แคลคูลัส – ตอนที่ 2: อัตราการเปลี่ยนแปลง

อัตราการเปลี่ยนแปลงที่ “จุดเดียว”

 

ถ้าเรามีกราฟแสดงการเจริญเติบโตของต้นไม้ เป็นกราฟที่บอกความสูงของต้นไม้ ณ เวลาต่างๆ ต้นไม้หนึ่งต้นมีความสูงค่าเดียว ณ เวลาหนึ่งๆ ความสูงของต้นไม้จึงเป็นฟังก์ชัน มีอินพุตเป็นเวลา และให้ค่าความสูงออกมา

เมื่อวาดกราฟฟังก์ชันความสูงของต้นไม้ จิ้มจุดมาสองจุดบนเส้นโค้งของกราฟ แล้วลากเส้นตรงเชื่อมระหว่างกัน เราจะได้เส้นเอียงๆ (หรืออาจจะไม่เอียงก็ได้) มาเส้นหนึ่ง ความชันของเส้นตรงเส้นนั้นเรียกว่าอัตราการเจริญเติบโตของต้นไม้ เพราะได้จากการเอาค่าของ “การเจริญเติบโต” (ความสูงที่เพิ่มขึ้น) หารด้วยเวลาที่เปลี่ยนไป

การหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณอย่างอื่นๆนอกเหนือจากการเติบโตของต้นไม้ ถ้าใช้เรขาคณิตเป็นเครื่องมือ เราจะต้องมีจุดสองจุดที่อยู่บนกราฟของฟังก์ชัน ลากเส้นเชื่อมเข้าด้วยกันเพื่อหาความชัน แล้วความชันของเส้นนั้นจะคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย

 

ถ้าเมื่อไหร่เกิดอยากหาอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง คือลงไปดูที่เวลาค่าใดค่าหนึ่งเป๊ะๆ ไม่เอาค่าเฉลี่ยบนช่วงเวลา เราจะเกิดปัญหากับเรขาคณิตทันที เพราะมีเวลาและค่าของฟังก์ชันแค่จุดเดียว ยังไงก็ไม่สามารถหาอัตราการเปลี่ยนแปลงได้ ถ้าจะเข้าสูตรความชันของเส้นตรงก็จะมีปัญหาว่า “ตัวหารเป็นศูนย์”

 

ถึงตรงนี้ลิมิตเข้ามาช่วยเราไว้ ในเรื่องลิมิตเราพูดได้ว่า “จุดเดียว” นั้นคือลิมิตของการที่สองจุดเคลื่อนเข้ามาใกล้กัน ความชันของกราฟที่จุดจุดเดียว ถึงเรขาคณิตจะหาไม่ได้ แต่เรานิยามให้มันคือลิมิตของความชันระหว่างสองจุดรอบๆบริเวณที่เราต้องการได้

เมื่อมีสองจุดในตอนแรกก็หาความชันกราฟได้ปกติ เมื่อสองจุดค่อยๆเคลื่อนเข้ามาหากัน ความชันกราฟก็จะเป็นค่าที่คำนวณบนช่วงเล็กลงเรื่อยๆ จนเมื่อสองจุดทับกัน ความชันก็จะหายไปเพราะไม่สามารถคำนวณตรงๆได้ แต่เราจะนิยามมันขึ้นมาให้เท่ากับค่าลิมิตของความชันที่คำนวณจากช่วงแคบๆรอบๆจุดนั้น พร้อมกับตั้งชื่อให้มันใหม่ว่า “อนุพันธ์”

 

ผลพลอยได้จากการทำแบบนี้ก็คือ เราได้เส้นสัมผัสกราฟที่จุด x จากเดิมที่การวัดความชันต้องสร้าง 2 จุดที่อยู่ห่างกันแล้วลากเส้นตรงเชื่อมสองจุดนั้น ถ้ากราฟเป็นเส้นโค้ง ความชันกับเส้นกราฟจะตัดกัน (ไม่สัมผัสกัน) แต่เมื่อลากสองจุดให้มาอยู่ติดกัน จุดที่คำนวณความชันของกราฟจะแตะกับเส้นสัมผัสพอดี ความชันของกราฟ ณ ตำแหน่งนั้น จะเท่ากับความชันของเส้นสัมผัสกราฟ และมีค่าเท่ากับอนุพันธ์ที่เรากำลังคำนวณอยู่

ตอนนี้เรามีหลายคำที่ความหมายเหมือนกัน ได้แก่ ความชันของกราฟ ณ จุดจุดหนึ่ง, ความชันของเส้นสัมผัสกราฟ, อนุพันธ์, และอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง … คำว่าความชันเป็นความหมายในเชิงเรขาคณิต ส่วนอัตราการเปลี่ยนแปลงนั้นเป็นคำทั่วๆไป คำว่าอนุพันธ์เป็นชื่อที่หมายถึงสิ่งเหล่านี้ทั้งหมด ซึ่งใช้เวลาที่ยุ่งเกี่ยวกับฟังก์ชัน จะได้ไม่ต้องเรียกด้วยคำยาวๆ