ตรรกศาสตร์ – ตอนที่ 1: ประพจน์

ชีวิตมนุษย์เราประกอบด้วยส่วนที่เป็นเหตุผลและอารมณ์ความรู้สึก สมองคนเราแบ่งเป็นสองซีกคือซีกที่ใช้คิดคำนวณไตร่ตรองด้วยเหตุผล และซีกที่ใช้ประมวลผลเกี่ยวกับอารมณ์ความรู้สึก ถ้าจะพูดว่าสองซีกนั้นคือ “ศาสตร์” ซะซีกหนึ่งและ “ศิลป์” อีกซีกหนึ่งก็คงไม่ผิด

 

เราใช้เหตุผลกันเพื่อตัดสินว่า สิ่งนี้ถูก สิ่งนั้นผิด ความคิดนี้ถูก ความคิดนั้นผิด คำกล่าวนี้ถูก คำกล่าวนั้นผิด แต่บ่อยครั้งก็เห็นมีคนใช้อารมณ์มาตัดสินความถูกผิดกัน ซึ่งไม่น่าจะดีสักเท่าไหร่ การจะชี้ให้ได้ว่าสิ่งนี้ถูกหรือผิดกันแน่ ก็ต้องมีกฎเกณฑ์บางอย่างให้ยึดถือกันเป็นมาตรฐานก่อน จะได้ไม่ต้องมานั่งเถียงกันว่า “ความจริง” ของใครถูก และจะได้ไม่มีช่องว่างให้เกิดกรณี “สองมาตรฐาน” ขึ้นได้

 

กฎเกณฑ์เช่นว่านั้นเรียกว่า “ตรรกะ” ซึ่งเอาไว้ตัดสินความจริงหรือความเท็จของ “คำกล่าว” อันหนึ่งๆ อันที่จริงตรรกศาสตร์ไม่ได้ซับซ้อนอะไรเลย มันเป็นเรื่องของการตีความภาษาที่ใช้กันอยู่เป็นปกติให้มีความหมายรัดกุมขึ้นเท่านั้นเอง ภาษาของตรรกะก็คือภาษามนุษย์ดีๆนี่เอง (จะเป็นภาษาของชาติไหนก็ได้) เพียงแต่ตรรกะนั้นไม่ใช่ทั้งหมดของภาษา เป็นแค่เสี้ยวหนึ่งเท่านั้น ซึ่งอาจจะดูแข็งๆไปสักหน่อยเพราะถูกตัดมาใช้เฉพาะส่วนที่รัดกุมแน่นหนาเท่านั้น

 

ตกลงกันก่อน …

ตรรกศาสตร์นั้นเป็นสิ่งที่เชื่อม “ภาษา” กับ “คณิตศาสตร์” เข้าด้วยกัน เราจึงต้องมาตกลงกันก่อนว่า ตรรกศาสตร์ ในฐานะ “ภาษาคณิตศาสตร์” นั้นมีขอบเขตแค่ไหน

ภาษาทั้งหมดที่ใช้พูดๆกัน บางทีก็ไม่ได้มีความหมายชัดเจนนัก พูดประโยคหนึ่งอาจตีความได้หลายแบบ ดังนั้นประโยค วลี หรือคำทั่วๆไป คงใช้ในเรื่องตรรกศาสตร์ไม่ได้ทั้งหมด ในวิชาตรรกศาสตร์ เราจะเลือกเอาเฉพาะ “ประโยค” ที่บอกได้ว่าจริงหรือเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้น เรียกว่า “ประพจน์”

 

ที่บอกว่าจริงหรือเท็จเพียงอย่างเดียว แปลว่าถ้าประโยคไหน “กำกวม” ตรรกศาสตร์ก็จะไม่ยุ่งด้วยเลย ความกำกวมมีหลายลักษณะ อาจมีตั้งแต่แบบที่แปลได้สองความหมาย หรือไม่มีเกณฑ์อะไรมาตัดสินว่าถูกหรือผิด หรืออาจเป็นประโยคที่ “ผิดก็ไม่ได้ ถูกก็ไม่ได้” (ซึ่งเดี๋ยวจะยกตัวอย่างให้ดู) ก็เป็นได้

 

ตัวอย่างประพจน์ เช่น

พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก : บอกได้ว่าจริง

วันนี้ฝนตกที่วัดโสธร : ไปเช็คดูได้ว่าวันนี้มีฝนตกจริงไหม ถ้าตกก็เป็นจริง ถ้าไม่ตกก็เป็นเท็จ

นักเรียนบางคนไม่ต้องเรียนฟิสิกส์ : หามาให้ได้สักคนสิ (คนที่ไม่ได้เรียนวิทย์) สรุปว่าเป็นจริง

 

ตัวอย่างประโยคที่ไม่ใช่ประพจน์ เช่น

โอ๊ย!! ทำไมมันยากยังงี้ : เป็นคำอุทาน และเป็นความเห็นส่วนตัวว่า (อะไรบางอย่าง) มันยากมาก

มีใครมาหาที่หน้าประตูรึเปล่า : เป็นคำถาม บอกไม่ได้ว่าถามจริงๆหรือถามเท็จๆ

ฉันสวยที่สุดในโลก : ไม่มีเกณฑ์วัดความสวยที่ทุกคนเห็นตรงกัน คนส่องกระจกจะมองเห็นว่าตัวเองสวยกว่าคนอื่นเสมอ จึงไม่เป็นมาตรฐาน ทำให้บอกไม่ได้ว่าจริงหรือเท็จ

 

ส่วนประโยคเจ้าปัญหาที่บอกว่ามัน “ผิดก็ไม่ได้ ถูกก็ไม่ได้” หน้าตาเป็นแบบนี้

 

“ข้อความนี้เป็นเท็จ”

แว้บแรกที่อ่าน คงดูไม่มีอะไร แต่เมื่อเราเริ่มจับให้มั่นคั้นให้ตายว่ามันจริงหรือเท็จ ปัญหาจะค่อยๆโผล่ขึ้นมาทันที

ประโยคนี้เป็นจริงได้ไหม ถ้าเป็นจริงแปลว่าสิ่งที่ประโยคนี้บอก (ว่าตัวมันเองเป็นเท็จ) นั้นถูกต้อง เราจะได้ข้อสรุปว่า ข้อความนี้เป็นเท็จ

แล้วประโยคนี้เป็นเท็จได้ไหม ถ้าเท็จก็แปลว่าสิ่งที่ประโยคนี้บอกนั้นไม่จริง ข้อสรุปก็คือ ข้อความนี้เป็นจริง …งงไหมล่ะ

พูดให้ง่ายก็คือ ถ้าสมมุติว่ามันจริง คิดต่อสักนิดจะได้ข้อสรุปว่าตัวมันเป็นเท็จ แต่ถ้าสมมุติว่ามันเท็จ ก็จะได้ว่าตัวมันเป็นจริง …ข้อสมมุติกับข้อสรุปขัดแย้งกันทั้งสองกรณี ดังนั้นข้อความนี้ “เป็นเท็จก็ไม่ได้ เป็นจริงก็ไม่ได้” และไม่ถือว่าเป็นประพจน์ด้วยเช่นกัน