ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

Posts tagged ‘เอกภพสัมพัทธ์’

เซต – ตอนที่ 3: เอกภพสัมพัทธ์

เซตว่าง เอกภพสัมพัทธ์

ถ้าเซตไหนไม่มีสมาชิกเลยสักตัวเดียว เราเรียกมันว่า “เซตว่าง” ซึ่งก็เหมือนกับกล่องเปล่าๆ ไม่มีอะไรอยู่ข้างในนั่นเอง ตรงกันข้ามเราจะมี “เอกภพสัมพัทธ์” เป็นเซตที่บรรจุทุกอย่างเท่าที่จำเป็นเอาไว้ข้างใน จะทำอะไร พิจารณาอะไร ก็อยู่ภายใต้กรอบของเซตนี้

 

สำหรับเอกภพสัมพัทธ์ การบอกว่ามันบรรจุ “ทุกอย่าง” เอาไว้ข้างใน ไม่ได้หมายถึงว่ามันมีทุกอย่างในจักรวาลนี้ แต่แปลว่าในเรื่องหนึ่งๆ (เช่นโจทย์ข้อนึง หรือประโยคบอกเล่าประโยคหนึ่ง) เราจะมีขอบเขตที่ใหญ่พอสมควร ซึ่งบรรจุทุกอย่างเท่าที่จำเป็นต้องใช้ หรือเฉพาะเท่าที่เราสนใจจะไปยุ่งกับมัน

 

ตัวอย่างเช่น การพูดว่าต้นไม้ต้นนี้ใหญ่ที่สุด คงไม่ค่อยมีความหมายอะไรต่อคนฟังมากนัก เพื่อให้ชัดเจนขึ้นเราจำเป็นต้องบอกว่า “ใหญ่ที่สุด…ในไหน” เช่นในสวนหลังบ้านฉัน ในจังหวัดเชียงใหม่ ในทวีปเอเชีย หรือในจักรวาลนี้ เป็นต้น ดังนั้นถ้าพูดว่าต้นไม้ต้นนี้ใหญ่ที่สุดในประเทศไทย แปลว่าเรามีเซตของต้นไม้ทุกต้นในประเทศไทยอยู่ แล้วต้นไม้นี้ใหญ่ที่สุดเมื่อเทียบกับต้นอื่นๆในเซตนี้

แบบนี้เราก็จะเรียก เซตของต้นไม้ทุกต้นในประเทศไทย ว่าเป็นเอกภพสัมพัทธ์

แต่ถึงไม่บอกว่าจะยุ่งเกี่ยวกับต้นไม้ในขอบเขตขนาดไหน สำหรับกรณีต้นไม้นี้ ก็จะมีขอบเขตโดยปริยายของมันอยู่เช่น “เซตของต้นไม้ทุกต้น” เวลาพูดว่าต้องการต้นไม้ที่สูงที่สุดเฉยๆ จึงพอจะเข้าใจได้ว่าเอกภพสัมพัทธ์คือ “ของประเภทเดียวกันทั้งหมดที่มันมีอยู่”

 

ถ้าจะหาจำนวนที่มีค่ามากที่สุดในเซต{1, 3, 5, 67, 23, 12}ก็จะตอบว่า 67

กรณีนี้เซต{1, 3, 5, 67, 23, 12}ก็เรียกว่าเป็นเอกภพสัมพัทธ์ได้ (เห็นได้ชัดว่ามันไม่ได้บรรจุ “ทุกอย่าง” ไว้ซะหน่อย) เพราะบอกว่าขอบเขตการหาค่ามากที่สุดถูกจำกัดไว้เฉพาะในเซตนี้

ตรงนี้คือส่วนที่ต่างจากข้อที่แล้ว ถ้าเราพูดว่าอยากได้ “จำนวนที่มีค่ามากที่สุด” ขึ้นมาลอยๆ มันจะไม่มีความหมายใดๆ เพราะจำนวนสามารถโตไปได้เรื่อยๆ ไม่มีตัวที่มากที่สุด ต่างกับความสูงของต้นไม้ ซึ่งมีเป็นจำนวนจำกัด กรณีแบบนี้แหละที่เราต้องระบุให้แน่ชัดว่าเอกภพสัมพัทธ์ใหญ่แค่ไหน

 

ดังนั้น เอกภพสัมพัทธ์ คือเซตอะไรก็ได้ จะเล็กหรือใหญ่แค่ไหนก็ได้ แต่มีหน้าที่สำคัญคือเป็นตัวกำหนดขอบเขตของเรื่องที่เราจะพูดถึง ว่าอะไรเกี่ยว อะไรไม่เกี่ยวในเรื่องหนึ่งๆนั่นเอง

 

แม้แต่การเขียนเซตเอง ก็ใช้เอกภพสัมพัทธ์

การเขียนเซตคำตอบจากการแก้สมการต่างๆ เราจะต้องระบุเสมอว่า “จะเอาคำตอบจากในไหน” เพราะถ้าไม่ตกลงกันก่อนก็จะเกิดคำถามตามมา ในบางเซต สมการนี้จะมีคำตอบ แต่ในบางเซตก็ไม่มีคำตอบ เช่น

 \{ x \in R |x^2+5=0\}

เซตนี้บอกว่า ต้องการสมาชิก “ที่เป็นจำนวนจริงเท่านั้น” ซึ่งมีเงื่อนไขตามสมการ เราจะพบว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบอยู่ใน “เอกภพสัมพัทธ์” ที่เป็น R

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เซต

Tagged with: