ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

Posts tagged ‘จุดสูงสุด’

แคลคูลัส – ตอนที่ 5: อนุพันธ์อันดับสูง และค่าต่ำสุด-สูงสุด

อนุพันธ์อันดับสูง :: ดิฟซ้ำหลายๆครั้ง

การหาอนุพันธ์คือการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ซึ่งอาจเป็นค่าคงที่หรือมีการเปลี่ยนแปลงก็ได้ ถ้าหาอนุพันธ์ซ้ำอีกครั้งจากอัตราที่ว่านี้ เราจะได้อัตราของอัตรา ซึ่งคือตัวเลขที่บอกว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันมีการเปลี่ยนแปลงอย่างไร (อัตราเพิ่มขึ้น หรืออัตราลดลง)

อนุพันธ์อันดับสูงไปโผล่อยู่ในฟิสิกส์ตั้งแต่เรายังไม่รู้จักแคลคูลัสเลยด้วยซ้ำ ในเรื่องการเคลื่อนที่แนวตรงซึ่งมีปริมาณ 3 อย่างที่เกี่ยวกับการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุ เรียกว่า ระยะทาง อัตราเร็ว และอัตราเร่ง (ถ้าเป็นเวกเตอร์ก็เปลี่ยนเป็น การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง) ด้วยความหมายทางฟิสิกส์ อัตราเร็วคือ “อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทาง” และอัตราเร่งคือ “อัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราเร็ว” อีกทีนึง ถ้าคุยกันด้วยภาษาแคลคูลัสก็จะบอกว่า ดิฟระยะทางได้อัตราเร็ว และนำอัตราเร็วมาดิฟอีกทีจะได้อัตราเร่ง (แปลว่าถูกดิฟสองครั้ง) อัตราเร่งนี่แหละที่เราเรียกว่าอนุพันธ์อันดับสูง

อัตราเร่งเรียกว่าเป็น “อนุพันธ์อันดับสอง” ของระยะทาง คือได้จากการหาอนุพันธ์ของระยะทางซะสองครั้ง ที่จริงเราสามารถหาอนุพันธ์อันดับสูงแค่ไหนก็ได้ ซึ่งทำได้โดยการดิฟซ้ำลงในฟังก์ชันนั้นไปเรื่อยๆจนได้อันดับที่พอใจ

กลับมาดูผลของอนุพันธ์อันดับสูงที่เกี่ยวกับเราเวลานั่งรถยนต์กันบ้าง เผื่อจะช่วยให้เห็นภาพของอนุพันธ์อันดับสูงได้มากขึ้น

ขณะที่เรานั่งอยู่บนรถ ถ้าระยะทางคงที่แปลว่า “รถไม่ได้เคลื่อนไปไหน” แปลว่าอัตราเร็วเป็น 0

ถ้ารถวิ่งด้วยอัตราเร็วคงที่ (อนุพันธ์อันดับหนึ่ง) แปลว่าคนขับไม่ได้เหยียบคันเร่ง แต่ปล่อยให้รถเคลื่อนไปด้วยความเฉื่อย เราก็จะนั่งหลังตรงสบายๆ ไม่ได้รู้สึกหัวทิ่ม หรือโดนยันไปให้หลังติดเบาะแต่อย่างใด

ถ้าคนขับเริ่มเหยียบคันเร่ง แปลว่ารถเริ่มมีอัตราเร่ง (อนุพันธ์อันดับสอง) เราจะรู้สึกเหมือนมีอะไรมากดให้หลังติดกับเบาะนั่ง ขณะที่คนขับกำลังเร่งเครื่องอย่างสม่ำเสมอ เราจะโดนกดด้วยแรงคงที่

แต่ถ้าคนขับเกิดอยากแว้นขึ้นมา ค่อยเหยียบคันเร่งจมลึกลงไปเรื่อยๆ ขณะที่ค่อยๆเหยียบคันเร่งให้รถแรงขึ้น เราก็จะโดนกดด้วยแรงมากขึ้นเรื่อยๆ แบบนี้เรียกว่ามีการเปลี่ยนแปลงความเร่ง (อนุพันธ์อันดับสาม) หรือขณะที่เร่งอยู่ดีๆแล้วมีหมาวิ่งตัดหน้ารถ คนขับก็เบรกกระทันหัน ก็มีการเปลี่ยนแปลงความเร่งอีกเหมือนกัน แต่ในทิศทางตรงข้าม

