ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

Posts tagged ‘สมการวงกลม’

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 6: วงกลม

นิยามรูปเรขาคณิตด้วย “ระยะทาง”

รูปร่างในภาคตัดกรวยทั้ง 4 ประเภทสามารถสร้างด้วยมือได้ เพราะการอ้างอิงระยะทาง เราสามารถออกแบบเครื่องมือวาดรูปที่เป็นไปตามนิยามของรูปต่างๆได้เลย การจำว่ารูปเหล่านี้วาดยังไง ด้วยเครื่องมือหน้าตาเป็นยังไง จะทำให้เราจำนิยามได้แม่นยำโดยไม่ต้องมาเสียเวลานั่งท่องมัน

วงกลม

วงกลมนั้นสร้างได้ง่ายๆด้วยวงเวียน ทุกคนรู้ดีมาตั้งแต่สมัยเด็กๆ

วงเวียนที่ดีนั้น ขาทั้งสองจะต้องไม่ขยับเข้าออกเวลาที่เรากำลังหมุน (ซึ่งส่วนใหญ่มันจะขยับกางออกเวลาเราออกแรง) และขาปลายแหลมที่ใช้ปักกับกระดาษก็ต้องไม่เลื่อนไปไหน ถ้าอย่างใดอย่างหนึ่งเคลื่อนไปจากเดิมจะทำให้วงไม่กลมทันที วงเวียนราคาแพงหน่อยจะมีกลไกล็อคความกว้างระหว่างสองขาได้ และปลายแหลมก็จะแหลมจริงๆ เผลอเอาไปจิ้มนิ้วแล้วได้เลือดแน่นอน

ทั้งสองอย่างนี้เป็นสิ่งจำเป็นมากสำหรับวงกลม จำเป็นขนาดว่าเขาเอามาสร้างเป็นนิยามของวงกลมเลยทีเดียว จุดตรงปลายแหลมที่ปักกับกระดาษเรียกว่าจุดศูนย์กลาง และระยะระหว่างขาทั้งสองเรียกว่ารัศมี แต่สิ่งที่เรียกว่าวงกลมนั้นคือเฉพาะตรงที่ปลายดินสอของวงเวียนลากลงไป ซึ่งเรียกว่าเส้นรอบวง จุดศูนย์กลางนั้นไม่นับว่าเป็น “อวัยวะ” ของวงกลม และพื้นที่ว่างๆข้างในวงกลมก็ไม่นับว่าเป็นส่วนที่เรียกว่าวงกลมเช่นกัน (ในเรื่องต่อๆไปเราจะพบว่ารูปต่างๆมีจุดโฟกัส แกนสมมาตร แกนชื่อนั้นชื่อนี้ ให้ระลึกไว้เสมอว่าบรรดาจุดและเส้นเหล่านั้นไม่ใช่ส่วนหนึ่งของรูป แต่เป็นเครื่องมือในการสร้างรูป หรือช่วยให้สร้างรูปได้ง่ายขึ้น ไม่ได้เป็น “ส่วนหนึ่งของรูป” แต่อย่างใด)

วงกลมในเรขาคณิตวิเคราะห์ไม่ได้แตกต่างไปจากเดิม เรายังคง “สร้าง” รูปวงกลมด้วยวิธีเดิมคือกำหนดจุดศูนย์กลาง แล้ว “ลากเส้น” โค้งๆให้อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะทางคงที่เท่ากับรัศมี

สิ่งที่เปลี่ยนไปคือเราไม่จำเป็นต้องใช้วงเวียน (สังเกตว่าโปรแกรมวาดกราฟสามารถวาดวงกลมได้โดยไม่ต้องเอาวงเวียนไปทิ่มบนจอภาพ) แต่เปลี่ยนการลากเส้นที่ใช้วัตถุจริงๆมาเป็นการ “หาจุด” ที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะทางเท่ากับรัศมี วงกลมจึงกลายเป็น “เซต” ของจุดที่มีเงื่อนไขบางอย่างไป (รวมทั้งรูปอื่นๆในเรขาคณิตวิเคราะห์ด้วย) ความเป็นเซตทำให้เราระบุเงื่อนไขที่เป็นคณิตศาสตร์ได้ ไม่จำเป็นต้องอ้างถึงวงเวียนหรือกระดาษอีกต่อไป

เนื่องจากเรามีเครื่องมือในการวัดระยะทาง (สูตรระยะทางระหว่างสองจุด) จึงหยิบมาใช้ในการสร้างวงกลมซะเลย

\sqrt {{x^2} + {y^2}} = r

        การจะมีวงกลมได้ ต้องมีจุดศูนย์กลางก่อน ในที่นี้คือจุดที่อยู่ตรงตำแหน่ง (0, 0) จุดที่จะอยู่บนเส้นรอบวงคือจุด (x, y) ซึ่งมีได้หลายจุด จุดเหล่านี้จะอยู่ห่างจาก (0, 0) เป็นระยะทาง r หน่วย สมการจึงหน้าตาเหมือนที่เห็นข้างบน ทีนี้สมการที่ติดสแควร์รูท หน้าตามันไม่สวยเท่าไหร่ จึงมีการปรับรูปร่างของสูตรให้สวยขึ้น กลายเป็น

 {x^2} + {y^2} = {r^2}

วงกลมเป็นรูปที่ไม่มีอวัยวะมากมายนัก ส่วนประกอบอื่นๆนอกเหนือจากเส้นรอบวงก็คือจุดศูนย์กลางแค่จุดเดียว จึงไม่ค่อยมีอะไรให้ต้องจำมาก… ซึ่งเป็นข่าวดี

วงกลมเป็นรูปง่ายๆแต่มีคุณสมบัติพิเศษหลายอย่าง เช่น ในบรรดารูปทั้งหลายที่มีเส้นรอบรูปยาวเท่ากัน วงกลมจะมีพื้นที่มากที่สุด (หรือกลับกันจะบอกว่า ถ้ากำหนดให้รูปต่างๆมีพื้นที่เท่ากัน วงกลมจะมีเส้นรอบรูปสั้นที่สุด)

ถ้าขยายมิติเพิ่มไปอีกเป็นรูป 3 มิติ ก็จะได้ว่าทรงกลมเป็นรูปที่มี “ปริมาตร” มากที่สุดในบรรดารูปที่มีพื้นที่ผิวเท่ากัน อีกทั้งของเหลวในธรรมชาติ ถ้าหยดให้ตกลงมาอย่างอิสระ มันจะไหลไปกองรวมกันเป็นทรงกลมในขณะที่มันตกลงมา เช่นเม็ดฝน

การสร้าง “ลูกเหล็ก” กลมๆ วิธีง่ายที่สุด (แต่เราอาจจะทำเล่นเองไม่ได้) ก็คือการหยดเหล็กร้อนๆเหลวๆให้ตกอย่างอิสระเป็นระยะทางยาวพอสมควร เหล็กก็จะทำตัวเหมือนหยดน้ำคือไหลมากองรวมกันเป็นทรงกลม แล้วก็ทำให้เย็นจนคงรูป ก่อนที่จะตกถึงพื้น

เส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับรัศมี ณ จุดสัมผัส

ถ้าเราตีลูกปิงปอง ตีกอล์ฟ เตะลูกบอล แทงลูกสนุกเกอร์ หรือดีดลูกแก้ว ขณะที่มือหรือไม้ที่ใช้ตีกำลังกระทบลูกกลมๆเหล่านี้ มีกฎในวิชาฟิสิกส์กลศาสตร์ (ซึ่งจริงๆเป็นคณิตศาสตร์) บอกว่าแรงที่เราตี แทง หรือดีดออกไปนั้นจะผ่านจุดศูนย์กลางของลูกกลมๆพวกนั้น

ตรงนี้คณิตศาสตร์บอกว่า ขณะที่เราส่งแรงจากมือหรือไม้ไปยังลูกกลมๆ เราได้ “สัมผัส” พื้นผิวของทรงกลมเป็นจุดเล็กๆ ถ้าลากเส้นรัศมีออกมาจากจุดศูนย์กลางของทรงกลมมายังจุดสัมผัสนั้น รัศมีเส้นนั้นจะอยู่ในแนวตั้งฉากกับมือเรา

ถ้าเราดันเกิดโรคจิต อยู่ดีๆเอามือไปตีหอยเม่นซึ่งมีขนแหลมๆรอบตัวเป็นรูปคล้ายๆทรงกลม ขนของมันก็จะทิ่มลงไปตรงๆในทิศที่เราใช้มือตีลงไป ซึ่งตั้งฉากกับฝ่ามือของเรานั่นเอง

การมีข้อมูลว่าเส้นตรงสองเส้นนี้ (คือเส้นสัมผัส กับรัศมี) นั้นตั้งฉากกัน มีประโยชน์ในการคำนวณบ่อยครั้ง เพราะเรารู้ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกัน ว่าความชันจะคูณกันได้ -1 การรู้ความชันของเส้นหนึ่ง จะทำให้คำนวณความชันของอีกเส้นได้

การเลื่อนแกน

เคยสงสัยว่าทำไมหนังสือเรียนเล่มหนึ่งถึงเอาเรื่องการเลื่อนแกนมาแทรกหลังจากวงกลมก่อนจะเป็นพาราโบลา มาคิดได้ทีหลังว่าถ้าอยากจะเลื่อนแกนเราต้องมีรูปอะไรบางอย่างให้เลื่อนก่อน ถ้าอยู่ดีๆเรียนการเลื่อนแกนขึ้นมาลอยๆก็ไม่รู้จะเลื่อนอะไร แต่ถ้าเรียนทีหลังก็จะไม่เข้าใจว่าสมการรูปทั่วไปของแต่ละรูปมันทำไมตัวใหญ่นัก ทั้งที่จริงมันมาจากความเข้าใจอันเดียวกัน

เวลานั่งรถไฟสวนกันสองขบวน ถ้ารถของเราเคลื่อนไปข้างหน้า เราอาจจะรู้สึกว่ารถของเราอยู่นิ่งในขณะที่รถอีกคันเคลื่อนเข้ามาหาก็ได้ กลับกันถ้ารถเราถอยหลัง เราอาจจะรู้สึกว่ารถอีกคันวิ่งหนีเราก็ได้เหมือนกัน … นี่คือหลักการเลื่อนแกน

ถ้าเรามีรูปกระต่ายอยู่ที่จุด (0,0) บนแกนพิกัดฉาก เราอยากให้กระต่ายลอยสูงขึ้นโดยที่ไม่ต้องการยกกระต่ายหนีไปไหน เราอาจะให้กระต่ายอยู่ที่เดิมก็ได้ แต่จับแกนพิกัดฉากทั้งอันให้เลื่อนลงมา (นึกภาพว่ามีกระดาษวาดรูปกระต่ายไว้ ด้านบนมีแผ่นใสซึ่งมีรูปแกนพิกัดฉากวางทับไว้อีกแผ่น จึงเลื่อนไปมาได้) กระต่ายซึ่งที่จริงอยู่นิ่งๆบนกระดาษ ก็จะลอยสูงขึ้นเมื่อเทียบกับแกนพิกัดฉาก พอดีว่าในเรขาคณิตวิเคราะห์เราวัดความสูงต่ำทั้งหมดเทียบกับแกนพิกัดฉาก … จึงต้องถือว่ากระต่ายลอยสูงขึ้น ทั้งที่จริงๆอยู่ที่เดิม

รูปเรขาคณิตทั้งหลายในภาคตัดกรวยมีสมการอยู่บนแกน x และ y ปกติแล้วรูปจะมีจุดศูนย์กลางที่จุด (0,0) ถ้าเรายังไม่เลื่อนมันไปไหน เวลาจะเลื่อนรูป แทนที่จะไปสร้างสมการให้รูปนั้นๆขึ้นมาใหม่ เราก็จะเปลี่ยนแกนพิกัดฉากให้รูปแทน โดยการบวก/ลบค่าคงที่เข้าไปกับตัวแปร x, y

เช่นถ้าเปลี่ยน x ทุกตัวในสมการให้เป็น x+2 แกน x จะเลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย … เมื่อแกนเลื่อนไปทางขวา แต่รูปอยู่นิ่งๆ รูปซึ่งวัดเทียบกับแกนที่เปลี่ยนไปนี้จึงถอยมาทางซ้าย 2 หน่วย

ทำนองเดียวกัน ถ้าเปลี่ยน y ทุกตัวให้เป็น y-5 จะเป็นการเลื่อนแกน y ลงไปจากเดิม 5 หน่วย รูปที่อยู่ที่เดิมจะลอยขึ้น 5 หน่วยเมื่อวัดเทียบกับแกนใหม่ … พอเลื่อนแกนเสร็จเรียบร้อยก็เท่ากับเลื่อนรูปไปอยู่ในตำแหน่งใหม่ที่ต้องการแล้ว

เลื่อนแกนให้วงกลม

เมื่อเลื่อนวงกลมให้จุดศูนย์กลางไปปักอยู่ที่ (h, k) แทนที่จะเป็น (0, 0) สมการก็จะเปลี่ยนไปนิดหน่อย โดยเปลี่ยนจาก x, y ธรรมดาไปเป็น x-h และ y-k โจทย์ปัญหามักจะขยันกระจายสมการแบบเลื่อนแกนนี้ให้ยุ่งขึ้นกว่าเดิม กลายเป็น

 {x^2} + {y^2} + 2xh + 2yk + ({h^2} + {k^2} - {r^2}) = 0

วงเล็บที่ล้อมรอบสามพจน์สุดท้ายหมายความว่าเวลาแทนค่าด้วยตัวเลขแล้ว สามพจน์นี้จะหลอมรวมกันเป็นตัวเดียวไม่แยกให้เห็นว่าอะไรเป็นอะไร ที่แย่กว่านั้นคือภาคตัดกรวยแต่ละรูปก็จะมีสมการหน้าตาคล้ายๆกันนี้ ต่างกันที่สัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์และเครื่องหมายที่เชื่อมอยู่ ซึ่งเดี๋ยวตอนท้ายบทนี้เราจะมานั่งดูกันว่าสมการของแต่ละรูปมีอะไรให้สังเกตได้บ้าง

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

Tagged with: