ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

Posts tagged ‘พาราโบลา’

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 7: พาราโบลา

พาราโบลา

เดี๋ยวนี้เราหางานศิลปะรูปพาราโบลาสวยๆดูได้ไม่ยาก ตามหลังคาบ้านหลายๆคนเริ่มเปลี่ยนจากเสาตรงๆโด่ๆมีก้างปลาอยู่ข้างบนมาเป็นจานกลมๆสีแดงบ้าง ดำบ้าง ขาวบ้าง และสีอื่นๆอีกหลากสี เอามารับสัญญาณผ่านดาวเทียม แทนที่จะใช้สัญญาณส่งจากภาคพื้นดิน ซึ่งใครๆก็โฆษณาว่าช่องมันเยอะกว่า และชัดกว่าดูจากเสาทีวีปกติ

จานดาวเทียม มีลักษณะเป็นรูป “พาราโบลอยด์” (Paraboloid) ได้จากการนำเส้นโค้งพาราโบลามาหมุนรอบตัวให้ครบวง นึกถึงเวลาเขาปั้นหม้อดินเผา จะมีการขึ้นรูปหม้อเป็นทรงต่างๆ ถ้าเรานำลวดที่เป็นเส้นโค้งพาราโบลาไปทาบเป็นแบบ ก็จะได้รูปพาราโบลอยด์ออกมา

เส้นโค้งพาราโบลา หรือรูปทรงพาราโบลอยด์ มีสมบัติพิเศษอยู่อย่างหนึ่งที่รู้จักกันดี นั่นคือความสามารถในการสะท้อนแสงหรือคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่เดินทางมาเป็นเส้นตรงให้มารวมกันที่จุดจุดเดียว ผลจากการสะท้อนมารวมกันทำให้แสงหรือคลื่นที่ว่านั้นมีความเข้มสูงขึ้นมาก ถ้าเป็นคลื่นที่เป็นสัญญาณภาพและเสียงของโทรทัศน์ ก็จะทำให้รับสัญญาณได้ชัดเจนกว่าการใช้เสาอากาศดักคลื่น แล้วปล่อยให้คลื่นบางส่วนผ่านเลยไปโดยเปล่าประโยชน์

ถ้าใครเคยใช้เครื่องดักฟังเสียง (เสียงที่ล่องลอยมาในอากาศ ไม่ใช่เสียงจากคู่สายโทรศัพท์) บางประเภท ก็จะมีแผ่นสะท้อนเสียงเป็นรูปพาราโบลอยด์เหมือนกัน ซึ่งใช้หลักการเดียวกับจานดาวเทียม

เราจะพบรูปทรงพาราโบลอยด์ได้ที่อื่นอีกเช่น “ไฟฉาย” แผ่นสะท้อนแสงสีเงินๆที่ล้อมรอบหลอดไฟอยู่จะมีรูปทรงพาราโบลอยด์เหมือนกัน เพราะหลอดไฟจะปล่อยแสงออกมาจากจุดจุดเดียวคือไส้หลอด แต่คนที่ใช้ไฟฉายต้องการความสว่างเฉพาะด้านหน้าไฟฉายเท่านั้น จึงต้องใช้แผ่นที่สะท้อนแสงด้านข้างรอบๆหลอดไฟให้พุ่งไปเสริมกับแสงทางด้านหน้า ทำให้ไฟสว่างมากขึ้น

แต่ถ้าที่บ้านใครไม่เคยมีไฟฉายใช้ ไม่มีเครื่องดักฟัง ไม่มีจานดาวเทียม แต่อยากเห็นพาราโบลา ก็แค่หาก้อนหินสักก้อนโยนเฉียงๆขึ้นไปในอากาศ มันก็จะวิ่งตามเส้นทางที่เป็นรูปพาราโบลาให้เห็น (เพียงแต่ไม่ทิ้งร่องรอยไว้ในอากาศ ต้องจับตาดูตอนมันวิ่งเท่านั้น) ก่อนจะตกลงมาถึงพื้นอีกครั้ง

