ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

Posts tagged ‘ประพจน์’

ตรรกศาสตร์ – ตอนที่ 2: ค่าความจริง

ค่าความจริงของประพจน์

เนื่องจากประพจน์คือประโยค การจะเขียนประพจน์หนึ่งประพจน์อาจต้องใช้แรงกายเป็นอันมาก ประพจน์ที่ยาวๆย่อมเสียพลังงานเยอะ ซึ่งนักคณิตศาสตร์ไม่ชอบสิ่งนี้ จึงตกลงกันว่า “เราตั้งชื่อให้มันกันดีกว่า” ว่าแล้วก็ตกลงใช้ “ตัวแปร” มาช่วยให้เขียนสั้นลง เรียกว่า “ตัวแปรประพจน์” (Statement variable) เช่นเราอาจกำหนดให้ p เป็นตัวแปรแทนข้อความ “พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก” และให้ q แทนข้อความ “วันนี้ฝนตกที่วัดพระแก้ว” เจ้าตัวแปร p และ q นี้แหละเรียกว่าตัวแปรประพจน์

ที่จริงแล้วตัวแปรประพจน์ใช้เขียนเพื่อแทนข้อความยาวๆในประพจน์ แต่เนื่องจากประพจน์สามารถเป็นจริงหรือไม่ก็เป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เราจึงตกลงกันว่าตัวแปรประพจน์มีค่าที่เป็นไปได้อยู่ 2 ค่า เรียกว่า ค่าความจริง คือมีค่า จริง (True: T) กับ เท็จ (False: F) เท่านั้น และในการคำนวณต่อไป มักไม่ค่อยได้สนใจว่าตัวแปรหนึ่งๆนั้นแทนประพจน์อะไร จะสนใจแต่ค่าความจริงของมัน

เช่น p แทนข้อความ “พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก” แต่ค่าของตัวแปร p จะเป็น “จริง” (T)

และพอรู้ว่า p เป็น “จริง” ปุ๊บ ในระหว่างการคำนวณยาวๆ ก็มักไม่มีใครมาถามอีกแล้วว่า p แทนข้อความอะไร

คล้ายๆกับค่าตัวแปรที่ใช้ในระบบจำนวน เช่น x = 2, y = 5

ต่างกันที่ตัวแปรประพจน์ มีค่าให้แทนลงไปได้แค่สองค่าคือ T (จริง) กับ F (เท็จ) เท่านั้น

ถ้าเรียนตรรกศาสตร์ในวิชาวงจรดิจิตอล (ซึ่งชื่อว่าวิชา Boolean Algebra) ค่าของตัวแปรประพจน์ก็จะเป็น 1 กับ 0 แทนสถานะ “ไฟติด” กับ “ไฟดับ” ซึ่งก็คือจริงกับเท็จนั่นเอง และตลอดเรื่องตรรกศาสตร์ ผลลัพธ์จากการคำนวณใดๆทางตรรกศาสตร์ก็จะมีแค่ 2 ค่าคือ T กับ F ไม่มีอะไรมากไปกว่านั้น …ดูน่าจะง่ายกว่าตัวเลขซะอีก

หนึ่งประพจน์มีค่าความจริงหนึ่งค่า แล้วถ้าหลายประพจน์ล่ะ…

เชื่อว่าตอนเด็กๆ เราน่าจะเคยเรียนเลขกันแบบนี้

 โจทย์ : “แม่ค้ามีส้มอยู่ 10 กิโล ไปซื้อมาเพิ่มอีก 5 กิโล ทิ้งไว้ข้ามวันส้มเน่าไป 1 กิโล จากนั้นขายไป 8 กิโล สุดท้ายแล้วแม่ค้าเหลือส้มอยู่เท่าไร”

 ประโยคสัญลักษณ์ : 10 + 5 – 1 – 8 = ?

จากโจทย์ (ซึ่งเป็นประโยคภาษามนุษย์) ก่อนจะคิดเลขได้เราต้องทำเป็นประโยคสัญลักษณ์ก่อน ครูประถมสอนเราว่าการมีส้ม 10 กิโล ให้แทนด้วยเลข 10 เฉยๆ ถ้าซื้อเพิ่มแปลว่าเดี๋ยวจะมีมากขึ้น ให้ใส่เครื่องหมายบวก การเน่าไปในชีวิตจริงแปลว่าของมันหายไปจึงมีน้อยลง ให้ใส่เครื่องหมายลบ เป็นต้น พอแปลงทุกอย่างเป็นสัญลักษณ์แล้วจึงค่อยลงมือคิดเลข ในวิชาตรรกศาสตร์เราทำแบบเดียวกัน โดยเปลี่ยนจากตัวเลขเป็น ”ค่าความจริง” และเปลี่ยนจากเครื่องหมายบวก ลบ คูณ หารเป็น “ตัวเชื่อมประพจน์” ซึ่งตัวเชื่อมหลักๆที่ใช้กันคือ “และ (\wedge )” “…หรือ(\vee )” “ถ้า…แล้ว… (\to)” “ก็ต่อเมื่อ (\leftrightarrow )” และ “นิเสธ (~)”

ในเรื่องตรรกศาสตร์ ข้อความ (ประพจน์) หนึ่งๆมีค่าความจริงหนึ่งค่า เมื่อมีหลายๆประพจน์มาเชื่อมต่อกันก็จะได้เป็นประพจน์อันใหม่ (ในวิชาภาษาไทยจะเรียกว่าประโยคความรวม) ตรรกศาสตร์จะบอกว่าค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมเสร็จแล้วจะเป็นยังไง โดยตกลงกันไว้ในสิ่งที่เรียกว่า “ตารางค่าความจริง”

ตารางค่าความจริง

เป็นตารางที่บรรจุค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมกัน โดยแจกแจงค่าของตัวแปรทุกตัวให้ครบทุกค่าที่เป็นไปได้ (แต่ละตัวมีแค่ 2 ค่า จึงแจกแจงให้ครบได้) จะว่าไปตารางค่าความจริงก็คล้ายๆกับ “สูตรคูณ” คือเป็นเครื่องมือที่บอกว่า “ตัวนี้ทำไอ้นี่กับตัวนั้น แล้วได้อะไรออกมา” ต่างกันที่ว่าสูตรคูณนั้นให้ท่องตัวเลขแค่บางตัว (เพราะตัวเลขมีเยอะจนนับไม่หวาดไม่ไหว) ส่วนตารางค่าความจริงนั้นใส่ทุกค่าที่เป็นไปได้ เพราะมันมีอยู่นิดเดียว

ชอบมีคนถามว่าตารางนี้ “ต้องท่องไหม”

คงต้องตอบว่า จะไม่ท่องก็ได้ แต่ต้องจำให้ได้

แปลว่าจะท่องก็ได้ แต่มีวิธีจำให้เป็นธรรมชาติกว่าการท่อง โดยการแปลความหมายของตัวเชื่อมต่างๆตามที่เราใช้กันในชีวิตประจำวันนี้แหละ

เช่นการพูดว่า “ตอนนี้ฝนตก และแดดออก” ถ้าอยากได้ตารางค่าความจริงโดยไม่ต้องท่อง ก็นั่งพินิจพิเคราะห์ดูเอาเองว่า ประโยคนี้จะถูกเมื่อไหร่ จะผิดเมื่อไหร่ ตามความรู้สึกของเราแล้วมันถูกเมื่อ “ฝนต้องตก” และ “แดดต้องออก” ทั้งสองอย่างพร้อมๆกันเท่านั้น ถ้ามีแค่อย่างเดียวหรือไม่มีสักอย่าง มันจะผิด

ก็เลยได้ข้อสรุปว่า p \wedge q  จะจริงเมื่อ p จริงและ q จริงทั้งคู่เท่านั้น นอกนั้นจะเป็นเท็จ

ทำนองเดียวกัน ถ้าสั่งเด็กเสิร์ฟว่า “เอากาแฟหรือชามาก็ได้” แล้วเด็กเสิร์ฟยกชามาอย่างเดียว ก็ถือว่าทำถูกคำสั่งแล้ว หรือต่อให้ยกมาทั้งคู่เลยก็ถือว่าทำถูกคำสั่งเช่นกัน ดังนั้น p \vee q  จะเป็นจริงเมื่อ p กับ q มีตัวจริงอย่างน้อยหนึ่งตัว (จะเป็นจริงทั้งสองตัวเลยก็ได้)

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ตรรกศาสตร์

Tagged with:

ตรรกศาสตร์ – ตอนที่ 1: ประพจน์

ชีวิตมนุษย์เราประกอบด้วยส่วนที่เป็นเหตุผลและอารมณ์ความรู้สึก สมองคนเราแบ่งเป็นสองซีกคือซีกที่ใช้คิดคำนวณไตร่ตรองด้วยเหตุผล และซีกที่ใช้ประมวลผลเกี่ยวกับอารมณ์ความรู้สึก ถ้าจะพูดว่าสองซีกนั้นคือ “ศาสตร์” ซะซีกหนึ่งและ “ศิลป์” อีกซีกหนึ่งก็คงไม่ผิด

 

เราใช้เหตุผลกันเพื่อตัดสินว่า สิ่งนี้ถูก สิ่งนั้นผิด ความคิดนี้ถูก ความคิดนั้นผิด คำกล่าวนี้ถูก คำกล่าวนั้นผิด แต่บ่อยครั้งก็เห็นมีคนใช้อารมณ์มาตัดสินความถูกผิดกัน ซึ่งไม่น่าจะดีสักเท่าไหร่ การจะชี้ให้ได้ว่าสิ่งนี้ถูกหรือผิดกันแน่ ก็ต้องมีกฎเกณฑ์บางอย่างให้ยึดถือกันเป็นมาตรฐานก่อน จะได้ไม่ต้องมานั่งเถียงกันว่า “ความจริง” ของใครถูก และจะได้ไม่มีช่องว่างให้เกิดกรณี “สองมาตรฐาน” ขึ้นได้

 

กฎเกณฑ์เช่นว่านั้นเรียกว่า “ตรรกะ” ซึ่งเอาไว้ตัดสินความจริงหรือความเท็จของ “คำกล่าว” อันหนึ่งๆ อันที่จริงตรรกศาสตร์ไม่ได้ซับซ้อนอะไรเลย มันเป็นเรื่องของการตีความภาษาที่ใช้กันอยู่เป็นปกติให้มีความหมายรัดกุมขึ้นเท่านั้นเอง ภาษาของตรรกะก็คือภาษามนุษย์ดีๆนี่เอง (จะเป็นภาษาของชาติไหนก็ได้) เพียงแต่ตรรกะนั้นไม่ใช่ทั้งหมดของภาษา เป็นแค่เสี้ยวหนึ่งเท่านั้น ซึ่งอาจจะดูแข็งๆไปสักหน่อยเพราะถูกตัดมาใช้เฉพาะส่วนที่รัดกุมแน่นหนาเท่านั้น

 

ตกลงกันก่อน …

ตรรกศาสตร์นั้นเป็นสิ่งที่เชื่อม “ภาษา” กับ “คณิตศาสตร์” เข้าด้วยกัน เราจึงต้องมาตกลงกันก่อนว่า ตรรกศาสตร์ ในฐานะ “ภาษาคณิตศาสตร์” นั้นมีขอบเขตแค่ไหน

ภาษาทั้งหมดที่ใช้พูดๆกัน บางทีก็ไม่ได้มีความหมายชัดเจนนัก พูดประโยคหนึ่งอาจตีความได้หลายแบบ ดังนั้นประโยค วลี หรือคำทั่วๆไป คงใช้ในเรื่องตรรกศาสตร์ไม่ได้ทั้งหมด ในวิชาตรรกศาสตร์ เราจะเลือกเอาเฉพาะ “ประโยค” ที่บอกได้ว่าจริงหรือเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้น เรียกว่า “ประพจน์”

 

ที่บอกว่าจริงหรือเท็จเพียงอย่างเดียว แปลว่าถ้าประโยคไหน “กำกวม” ตรรกศาสตร์ก็จะไม่ยุ่งด้วยเลย ความกำกวมมีหลายลักษณะ อาจมีตั้งแต่แบบที่แปลได้สองความหมาย หรือไม่มีเกณฑ์อะไรมาตัดสินว่าถูกหรือผิด หรืออาจเป็นประโยคที่ “ผิดก็ไม่ได้ ถูกก็ไม่ได้” (ซึ่งเดี๋ยวจะยกตัวอย่างให้ดู) ก็เป็นได้

 

ตัวอย่างประพจน์ เช่น

พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก : บอกได้ว่าจริง

วันนี้ฝนตกที่วัดโสธร : ไปเช็คดูได้ว่าวันนี้มีฝนตกจริงไหม ถ้าตกก็เป็นจริง ถ้าไม่ตกก็เป็นเท็จ

นักเรียนบางคนไม่ต้องเรียนฟิสิกส์ : หามาให้ได้สักคนสิ (คนที่ไม่ได้เรียนวิทย์) สรุปว่าเป็นจริง

 

ตัวอย่างประโยคที่ไม่ใช่ประพจน์ เช่น

โอ๊ย!! ทำไมมันยากยังงี้ : เป็นคำอุทาน และเป็นความเห็นส่วนตัวว่า (อะไรบางอย่าง) มันยากมาก

มีใครมาหาที่หน้าประตูรึเปล่า : เป็นคำถาม บอกไม่ได้ว่าถามจริงๆหรือถามเท็จๆ

ฉันสวยที่สุดในโลก : ไม่มีเกณฑ์วัดความสวยที่ทุกคนเห็นตรงกัน คนส่องกระจกจะมองเห็นว่าตัวเองสวยกว่าคนอื่นเสมอ จึงไม่เป็นมาตรฐาน ทำให้บอกไม่ได้ว่าจริงหรือเท็จ

 

ส่วนประโยคเจ้าปัญหาที่บอกว่ามัน “ผิดก็ไม่ได้ ถูกก็ไม่ได้” หน้าตาเป็นแบบนี้

 

“ข้อความนี้เป็นเท็จ”

แว้บแรกที่อ่าน คงดูไม่มีอะไร แต่เมื่อเราเริ่มจับให้มั่นคั้นให้ตายว่ามันจริงหรือเท็จ ปัญหาจะค่อยๆโผล่ขึ้นมาทันที

ประโยคนี้เป็นจริงได้ไหม ถ้าเป็นจริงแปลว่าสิ่งที่ประโยคนี้บอก (ว่าตัวมันเองเป็นเท็จ) นั้นถูกต้อง เราจะได้ข้อสรุปว่า ข้อความนี้เป็นเท็จ

แล้วประโยคนี้เป็นเท็จได้ไหม ถ้าเท็จก็แปลว่าสิ่งที่ประโยคนี้บอกนั้นไม่จริง ข้อสรุปก็คือ ข้อความนี้เป็นจริง …งงไหมล่ะ

พูดให้ง่ายก็คือ ถ้าสมมุติว่ามันจริง คิดต่อสักนิดจะได้ข้อสรุปว่าตัวมันเป็นเท็จ แต่ถ้าสมมุติว่ามันเท็จ ก็จะได้ว่าตัวมันเป็นจริง …ข้อสมมุติกับข้อสรุปขัดแย้งกันทั้งสองกรณี ดังนั้นข้อความนี้ “เป็นเท็จก็ไม่ได้ เป็นจริงก็ไม่ได้” และไม่ถือว่าเป็นประพจน์ด้วยเช่นกัน

 

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ตรรกศาสตร์

Tagged with: