ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

Posts tagged ‘ตัวเชื่อมประพจน์’

ตรรกศาสตร์ – ตอนที่ 2: ค่าความจริง

ค่าความจริงของประพจน์

เนื่องจากประพจน์คือประโยค การจะเขียนประพจน์หนึ่งประพจน์อาจต้องใช้แรงกายเป็นอันมาก ประพจน์ที่ยาวๆย่อมเสียพลังงานเยอะ ซึ่งนักคณิตศาสตร์ไม่ชอบสิ่งนี้ จึงตกลงกันว่า “เราตั้งชื่อให้มันกันดีกว่า” ว่าแล้วก็ตกลงใช้ “ตัวแปร” มาช่วยให้เขียนสั้นลง เรียกว่า “ตัวแปรประพจน์” (Statement variable) เช่นเราอาจกำหนดให้ p เป็นตัวแปรแทนข้อความ “พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก” และให้ q แทนข้อความ “วันนี้ฝนตกที่วัดพระแก้ว” เจ้าตัวแปร p และ q นี้แหละเรียกว่าตัวแปรประพจน์

ที่จริงแล้วตัวแปรประพจน์ใช้เขียนเพื่อแทนข้อความยาวๆในประพจน์ แต่เนื่องจากประพจน์สามารถเป็นจริงหรือไม่ก็เป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เราจึงตกลงกันว่าตัวแปรประพจน์มีค่าที่เป็นไปได้อยู่ 2 ค่า เรียกว่า ค่าความจริง คือมีค่า จริง (True: T) กับ เท็จ (False: F) เท่านั้น และในการคำนวณต่อไป มักไม่ค่อยได้สนใจว่าตัวแปรหนึ่งๆนั้นแทนประพจน์อะไร จะสนใจแต่ค่าความจริงของมัน

เช่น p แทนข้อความ “พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก” แต่ค่าของตัวแปร p จะเป็น “จริง” (T)

และพอรู้ว่า p เป็น “จริง” ปุ๊บ ในระหว่างการคำนวณยาวๆ ก็มักไม่มีใครมาถามอีกแล้วว่า p แทนข้อความอะไร

คล้ายๆกับค่าตัวแปรที่ใช้ในระบบจำนวน เช่น x = 2, y = 5

ต่างกันที่ตัวแปรประพจน์ มีค่าให้แทนลงไปได้แค่สองค่าคือ T (จริง) กับ F (เท็จ) เท่านั้น

ถ้าเรียนตรรกศาสตร์ในวิชาวงจรดิจิตอล (ซึ่งชื่อว่าวิชา Boolean Algebra) ค่าของตัวแปรประพจน์ก็จะเป็น 1 กับ 0 แทนสถานะ “ไฟติด” กับ “ไฟดับ” ซึ่งก็คือจริงกับเท็จนั่นเอง และตลอดเรื่องตรรกศาสตร์ ผลลัพธ์จากการคำนวณใดๆทางตรรกศาสตร์ก็จะมีแค่ 2 ค่าคือ T กับ F ไม่มีอะไรมากไปกว่านั้น …ดูน่าจะง่ายกว่าตัวเลขซะอีก

หนึ่งประพจน์มีค่าความจริงหนึ่งค่า แล้วถ้าหลายประพจน์ล่ะ…

เชื่อว่าตอนเด็กๆ เราน่าจะเคยเรียนเลขกันแบบนี้

 โจทย์ : “แม่ค้ามีส้มอยู่ 10 กิโล ไปซื้อมาเพิ่มอีก 5 กิโล ทิ้งไว้ข้ามวันส้มเน่าไป 1 กิโล จากนั้นขายไป 8 กิโล สุดท้ายแล้วแม่ค้าเหลือส้มอยู่เท่าไร”

 ประโยคสัญลักษณ์ : 10 + 5 – 1 – 8 = ?

จากโจทย์ (ซึ่งเป็นประโยคภาษามนุษย์) ก่อนจะคิดเลขได้เราต้องทำเป็นประโยคสัญลักษณ์ก่อน ครูประถมสอนเราว่าการมีส้ม 10 กิโล ให้แทนด้วยเลข 10 เฉยๆ ถ้าซื้อเพิ่มแปลว่าเดี๋ยวจะมีมากขึ้น ให้ใส่เครื่องหมายบวก การเน่าไปในชีวิตจริงแปลว่าของมันหายไปจึงมีน้อยลง ให้ใส่เครื่องหมายลบ เป็นต้น พอแปลงทุกอย่างเป็นสัญลักษณ์แล้วจึงค่อยลงมือคิดเลข ในวิชาตรรกศาสตร์เราทำแบบเดียวกัน โดยเปลี่ยนจากตัวเลขเป็น ”ค่าความจริง” และเปลี่ยนจากเครื่องหมายบวก ลบ คูณ หารเป็น “ตัวเชื่อมประพจน์” ซึ่งตัวเชื่อมหลักๆที่ใช้กันคือ “และ (\wedge )” “…หรือ(\vee )” “ถ้า…แล้ว… (\to)” “ก็ต่อเมื่อ (\leftrightarrow )” และ “นิเสธ (~)”

ในเรื่องตรรกศาสตร์ ข้อความ (ประพจน์) หนึ่งๆมีค่าความจริงหนึ่งค่า เมื่อมีหลายๆประพจน์มาเชื่อมต่อกันก็จะได้เป็นประพจน์อันใหม่ (ในวิชาภาษาไทยจะเรียกว่าประโยคความรวม) ตรรกศาสตร์จะบอกว่าค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมเสร็จแล้วจะเป็นยังไง โดยตกลงกันไว้ในสิ่งที่เรียกว่า “ตารางค่าความจริง”

ตารางค่าความจริง

เป็นตารางที่บรรจุค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมกัน โดยแจกแจงค่าของตัวแปรทุกตัวให้ครบทุกค่าที่เป็นไปได้ (แต่ละตัวมีแค่ 2 ค่า จึงแจกแจงให้ครบได้) จะว่าไปตารางค่าความจริงก็คล้ายๆกับ “สูตรคูณ” คือเป็นเครื่องมือที่บอกว่า “ตัวนี้ทำไอ้นี่กับตัวนั้น แล้วได้อะไรออกมา” ต่างกันที่ว่าสูตรคูณนั้นให้ท่องตัวเลขแค่บางตัว (เพราะตัวเลขมีเยอะจนนับไม่หวาดไม่ไหว) ส่วนตารางค่าความจริงนั้นใส่ทุกค่าที่เป็นไปได้ เพราะมันมีอยู่นิดเดียว

ชอบมีคนถามว่าตารางนี้ “ต้องท่องไหม”

คงต้องตอบว่า จะไม่ท่องก็ได้ แต่ต้องจำให้ได้

แปลว่าจะท่องก็ได้ แต่มีวิธีจำให้เป็นธรรมชาติกว่าการท่อง โดยการแปลความหมายของตัวเชื่อมต่างๆตามที่เราใช้กันในชีวิตประจำวันนี้แหละ

เช่นการพูดว่า “ตอนนี้ฝนตก และแดดออก” ถ้าอยากได้ตารางค่าความจริงโดยไม่ต้องท่อง ก็นั่งพินิจพิเคราะห์ดูเอาเองว่า ประโยคนี้จะถูกเมื่อไหร่ จะผิดเมื่อไหร่ ตามความรู้สึกของเราแล้วมันถูกเมื่อ “ฝนต้องตก” และ “แดดต้องออก” ทั้งสองอย่างพร้อมๆกันเท่านั้น ถ้ามีแค่อย่างเดียวหรือไม่มีสักอย่าง มันจะผิด

ก็เลยได้ข้อสรุปว่า p \wedge q  จะจริงเมื่อ p จริงและ q จริงทั้งคู่เท่านั้น นอกนั้นจะเป็นเท็จ

ทำนองเดียวกัน ถ้าสั่งเด็กเสิร์ฟว่า “เอากาแฟหรือชามาก็ได้” แล้วเด็กเสิร์ฟยกชามาอย่างเดียว ก็ถือว่าทำถูกคำสั่งแล้ว หรือต่อให้ยกมาทั้งคู่เลยก็ถือว่าทำถูกคำสั่งเช่นกัน ดังนั้น p \vee q  จะเป็นจริงเมื่อ p กับ q มีตัวจริงอย่างน้อยหนึ่งตัว (จะเป็นจริงทั้งสองตัวเลยก็ได้)

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ตรรกศาสตร์

Tagged with: