว่าได้วงรี

 

การวาดวงรีด้วยวิธีนี้ นำไปใช้สร้างนิยามของวงรีว่าคือ เซตของจุดที่เมื่อวัดระยะห่างจากจุดคงที่สองจุด (จะได้ระยะห่างสองค่า) เมื่อนำระยะห่างทั้งสองมาบวกกันจะได้ค่าคงที่

การสร้างสมการวงรีจึงตั้งต้นด้วยนิยาม ซึ่งมาจากการวัดระยะทางระหว่างจุดสองจุด แต่วัดสองรอบนำมาบวกกัน ถ้าสมมุติให้เชือกยาว 2a และจุดที่ปักหมุดลงบนกระดาษ เรียกว่าจุดโฟกัส ซึ่งมีสองจุดคือคือ (x₁, y₁) และ (x₂, y₂)

สำหรับรูปอย่างง่ายที่สุด เมื่อรูปวงรีวางตามแนวนอน และให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) ซึ่งจะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองพอดี ถ้าระยะโฟกัสยาวเท่ากับ c พิกัดจุดโฟกัสจะกลายเป็น (-c, 0) และ (c, 0) ตามลำดับ ซึ่งช่วยให้สมการรูปอย่างง่ายนั้นง่ายขึ้นได้อีกเยอะ สมการตั้งต้นของวงรีจะหน้าตาเป็นแบบนี้

 $latex \sqrt{{{\left({x + c}\right)}^2}+{y^2}}+\sqrt{{{\left({x – c}\right)}^2}+{y^2}}$  = 2a

        สมการที่ติดสแควร์รูทนั้นนักคณิตศาสตร์ไม่ค่อยชอบกัน จึงต้องทำให้ง่ายกว่านี้ โดยการย้ายสแควร์รูทไปไว้คนละข้างกันแล้วยกกำลังสองทั้งสองข้าง

$latex \sqrt{{{\left({x + c}\right)}^2}+{y^2}}$ = $latex 2a – \sqrt{{{\left({x – c}\right)}^2} + {y^2}}$

$latex {x^2} + 2xc + {c^2} + {y^2}$ = $latex 4{a^2}+4a\sqrt{{{\left({x – c}\right)}^2}+{y^2}}+{x^2}-2xc + {c^2}$

 ตัดกันไปมาจะเหลือ

 $latex xc = {a^2} + a\sqrt {{{\left( {x – c} \right)}^2} + {y^2}} $

$latex xc – {a^2} = \sqrt {{{\left( {x – c} \right)}^2} + {y^2}} $

 ยกกำลังสองทั้งสองข้างอีกที

 $latex {c^2}{x^2} – 2xc + {a^4} =…

View original post 108 more words