การหาค่าสูงสุด ต่ำสุด

ทั้งอนุพันธ์ และอนุพันธ์อันดับสูงมีความหมายบางอย่างที่เกี่ยวกับกราฟของฟังก์ชัน ซึ่งช่วยให้เรารู้รูปพรรณสัณฐานของกราฟฟังก์ชันนั้นๆได้คร่าวๆโดยไม่ต้องลงมือวาดจุดเรียงต่อกัน

อนุพันธ์เป็นค่าที่บอกความชันของกราฟ ตัวเลขเป็นบวกแปลว่ากราฟเอียงขึ้น ถ้าเป็นศูนย์แปลว่ากราฟไม่ชัน (คือราบไปตามแนวนอน) ตัวเลขติดลบแปลว่ากราฟเอียงลง

อนุพันธ์อันดับสองเป็นค่าที่บอก “อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน” อีกทีหนึ่ง ถ้าเป็นบวกแปลว่า “กราฟกำลังชันมากขึ้น” คำว่าชันมากขึ้นไม่จำเป็นต้องแปลว่าความชันเป็นบวก แต่หมายถึงมีการเปลี่ยนแปลงไปเป็นค่าที่มากขึ้น เช่น จากเดิมติดลบมากก็กลายเป็นติดลบน้อยลง (ชันลงมากๆ กลายเป็นชันลงน้อยๆ) หรือจากเดิมไม่ชันเลยกลายเป็นความชันบวก หรือจากที่ชันน้อยกลายเป็นชันมากก็ได้ กราฟที่กำลังชันมากขึ้นจะมีลักษณะ “งอนขึ้น” คล้ายๆกระทะหงาย

ถ้าอนุพันธ์อันดับสองติดลบ แปลว่า “กราฟกำลังชันน้อยลง” ก็จะมีความหมายตรงข้ามกับแบบแรก ซึ่งจะมีลักษณะ “งุ้มลง” เหมือนกระทะคว่ำ

ถ้าเราจอดรถไว้บนสะพานตรงจุดสูงสุดพอดี ปลดเกียร์ว่างให้รถไหลได้ถ้ามีใครไปเลื่อนมัน เราจะพบว่าถ้ามีใครออกแรงผลักให้รถเคลื่อนไปข้างหน้าหรือถอยหลังอีกนิดเดียว รถจะไหลลงสะพานทันที ถ้าเราลองวัดความชันของสะพานก่อนที่จะถึงจุดสูงสุด จะได้ค่าเป็นบวก (เพราะต้องวิ่งขึ้นมาถึงจุดนี้) และหลังจากผ่านจุดสูงสุดไปความชันจะติดลบ (เพระต้องวิ่งลง) ข้อสังเกตนี้สรุปได้ว่า จุดไหนที่จะสูงที่สุดได้ ก่อนถึงจุดนั้นความชันต้องเป็นบวก และหลังจากจุดนั้นความชันต้องติดลบ กลับกันจุดที่จะต่ำที่สุดก็ต้องอยู่ระหว่างจุดรอบๆที่มีความชันเป็นลบและเปลี่ยนเป็นบวก

จุดสูงสุดหรือต่ำสุด คือจุดที่ความชันเปลี่ยนจากบวกเป็นลบ หรือเปลี่ยนจากลบเป็นบวก ด้วยความเข้าใจง่ายๆก็อาจจะสรุปว่ามันต้องมีความชันเป็น 0 ก็ได้ ซึ่งถูก… แต่ไม่ได้ถูกทุกกรณี

ตัวอย่างเช่นบนภูเขาที่มียอดแหลม ไม่ได้เป็นที่ราบเหมือนบนสะพาน เราจะพบว่าเราจอดรถไม่ได้ตั้งแต่แรกด้วยซ้ำ เพราะความชันที่จุดนั้นไม่ได้เป็น 0 อันที่จริงจุดเหล่านั้น “หาความชันไม่ได้” เพราะทางซ้ายก็มีความชันค่าหนึ่ง ทางขวาก็มีอีกค่าหนึ่งซึ่งไม่เท่ากัน จึงไม่มีลิมิต ทำให้ไม่มีอนุพันธ์