ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

Posts tagged ‘วงรี’

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 8: วงรี

วงรี

ถ้าใครเคยไปพิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์ จะมีของเล่นชิ้นใหญ่อยู่ชิ้นหนึ่ง เรียกว่า “ห้องกระซิบ” ซึ่งจะหน้าตาเป็นโลหะโค้งๆสองชิ้นตั้งอยู่ห่างกัน ให้เราไปยืนพูดด้วยเสียงไม่ดังมากอยู่ตรงจุดที่เหมาะสม แล้วให้เพื่อนฟังอยู่ใกล้ๆแผ่นโค้งๆอีกแผ่นนึง เราจะได้ยินเสียงคนพูดได้ชัดเจน แม้ว่าจะอยู่ห่างกันเกินระยะที่คุยปกติ

หลักการของห้องกระซิบคือการใช้สมบัติของ “วงรี” ที่ว่า ผิวด้านในของวงรีจะสะท้อนแสง เสียง หรือคลื่นใดๆที่ออกจากจุดโฟกัสหนึ่งไปยังอีกจุดโฟกัสหนึ่ง (ต่างกับพาราโบลาที่สะท้อนจากแหล่งกำเนิดที่เป็นจุดออกไปเป็นแนวขนาน หรือสะท้อนรังสีขนานให้เป็นจุด)

เราวาดวงรีได้ง่ายๆ โดยการใช้วัสดุใกล้ๆตัว ขอแค่ตะปูหรือหมุดสองตัว กับเชือกหนึ่งเส้นก็สร้างวงรีได้แล้ว โดยไม่ต้องกะๆเอาให้มันรี วิธีวาดก็คือ ใช้เชือกที่มีอยู่ผูกปลายทั้งสองติดเข้ากับหมุดข้างละตัว ปักหมุดลงบนกระดาษให้เชือกหย่อนนิดหน่อย (หรือหย่อนมากก็ได้) แล้วใช้ปลายปากกาดึงเชือกให้ตึง รูดไปมาโดยให้เชือกตึงตลอดเวลา เมื่อรูดไปจนครบวงทั้งด้านบนและด้านล่างก็จะพบว่าได้วงรี

 

การวาดวงรีด้วยวิธีนี้ นำไปใช้สร้างนิยามของวงรีว่าคือ เซตของจุดที่เมื่อวัดระยะห่างจากจุดคงที่สองจุด (จะได้ระยะห่างสองค่า) เมื่อนำระยะห่างทั้งสองมาบวกกันจะได้ค่าคงที่

การสร้างสมการวงรีจึงตั้งต้นด้วยนิยาม ซึ่งมาจากการวัดระยะทางระหว่างจุดสองจุด แต่วัดสองรอบนำมาบวกกัน ถ้าสมมุติให้เชือกยาว 2a และจุดที่ปักหมุดลงบนกระดาษ เรียกว่าจุดโฟกัส ซึ่งมีสองจุดคือคือ (x1, y1) และ (x2, y2)

สำหรับรูปอย่างง่ายที่สุด เมื่อรูปวงรีวางตามแนวนอน และให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) ซึ่งจะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองพอดี ถ้าระยะโฟกัสยาวเท่ากับ c พิกัดจุดโฟกัสจะกลายเป็น (-c, 0) และ (c, 0) ตามลำดับ ซึ่งช่วยให้สมการรูปอย่างง่ายนั้นง่ายขึ้นได้อีกเยอะ สมการตั้งต้นของวงรีจะหน้าตาเป็นแบบนี้

 \sqrt{{{\left({x + c}\right)}^2}+{y^2}}+\sqrt{{{\left({x - c}\right)}^2}+{y^2}}  = 2a

        สมการที่ติดสแควร์รูทนั้นนักคณิตศาสตร์ไม่ค่อยชอบกัน จึงต้องทำให้ง่ายกว่านี้ โดยการย้ายสแควร์รูทไปไว้คนละข้างกันแล้วยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\sqrt{{{\left({x + c}\right)}^2}+{y^2}} = 2a - \sqrt{{{\left({x - c}\right)}^2} + {y^2}}

{x^2} + 2xc + {c^2} + {y^2} = 4{a^2}+4a\sqrt{{{\left({x - c}\right)}^2}+{y^2}}+{x^2}-2xc + {c^2}

 ตัดกันไปมาจะเหลือ

 xc = {a^2} + a\sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}}

xc - {a^2} = \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}}

 ยกกำลังสองทั้งสองข้างอีกที

 {c^2}{x^2} - 2xc + {a^4} = {a^2}\left( {{x^2} - 2xc + {c^2} + {y^2}} \right)

{a^4} - {a^2}{c^2} = \left( {{a^2} - {c^2}} \right){x^2} + {a^2}{y^2}

หารตลอดด้วยพจน์ซ้ายมือ จะได้

\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{a^2} - {c^2}}} = 1

เมื่อเหลือสูตรเล็กขนาดนี้แล้ว นักคณิตศาสตร์เปลี่ยนชื่อตัวแปรใหม่ได้สั้นลงไปอีก และมีความหมายมากขึ้น โดยให้ {b^2} = {a^2} - {c^2} ซึ่ง a เป็นครึ่งหนึ่งของความยาวรูป ส่วน b ตัวใหม่ที่เพิ่งตั้งขึ้นมานี้จะเป็นครึ่งหนึ่งของความกว้างรูป

 \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1

สมการวงรีจึงเสร็จสมบูรณ์ด้วยประการฉะนี้ ซึ่งอย่างที่บอกไปแล้วว่าสมการนี้สำหรับวงรีที่วางในแนวนอน ถ้าสลับตัวแปร x, y กัน วงรีจะเปลี่ยนเป็นแนวตั้ง (ถูกบีบทางด้านข้าง แทนที่จะบีบด้านบน-ล่าง)

a,b,c เจ้าปัญหา

a,b,c มีความหมายโดยตรงถึงอวัยวะต่างๆในรูปวงรี ความยากของการใช้ตัวแปรสามตัวนี้คือ เดี๋ยวมันจะมาโผล่หน้าให้ชมอีกครั้งในรูปไฮเพอร์โบลา และมีความหมายต่างจากที่กล่าวถึงในรูปวงรี (เพราะอวัยวะมันไม่เหมือนกัน)

ในการวาดวงรีด้วยมือ เนื่องจากเรากำหนดให้เชือกยาว 2a และจุดโฟกัสทั้งสองอยู่ห่างกัน 2c เมื่อขึงเชือกให้ตึงโดยปลายปากกาอยู่ในแนวกึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสพอดีเป๊ะ ถ้าลากเส้นเพิ่มนิดหน่อยจะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่เท่ากัน ค่าของ a และ c จะเป็นด้านทแยงและด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งตามลำดับ เหลืออีกด้านหนึ่งซึ่งจะยาวเท่ากับ b เราจึงได้ {b^2} = {a^2} - {c^2} ตามที่เขียนไว้ข้างบน ความหมายทางเรขาคณิตของมันก็คือ a เป็น “ครึ่งหนึ่งของความยาวรูป” และ b เป็น “ครึ่งหนึ่งของความกว้างรูป” ถ้าจะเทียบว่าวงรีคือวงกลมที่โดนบีบ a กับ b ก็คือค่ารัศมีนั่นเอง ต่างกันตรงที่รัศมีของวงรีนั้นไม่คงที่ จะสั้นสุดเท่ากับ b และยาวสุดเท่ากับ a

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

Tagged with:

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 5: นิยามภาคตัดกรวย

ภาคตัดกรวย

คำว่าภาคตัดกรวย ได้มาจากการ “ตัดกรวย” จริงๆ คือถ้ามีกรวยฐานกลม ปลายแหลม สองชิ้น นำมาต่อกันโดยหันกลายแหลมเข้าหากัน แล้วมีมีดหรือเลื่อยคมๆมาตัดกรวยนั้นให้เป็นหน้าตัดเรียบๆในแนวต่างๆกัน รูปที่ได้ก็จะมีหน้าตาต่างกันไป ซึ่งตัดให้ตายยังไงก็จะมีรูปร่างไม่เกิน 4 ประเภท สองชื่อที่น่าจะคุ้นเคยคือวงกลมและวงรี ส่วนอีกสองชื่ออาจได้ยินไม่บ่อยนัก คือพาราโบลา และไฮเพอร์โบลา

 

วงกลมนั้นหาดูได้ง่ายที่สุด ได้จากการตัดกรวยในแนวขนานกับฐาน เนื่องจากฐานกรวยเป็นวงกลม การตัดขนานกับฐานทำให้ได้รอยตัดกลมด้วย แต่ขนาดของวงกลมขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่ตัด ยิ่งอยู่ใกล้ยอดแหลม วงก็ยิ่งเล็ก

 

วงรีนั้นเหมือนกับการบีบวงกลมให้เบี้ยวไปเล็กน้อย ได้จากการตัดกรวยแบบเฉียงๆเล็กน้อย แต่ยังเฉียงไม่เท่าแนวสูงเอียงของผิวกรวยด้านข้าง ถ้าใครเคยตัดต้นกล้วยหรือเลื่อยท่อน้ำในแนวเฉียงๆ รอยตัดก็จะเป็นวงรีเหมือนกัน

 

พาราโบลาอาจหาดูได้ง่ายตามหลังคาบ้านสมัยนี้ เพราะเป็นรูปร่างของจานดาวเทียมเมื่อมองจากด้านข้าง หรือถ้าใครเคยแกะดูแผ่นสะท้อนแสงรอบๆหลอดไฟฉาย ผิวโค้งของมันก็สร้างขึ้นจากพาราโบลาเหมือนกัน พาราโบลาได้จากการตัดกรวยเฉียงขนานกับแนวสูงเอียงของผิวกรวยพอดีเป๊ะ ถ้ากรวยมีขนาดใหญ่ แขนของพาราโบลาก็จะงอกยาวไปได้เรื่อยๆ (ถ้ากรวยมีขนาดเป็นอนันต์ พาราโบลาก็จะต่อแขนไปได้ไม่สิ้นสุด) เพราะรอยตัดจะไม่หลุดไปจากกรวยซะที แต่จะผ่าเข้าไปในเนื้อกรวยที่กว้างขึ้นเรื่อยๆ

 

ไฮเพอร์โบลาเป็นเส้นโค้งๆสองเส้นที่คอดเข้าหากันตรงกลาง (แต่ไม่แตะกัน) ส่วนปลายของแต่ละเส้นบานออกจากกัน ไฮเพอร์โบลาหาดูได้ยากหน่อย อาจต้องไปเดินหาพนักงานกวาดถนนซึ่งใช้ไม้กวาดทางมะพร้าวอันใหญ่ๆที่ทำจากก้านใบของมะพร้าวจำนวนมากมามัดรวมกันแล้วบิดให้ปลายบานออก ถ้าดูจากด้านข้างก็จะเป็นรูปไฮเพอร์โบลา หรือตัวอย่างที่ใกล้ตัวกว่านั้นและอาจจะทำเองได้ โดยใช้ดินสอสักหนึ่งกำมือ นำหนังยางมามัดไว้ แล้วบิดกำดินสอให้เอียงไปทางเดียวกัน ก็จะมีหน้าตาคล้ายๆไม้กวาดทางมะพร้าว ไฮเพอร์โบลาได้จากการตัดกรวยในแนวที่ชันกว่าแนวสูงเอียงของผิวกรวย ทำให้ตัดไปโดนกรวยอีกอันหนึ่งซึ่งคว่ำหัวอยู่ด้วย รอยตัดจึงมีสองรอย เป็นเส้นโค้งๆคล้ายกับพาราโบลา แต่จะบานกว่า และทั้งสองเส้นวิ่งหนีห่างออกจากกัน

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

Tagged with: