เมทริกซ์ – ตอนที่ 2: บวก ลบ คูณ หาร

บวก – ลบ – คูณ

เพราะเมทริกซ์เกิดขึ้นมาเพื่อ “เลียนแบบ” ตัวเลข และทำในบางสิ่งที่ตัวเลขทำไม่ได้ สิ่งที่ต้องมีแน่ๆคือเราต้องนิยามการคำนวณต่างๆของเมทริกซ์ให้คล้ายกับของตัวเลขให้มากที่สุด และสอดคล้องกับการนำไปใช้ตามจุดประสงค์หลักที่มันเกิดมา :: เพื่อแก้ระบบสมการเป็นหลัก

 

การบวกและลบเมทริกซ์นั้นตรงไปตรงมา คือการนำสมาชิกในเมทริกซ์ที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันมาบวกลบกัน การบวกลบที่นิยามแบบนี้จึงบังคับไปในตัวว่า “มิติ” ของเมทริกซ์ที่นำมาบวกลบกันนั้นต้องเท่ากัน ไม่อย่างนั้นตัวใดตัวหนึ่งจะมี “บางตำแหน่ง” ที่อีกตัวไม่มี แล้วก็เลยไม่รู้จะเอาไปบวกลบกับใคร กฎข้อนี้เข้มงวดมาก จะหยวนๆให้กับเมทริกซ์สองตัวที่มิติใกล้เคียงกันก็ไม่ได้ ต้องเท่ากันเป๊ะๆเท่านั้น

 

สิ่งที่ซับซ้อนขึ้นมาหน่อยคือการคูณ หลายคนมักจะสงสัยว่าทำไมไม่นิยามการคูณเมทริกซ์ให้ง่ายๆ (คือคูณกันตัวต่อตัวไปเลย) เหมือนกับการบวกและลบ แต่กลายเป็นวิธีใหม่ที่ดูจำยากเหลือเกิน คำตอบตรงนี้ก็คือ เพื่อให้มันเหมาะสมต่อกระบวนการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (ซึ่งเดี๋ยวเราจะใช้คำตอบนี้ไปอีกหลายครั้งในเรื่องนี้)

ถ้าใครสันทัดจะจำ กฎสั้นๆของการคูณเมทริกซ์ที่เขานิยามไว้ คือ “เอาแต่ละแถว ไปคูณกับแต่ละหลัก ได้เป็นสมาชิกหนึ่งตัวของผลคูณ”

อธิบายได้ว่าแต่ละสมการในระบบจะมี “ค่าคงที่” คูณกับ “ตัวแปร” อยู่หลายคู่แล้วนำมาบวกกัน ขั้นตอนแรกของการแก้ระบบสมการด้วยเมทริกซ์คือพยายาม แยก ค่าคงที่และตัวแปรออกจากกัน (แต่ต้องแยกเพื่อให้คูณกันกลับมาได้ตัวเดิม) การคูณเมทริกซ์จึงประกอบด้วยสองขั้นตอนคือการคูณตัวต่อตัว (ซึ่งตั้งใจให้เป็นการคูณระหว่างชุดของค่าคงที่กับชุดของตัวแปร) และการนำผลคูณนั้นมาบวกกัน

 

แต่ต่อให้รู้ที่มาที่ไปว่าทำไมเราจึงคูณเมทริกซ์แบบนี้แล้ว ก็อาจจะยังไม่ช่วยให้หายงงเวลาลองไปนั่งคูณดูจริงๆ วิธีง่ายๆในการคูณเมทริกซ์ไม่ให้งงคือจัดรูปแบบการเขียนให้ดีกว่าเดิมสักหน่อย

วิธีการคือเขียนเมทริกซ์ตัวตั้งไว้บรรทัดปกติ แต่เขียนตัวคูณให้สูงขึ้นไปจากบรรทัดของตัวตั้ง เพื่อเว้นที่ว่างในบรรทัดปกติไว้เขียนผลคูณ เวลาคูณเราจะสามารถลากเส้นจากแต่ละแถวของตัวตั้ง มาตัดกับแต่ละหลักของตัวคูณในตำแหน่งที่ควรจะเป็นผลคูณ การทำแบบนี้ช่วยให้รู้ว่าต้องเอาแถวไหนมาคูณกับหลักไหน และพอคูณเสร็จแล้วต้องเขียนไว้ตรงไหน ความผิดพลาดก็จะลดลงได้

 

อินเวอร์สเมทริกซ์ :: การหารดีๆนี่เอง

สมัยประถมคงพอจำกันได้ว่าการหารจำนวนเต็มมันยากขนาดไหน พอเรียนม.ต้นก็มีการหารพหุนาม ซึ่งต้องใช้เครื่องไม้เครื่องมือแทบทั้งหมดที่เราเคยเรียนมาเกี่ยวกับพหุนาม พอมาถึงการหารเมทริกซ์เราก็จะรู้สึกคล้ายๆกันว่า “ทำไมมันยุ่งจังเลย” (ซึ่งก็เป็นความรู้สึกที่ถูกแล้ว) การหาอินเวอร์สซึ่งเทียบได้กับการหารเมทริกซ์นั้นใช้เครื่องไม้เครื่องมือที่ต้องยกเครื่องใหม่หมด แถมเครื่องมือเหล่านั้นก็แทบไม่ได้เอาไปใช้ที่อื่นอีกเลยด้วย

 

สมัยเรียนแก้สมการที่มีเครื่องหมายคูณ เช่น 5x = 15 เราต้องการให้เหลือ x ตัวเดียว พอเห็น 5 มากวนใจอยู่จึงต้องกำจัดมันทิ้งไป แต่ด้วยกฎของการแก้สมการที่บอกว่าจะทำอะไรต้องทำทั้งสองข้าง เราจึงเอา 5 ไปหารทั้งสองข้างของสมการ แล้วเราก็นั่งคิดเลขว่าเอา 15 ตั้ง หารด้วย 5 ได้อะไร …นั่งท่องสูตรคูณสักพักก็รู้ว่าได้ 3

หรือไม่อย่างนั้นเราจะใช้วิธีคูณก็ได้ แต่ต้องรู้ก่อนว่าอะไรคูณ 5 แล้วจะตัดกันหายไป (ได้ 1) นั่งคิดสักพักก็รู้ว่าคือ 1/5 ซึ่งเท่ากับ 0.2 (เรียกว่าอินเวอร์สการคูณของ 5) แล้วเอา 0.2 ไปคูณทั้งสองข้างของสมการ ก็จะได้คำตอบเดียวกัน

 

พอจะมาทำสิ่งเดียวกันกับสมการเมทริกซ์ เช่น AX = B เราก็น่าจะเอา A ไปหารทั้งสองข้างของสมการเหมือนกัน บังเอิญว่าวิธีการแบบเมทริกซ์ไม่มีขั้นตอนวิธีการหารที่จะเขียนออกมาได้ง่ายๆเหมือนการหารจำนวนหรือหารพหุนาม (คงจะมี แต่มันไม่ง่ายเลย … เราจึงไม่ต้องเรียนเรื่อง “การหารเมทริกซ์”) ก็เลยเลี่ยงมาใช้รวิธีคูณด้วยอินเวอร์สการคูณแทน ซึ่งทำง่ายกว่าการไปตะบี้ตะบันหาวิธีหารเป็นขั้นเป็นตอนออกมา