สร้างรูปพาราโบลา

พาราโบลาสร้างยากกว่าวงกลมพอสมควร แค่นิยามก็เข้าใจยากกว่ามากแล้ว แต่สมการของรูปจะดูเป็นมิตรกว่า

การสร้างพาราโบลา ต้องใช้ของเริ่มต้น 2 ชิ้นวางไว้ก่อน จุดต่างๆบนพาราโบลาจะสร้างโดยวัดระยะทางเทียบกับของสองชิ้นนี้ทั้งหมด ของสองชิ้นที่ว่านั้นคือจุด 1 จุด เรียกว่าจุดโฟกัส (Focus) และเส้นตรง 1 เส้นเรียกว่าเส้น ไดเรกตริกซ์ (Directrix)

จุดทั้งหลายบนพาราโบลา คือจุดที่อยู่ห่างจากจุดโฟกัสและห่างจากเส้นไดเรกตริกซ์เป็นระยะทางเท่าๆกัน

แปลว่าจุด (x, y) จะอยู่บนรูปพาราโบลาของเราได้ ถ้าวัดระยะจากจุด (x, y) ไปถึงจุดโฟกัส (ได้ความยาวออกมาค่าหนึ่ง) และวัดระยะจากจุด (x, y) เดียวกันไปถึงเส้นไดเรกตริกซ์ (ได้ความยาวออกมาอีกค่าหนึ่ง) แล้วปรากฏว่าความยาวสองค่านี้เท่ากัน

จุดแรกที่ตรงตามเงื่อนไขนี้แน่ๆ คือจุดตรงกลางระหว่างจุดโฟกัสและเส้นไดเรกตริกซ์พอดี วัดไปทางหนึ่งก็จะเจอจุด วัดไปทางตรงกันข้ามก็จะเจอเส้น และรับประกันว่าระยะทางทั้งสองเท่ากันแน่ๆ เพราะจุดของเรามันอยู่ตรงกลาง

จุดอื่นๆที่ตรงตามเงื่อนไขเดียวกันนี้จะค่อยๆโค้งออกห่างจากเส้นไดเรกตริกซ์ กางออกไปทั้งสองข้าง มีลักษณะเหมือนอ้าปากงับจุดโฟกัสไว้ แขนทั้งสองข้างสามารถยาวไปได้เรื่อยๆไม่มีที่สิ้นสุด ยิ่งวิ่งไปไกลก็จะยิ่งชันมากขึ้น แต่ส่วนใหญ่เราจะเจอแต่รูปเล็กๆเพราะมักไม่มีที่กว้างๆให้วาดรูปใหญ่ๆ

การสร้างสมการของพาราโบลาจึงเริ่มจากการจับ “ระยะทาง” สองค่าที่วัดได้นี่มาเท่ากัน อันนึงเป็นระยะทางจากจุดถึงจุด อีกอันเป็นระยะทางจากจุดถึงเส้นตรง เราเริ่มต้นด้วยของง่ายก่อนคือสมมุติว่ารูปนี้เป็นพาราโบลาแนวตั้ง จุดยอดของรูปอยู่ที่ (0, 0) ซึ่งหมายถึงจุดโฟกัสต้องอยู่ที่ (0, c) และสมการเส้นไดเรกตริกซ์คือ y = -c (หรือจัดรูปใหม่ได้เป็น 0x+y+c = 0)

ระยะทางจากจุด (x, y) ถึง (0, c) = ระยะทางจากจุด (x, y) ถึงเส้นตรง y = -c

 \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - c} \right)}^2}}  = y + c

เหตุที่ฝั่งขวาไม่ต้องใช้สูตรการวัดระยะทางที่ยุ่งๆ ยาวๆ เพราะมันเป็นระยะทางในแนวดิ่ง ตรงๆ ไม่เอียง จึงวัดว่าค่า y ห่างกันเท่าไหร่ได้โดยตรง (จุดลอยสูงจากพื้น y หน่วย และเส้นอยู่ต่ำลงไปจากพื้นอีก c ทั้งสองจึงห่างกัน y+c)

ถอดสแควร์รูทออกมาแล้วจัดรูปสมการไปมาจะได้

 {x^2} = 4cy

        ดูง่ายกว่าสมการวงกลมเยอะเลย

สมการพาราโบลามีค่าคงที่อยู่หนึ่งตัว เช่นเดียวกับสมการวงกลม ในที่นี้คือค่า c เรียกว่าระยะโฟกัส เป็นระยะห่างระหว่างจุดยอดกับจุดโฟกัส การปรับค่า c ทำให้พาราโบลาหุบเข้าหรือบานออก ยิ่ง c มีค่ามากจะทำให้พาราโบลาบานมากขึ้น

สิ่งที่ต่างจากวงกลมคือ พาราโบลาเป็นรูปที่สมมาตรแกนเดียว การพลิกรูปหรือหมุนรูปจะทำให้ได้รูปใหม่ที่แตกต่างจากรูปเดิม ไม่เหมือนวงกลมที่จะพลิกจะหมุนยังไงก็ยังได้รูปเดิม ถ้าพาราโบลาถูกพลิกกลับหัว จุดยอดก็จะขึ้นไปอยู่ด้านบนสุดเหมือนตอนที่เราโยนหินขึ้นไปในอากาศ ถ้าจับตะแคงก็จะได้รูปคล้ายๆลำโพงที่หันหน้าออกข้างๆ อาจจะเป็นทางซ้ายหรือขวาก็ได้

การพลิกรูปโดยใช้สมการ ทำได้ง่ายมากโดยการเปลี่ยนค่า c ให้ติดลบ จะเห็นว่า {x^2}  มีค่าเป็นบวกเสมออยู่แล้ว ถ้า c ติดลบ y ก็จะติดลบตามไปด้วย การที่ y ติดลบแปลว่ากราฟไปห้อยต่องแต่งอยู่ด้านล่าง กลายเป็นพาราโบลา “คว่ำ”

ส่วนการตะแคงรูปทำได้โดยการ “สลับตัวแปร” คือทำให้แกน y กลายเป็นแกน x และแกน x กลายเป็นแกน y อะไรที่เคยตั้งก็จะกลายเป็นนอนไปหมด รูปที่เคยตั้งก็กลายเป็นรูปแนวนอน ค่า c เป็นบวกจะทำให้ได้พาราโบลาตะแคงขวา และ c เป็นลบก็จะได้พาราโบลาตะแคงซ้าย

สมการพาราโบลาเต็มยศ

        สมการพาราโบลาที่เลื่อนแกนและกระจายพจน์ให้ยุ่งๆแล้วจะหน้าตาเป็นแบบนี้

{x^2} - 2hx - 4cy + ({h^2} + 4ck) = 0 สำหรับพาราโบลาในแนวตั้ง

{y^2} - 2ky - 4cx + ({k^2} + 4ch) = 0 สำหรับพาราโบลาในแนวตะแคง

ทั้งสองแนวนี้ต่างกันแค่สลับ x กับ y เท่านั้นเอง

เดี๋ยวถ้าได้นั่งสังเกตสมการของรูปทั้ง 4 ชนิดพร้อมๆกันจะพบว่า สมการพาราโบลาจะพิเศษกว่าใครเพื่อนตรงที่มีพจน์กำลังสองแค่พจน์เดียว ในขณะที่รูปอื่นๆมีทั้ง {x^2} และ {y^2} กันทั้งนั้น

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

Tagged with:

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 5: นิยามภาคตัดกรวย

ภาคตัดกรวย

คำว่าภาคตัดกรวย ได้มาจากการ “ตัดกรวย” จริงๆ คือถ้ามีกรวยฐานกลม ปลายแหลม สองชิ้น นำมาต่อกันโดยหันกลายแหลมเข้าหากัน แล้วมีมีดหรือเลื่อยคมๆมาตัดกรวยนั้นให้เป็นหน้าตัดเรียบๆในแนวต่างๆกัน รูปที่ได้ก็จะมีหน้าตาต่างกันไป ซึ่งตัดให้ตายยังไงก็จะมีรูปร่างไม่เกิน 4 ประเภท สองชื่อที่น่าจะคุ้นเคยคือวงกลมและวงรี ส่วนอีกสองชื่ออาจได้ยินไม่บ่อยนัก คือพาราโบลา และไฮเพอร์โบลา

 

วงกลมนั้นหาดูได้ง่ายที่สุด ได้จากการตัดกรวยในแนวขนานกับฐาน เนื่องจากฐานกรวยเป็นวงกลม การตัดขนานกับฐานทำให้ได้รอยตัดกลมด้วย แต่ขนาดของวงกลมขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่ตัด ยิ่งอยู่ใกล้ยอดแหลม วงก็ยิ่งเล็ก

 

วงรีนั้นเหมือนกับการบีบวงกลมให้เบี้ยวไปเล็กน้อย ได้จากการตัดกรวยแบบเฉียงๆเล็กน้อย แต่ยังเฉียงไม่เท่าแนวสูงเอียงของผิวกรวยด้านข้าง ถ้าใครเคยตัดต้นกล้วยหรือเลื่อยท่อน้ำในแนวเฉียงๆ รอยตัดก็จะเป็นวงรีเหมือนกัน

 

พาราโบลาอาจหาดูได้ง่ายตามหลังคาบ้านสมัยนี้ เพราะเป็นรูปร่างของจานดาวเทียมเมื่อมองจากด้านข้าง หรือถ้าใครเคยแกะดูแผ่นสะท้อนแสงรอบๆหลอดไฟฉาย ผิวโค้งของมันก็สร้างขึ้นจากพาราโบลาเหมือนกัน พาราโบลาได้จากการตัดกรวยเฉียงขนานกับแนวสูงเอียงของผิวกรวยพอดีเป๊ะ ถ้ากรวยมีขนาดใหญ่ แขนของพาราโบลาก็จะงอกยาวไปได้เรื่อยๆ (ถ้ากรวยมีขนาดเป็นอนันต์ พาราโบลาก็จะต่อแขนไปได้ไม่สิ้นสุด) เพราะรอยตัดจะไม่หลุดไปจากกรวยซะที แต่จะผ่าเข้าไปในเนื้อกรวยที่กว้างขึ้นเรื่อยๆ

 

ไฮเพอร์โบลาเป็นเส้นโค้งๆสองเส้นที่คอดเข้าหากันตรงกลาง (แต่ไม่แตะกัน) ส่วนปลายของแต่ละเส้นบานออกจากกัน ไฮเพอร์โบลาหาดูได้ยากหน่อย อาจต้องไปเดินหาพนักงานกวาดถนนซึ่งใช้ไม้กวาดทางมะพร้าวอันใหญ่ๆที่ทำจากก้านใบของมะพร้าวจำนวนมากมามัดรวมกันแล้วบิดให้ปลายบานออก ถ้าดูจากด้านข้างก็จะเป็นรูปไฮเพอร์โบลา หรือตัวอย่างที่ใกล้ตัวกว่านั้นและอาจจะทำเองได้ โดยใช้ดินสอสักหนึ่งกำมือ นำหนังยางมามัดไว้ แล้วบิดกำดินสอให้เอียงไปทางเดียวกัน ก็จะมีหน้าตาคล้ายๆไม้กวาดทางมะพร้าว ไฮเพอร์โบลาได้จากการตัดกรวยในแนวที่ชันกว่าแนวสูงเอียงของผิวกรวย ทำให้ตัดไปโดนกรวยอีกอันหนึ่งซึ่งคว่ำหัวอยู่ด้วย รอยตัดจึงมีสองรอย เป็นเส้นโค้งๆคล้ายกับพาราโบลา แต่จะบานกว่า และทั้งสองเส้นวิ่งหนีห่างออกจากกัน

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

Tagged with: