ที่ทางของคนมีปัญหา

ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

แคลคูลัส – ตอนที่ 1: แคลคูลัสอยู่ที่ไหนบ้าง

พฤศจิกายน 14, 2011

แคลคูลัสเกิดมาเพื่อทำหน้าที่สองอย่างที่แขนงอื่นๆของคณิตศาสตร์ทำไม่ได้ นั่นคือการหาอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดจุดเดียว และหาพื้นที่รูปร่างที่ไม่ใช่รูปเรขาคณิตพื้นฐาน

แคลคูลัสอยู่ที่ไหนบ้าง

ในวิชาฟิสิกส์ พวกเราเคยทำแล็บที่มีเครื่องตอกจุดกระดาษคาร์บอนไหม

ถ้าดึงกระดาษออกจากเครื่องด้วยอัตราเร็วคงที่ จุดจะห่างเท่าๆกัน กลับกันถ้าดึงกระดาษเร็วขึ้นเรื่อยๆ จุดแรกๆจะถี่ ส่วนจุดหลังๆจะห่าง

เครื่องตอกจุดนั้นตอกด้วยเวลาห่างกันเท่าเดิม ถ้ากระดาษวิ่งเร็ว ก็ได้ระยะทางไกลกว่าที่เครื่องจะตอกครั้งถัดไป ถ้าวิ่งช้า ไปได้ไม่ไกลเครื่องก็ตอกแล้ว

ถ้านำจุดแรกกับจุดสุดท้ายมาลบกันเพื่อหาระยะทาง แล้วหารด้วยเวลาที่ใช้ทั้งหมด เราจะได้อัตราเร็ว “เฉลี่ย” ของการดึงกระดาษตลอดทั้งเส้น

ถ้านำระยะทางระหว่างจุดสองจุดมาหารด้วยเวลาที่ใช้ เราจะได้ “อัตราเร็ว” ที่เราดึงกระดาษ “เฉลี่ย” ระหว่างสองจุดนั้น ยิ่งเป็นสองจุดที่ตอกห่างกันด้วยเวลาน้อยเท่าไร อัตราเร็วที่ได้ก็จะเป็นอัตราเร็วในช่วงแคบๆมากขึ้นเท่านั้น

แต่ถ้าถามว่าวินาทีที่ 5 เป๊ะๆ อัตราเร็วของการดึงกระดาษเป็นเท่าไหร่ เราจะวัดตรงๆไม่ได้ เพราะการหาอัตราเร็วต้องทำบน “ช่วงเวลา” ซึ่งจะทำให้ได้ “อัตราเร็วเฉลี่ย” เสมอ ในทางปฏิบัติเราไม่สามารถหาอัตราเร็ว ณ วินาทีที่ 5 เป๊ะๆได้ ต้องหาอ้อมๆโดยการหาอัตราเร็วเฉลี่ยในช่วงแคบๆ ใกล้ๆวินาทีที่ 5 เช่นเป็นค่าเฉลี่ยของช่วงตั้งแต่วินาทีที่ 4.9- 5.1 เป็นต้น

เผื่อใครไม่เคยทำแล็บที่ว่า

สมมุติว่าปลูกต้นไม้สักต้นทิ้งไว้แล้ว 10 วันมาวัดความสูงจากโคนถึงยอด พบว่าสูงขึ้น 20 cm เรานำผลต่างของความสูงหารด้วยผลต่างของเวลาจะพบว่าต้นไม้โตวันละ 2 เซนติเมตร เรียกว่าเป็น “อัตราการเจริญเติบโตเฉลี่ย”

คำถามคือต้นไม้โตวันละ 2 เซนติเมตรพอดีเป๊ะๆหรือเปล่า

คำตอบคือ ไม่แน่ เพราะเราไม่ได้มานั่งเฝ้าดูมันทุกวันซะหน่อย เป็นไปได้ว่าวันแรกอาจจะโตวันละ 3 cm เพราะน้ำที่รดไว้ยังชื้นอยู่ พอดินแห้งลงต้นไม้ก็โตช้าลง อาจจะโตแค่วันละเซนติเมตรเดียว พอวันที่ 7 มีคนเดินมารดน้ำให้มันก็โตพรวดพราดอีกรอบ … ทั้งหมดนี้เราไม่รู้เลย รู้แต่ว่าถัวเฉลี่ยมันได้วันละ 2 cm

ถ้าอยากรู้ให้ได้ว่าต้นไม้โตวันละเท่าไหร่ ก็จะเป็นต้องหาเวลามาวัดมันทุกวัน คำนวณเป็นวันๆไป

หรือถ้าอยากรู้ละเอียดกว่านั้นอีก ว่าต้นไม้โตชั่วโมงละเท่าไหร่ ก็ต้องมาวัดทุกชั่วโมง

สมมุติว่ามีเครื่องมือวัดความสูงที่วัดได้ละเอียดยิบ จะวัดมันทุกนาทีเลยก็ได้

แต่ถ้าอุตริอยากรู้ว่าเวลาเที่ยงวันของวันที่ 3 เป๊ะๆ ต้นไม้มีอัตราการโตเท่าไหร่ (เรียกว่า “อัตราการเจริญเติบโต ณ ขณะหนึ่ง”) เราไม่สามารถหาอัตรา ณ วินาทีนั้นเป๊ะๆได้ เพราะการวัดอัตราของเราเป็นการวัด 2 ครั้งแล้วมาหาอัตรา “เฉลี่ย” เสมอ วิธีที่ดีที่สุดคือถือเอาว่าอัตราเฉลี่ย ณ ช่วงวินาทีแถวๆนั้นเป็นค่าที่จุดนั้นพอดี

ยิ่งผลต่างเวลามีค่าสั้นลง เราก็จะได้ค่าที่ถือว่าเป็นอัตรา ณ จุดนั้นๆได้เที่ยงตรงขึ้น นี่คือจุดเริ่มต้นของแคลคูลัส ซึ่งมาจากการพยายามหาอัตรา ณ ขณะหนึ่งเป๊ะๆ โดยประมาณด้วยอัตราเฉลี่ย การคำนวณอัตราเฉลี่ยบนช่วงแคบๆ ยิ่งแคบเท่าไหร่จะถือว่าได้ค่าใกล้เคียงกับอัตราขณะหนึ่งมากเท่านั้น

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, แคลคูลัส

ใส่ความเห็น

Tagged with:

ลิมิต ความต่อเนื่อง – ตอนที่ 1: ลิมิตกับปากเหว

ลิมิตของลำดับ เป็นการหาว่าเวลาลำดับวิ่งไปสักพักแล้วมันมีค่าเข้าใกล้เลขอะไร เราเฝ้าดู “หางๆ” ของลำดับว่ามีแนวโน้มอย่างไร ถ้าหางมันนิ่งๆไม่ส่ายไปมาก็จะบอกว่าลำดับนั้นมีลิมิต

ในเรื่องลิมิตและความต่อเนื่อง จะพูดถึงลิมิตของ “ฟังก์ชัน” แทนที่จะเป็นลำดับ

เมื่อเราวาดฟังก์ชันเป็นกราฟบนแกนพิกัดฉาก จะได้เส้นโค้งไปคดมา ขึ้นบ้าง ลงบ้างแล้วแต่ค่าของฟังก์ชัน หรือบางทีก็วิ่งขึ้นสวรรค์บ้าง ลงนรกบ้าง บางครั้งเส้นกราฟของฟังก์ชันก็ “ขาดตอน” อาจจะขาดหายไปเป็นแถบๆ หรือไม่ก็หายไปแค่จุดเดียว

ลองนึกภาพการปั่นจักรยานขึ้นภูเขา ถ้าตรงทางขึ้นนั้นเป็นทางกระโดด คือปั่นอยู่ดีๆแล้วพื้นกลายเป็นทางชันตั้งฉากขวางอยู่เราจะปั่นไม่ได้ หรือถ้าปั่นๆอยู่แล้วทางข้างหน้ามันกลายเป็นหน้าผา แบบนี้เราคงไม่กล้าปั่นลงไปเหมือนกัน

แต่ถ้าเส้นทางที่ปั่นอยู่นั้นเป็นทางลาดขึ้นไป มีอุปสรรคแค่นิดหน่อยคือมีเหวลึกๆแคบๆขวางอยู่ เราแค่เอาไม้หรืออะไรสักอย่างมาวางพาดแล้วก็ข้ามไปได้ แบบนี้ก็จะเหมือนฟังก์ชันที่ขาดตอนแค่บางจุด ซึ่งเป็นกรณีที่เราสนใจ

เข้าไปใกล้ๆปากเหว

สมมุติว่าเหวนั้นอยู่ตรงพิกัด a ตามแผนที่ (คือมองจากข้างบนลงมา มีพิกัดตามแกน x เท่ากับ a) ส่วนถ้ามองจากด้านข้าง ปากเหวนั้นอยู่สูงจากพื้นขึ้นไป L เราจะไม่สามารถไปยืนอยู่ที่ความสูง L ได้พอดีเป๊ะๆ (ซึ่งอยู่เหนือพิกัด a พอดี) เพราะว่าเราจะตกลงไปในเหว

สิ่งที่พอจะทำได้คือ ไปยืนใกล้ๆปากเหว ถ้าเราอยากอยู่ใกล้ๆความสูง L มากๆ ก็แค่เดินเข้าไปใกล้พิกัด a ให้มากขึ้นอีกนิด ถ้าจะอยู่เตี้ยกว่า L นิดหน่อยก็อยู่ทางซ้ายของพิกัด a แต่ถ้าอยากอยู่สูงกว่า L ก็กระโดดข้ามเหวไปอยู่ทางฝั่งขวา

ถ้าความสูงของภูเขาที่เป็นทางลาดขึ้นไปนั้นเป็นฟังก์ชัน f ภาษาคณิตศาสตร์ใช้คำว่า ลิมิตของฟังก์ชัน f มีค่าเท่ากับ L เมื่อ x เข้าใกล้ a หมายความว่าถ้าเดินป้วนเปี้ยนอยู่แถวๆจุด a ค่าของฟังก์ชันจะไปหนีไปจาก L มากนัก และยิ่งเข้าไปใกล้ๆ a มากเท่าไหร่ ค่าฟังก์ชันก็จะยิ่งใกล้ L มากขึ้นตามไปด้วย เขียนเป็นสัญลักษณ์ว่า

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L$

เราจะพบว่า แม้ที่จุด a เป๊ะๆจะเป็นเหว (เปรียบเทียบว่าไม่มีค่าฟังก์ชันที่จุดนั้น) เราก็ยังถือว่า “ลิมิต” มีค่าเท่ากับ L การพูดถึงลิมิตที่จุดใดๆจะยึดถือไว้เสมอว่า

“จะไม่ไปยุ่งกับจุดนั้นๆโดยตรง จะยุ่งก็แต่แนวโน้มของค่าฟังก์ชันรอบๆจุดนั้นอย่างเดียว”

ประโยคนี้ข้างบนนี้แปลว่า ไม่ว่า f(a) จะเท่ากับ L หรือเท่ากับเลขอื่นใด หรือแม้แต่หาค่าไม่ได้เลยก็ตาม ถ้ารอบๆจุด a ยังมีแนวโน้มพุ่งไปหา L ลิมิตของฟังก์ชันก็จะถือว่ามีค่าเป็น L อยู่ดี

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ลิมิต ความต่อเนื่อง

ใส่ความเห็น

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 7: อนุกรมอนันต์

อนุกรมอนันต์ :: ต้องรู้ก่อนว่ามีผลบวกอยู่จริงๆ

ในการบวกเลขที่มีไม่รู้จบ สิ่งที่อาจเกิดขึ้นได้ (และเกิดขึ้นบ่อยๆ) คือเราไม่สามารถหาผลบวกได้ ตัวอย่างง่ายๆเช่น 1+1+1+1+… ไปเรื่อยๆถามว่าได้เท่าไหร่ คำตอบคือ “หาค่าไม่ได้” เพราะค่าของมันเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ไม่รู้ว่าบวกไปสิ้นสุดเมื่อไหร่

เราสนใจผลบวกของอนุกรมอนันต์อยู่เหมือนกัน แต่ก่อนจะถามหาผลบวก จำเป็นต้องถามก่อนว่าอนุกรมนี้หาผลบวกได้จริงหรือเปล่า เพราะการหาผลบวกจำนวนเป็นอนันต์ตัวออกมาเป็นตัวเลขตัวหนึ่งได้นั้นไม่ใช่เรื่องที่เกิดขึ้นบ่อยๆ

ถึงตรงนี้หลายคนคงเกิดความรู้สึกแปลกๆ ว่าการบวกตัวเลขเพิ่มเข้ามาเรื่อยๆอย่างไม่จำกัดจำนวนตัว มันจะได้ผลบวกที่เป็นตัวเลขจำกัดได้ยังไงกัน ลองดูตัวอย่างแบบนี้ก่อนแล้วอาจจะรู้สึกดีขึ้น

สมมุติว่ามีเค้กหนึ่งชิ้น เป็นเค้กที่อร่อยมาก แต่จะกินให้หมดก็เสียดาย อยากเก็บไว้กินให้ได้หลายๆวัน วิธีหนึ่งที่ใช้ได้ก็คือ “กินทีละครึ่งของที่มีอยู่” วันแรกกินไปครึ่งชิ้นก็จะเหลืออีกครึ่ง วันที่สองกินครึ่งของครึ่งคือหนึ่งในสี่ วันที่สามกินหนึ่งในแปด … เราจะพบว่ามีเค้กเหลืออยู่ทุกวันเสมอ ไม่ว่าจะผ่านไปนานเท่าไหร่ (ถ้ามันไม่เน่าไปซะก่อน) เพราะเราจะแบ่งส่วนที่เหลือไว้ในวันถัดไปเสมอ

ตัวอย่างนี้ทำให้รู้ว่า $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...$ ไปเรื่อยๆนั้นมีค่าจำกัด แม้ว่าจะเป็นการบวกเลขจำนวนเป็นอนันต์ครั้ง แต่ผลบวกทั้งหมดนั้นมีค่าแค่ 1 เท่านั้นเอง สรุปแล้วอนุกรมอนันต์ก็สามารถบวกกันออกมาได้เป็นจำนวนจำกัดเหมือนกัน เพียงแต่เกิดสำหรับบางอนุกรมเท่านั้น

ผลบวกของอนุกรมอนันต์ เรียกว่า ${S_\infty }$ คือใช้ตัว S แทนคำว่า Sum เหมือนเดิม แต่ห้อยเครื่องหมายอนันต์ไว้ ${S_\infty }$ นี้ไม่ได้เขียนพร่ำเพรื่อ แต่ต้องรู้ซะก่อนว่ามันมีอยู่จริงๆ

อนุกรมอนันต์แบบไหนที่หา ${S_\infty }$ ได้

ตามความรู้สึกของเรา ถ้าจะบวกอะไรเป็นอนันต์ตัวแล้วได้ผลลัพธ์เป็นเลขตัวนึงที่ไม่เป็นอนันต์ ตัวท้ายๆของมันจะต้องมีค่าน้อยๆ และน้อยลงเรื่อยๆด้วย ภาษาคณิตศาสตร์ใช้คำว่าพจน์ท้ายๆของมันมีค่าน้อยลง “เร็วพอ” ที่จะทำให้อนุกรมลู่เข้า การถามว่าแบบไหนเร็วพออาจจะตอบยาก และถ้าจะตอบกันจริงๆก็เป็นเรื่องใหญ่ทีเดียว

เพื่อให้งานง่ายขึ้น เอาแค่ของที่เรารู้จักก็พอ

อนุกรมเลขคณิต หาผลบวกอนุกรมอนันต์ไม่ได้เลย ยกเว้น 0+0+0+…แค่อนุกรมเดียว เพราะโดยปกติลำดับอนันต์จะมีพจน์หลังๆที่ใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ (ใหญ่นี้หมายถึงทั้งบวกและลบ ขอให้ไกลจาก 0 มากๆ) แม้แต่ลำดับคงที่เช่น 1, 1, 1, … พอบวกเป็นอนุกรมแล้วก็จะมีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ทำให้หาผลบวกอนันต์ไม่ได้

อนุกรมเรขาคณิตมีอยู่สองกรณี เราจะเห็นว่าหน้าตาของลำดับเรขาคณิตขึ้นอยู่กับค่า r ถ้า r มากกว่า 1 ลำดับจะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ (หรือติดลบมากกว่า -1 ก็จะมีค่าใหญ่ขึ้นเหมือนกัน แต่พจน์จะเป็นบวก, ลบสลับกัน) แบบนี้อนุกรมอนันต์หาไม่ได้แน่ๆ

กรณีที่ r =1 ก็จะคือลำดับคงที่เหมือนในอนุกรมเลขคณิต ส่วน r = -1 จะได้ลำดับสลับ ทั้งคู่หาผลบวกอนันต์ไม่ได้เช่นกัน

มีกรณีเดียวที่จะหาค่าอนุกรมอนันต์ได้คือเมื่อ |r|<1 คืออยู่ระหว่าง -1 กับ 1 (เป็น 1 กับ -1 ก็ไม่ได้เพราะมันคือกรณีข้างบน)

สรุปแล้วมีแค่สองกรณี (ที่เรารู้จักในตอนนี้ แต่ที่จริงยังมีอีกมากมายที่เรายังไม่รู้จัก) ที่อนุกรมอนันต์จะหาค่าได้ นั่นคือเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี r อยู่ระหว่าง -1 กับ 1 หรือเป็นอนุกรมเลขคณิตที่มีแต่ 0 ทุกพจน์ แปลว่าถ้าเป็นกรณีอื่นๆสรุปได้เลยว่าผลบวกอนันต์หาค่าไม่ได้ ไม่ต้องเสียเวลาไปคำนวณมัน

ถามว่าผลบวกอนันต์จะเป็นเท่าไหร่ ก็กลับไปดูสูตรผลบวกย่อยของอนุกรมเรขาคณิต

${S_n} = \frac{{{a_1}({r^n} - 1)}}{{r - 1}}$

เมื่อ n มีค่ามากๆ (ลิมิตเข้าใกล้ infinity) ${r^n}$ จะน้อยลงเรื่อยๆจนเป็น 0 จึงเหลือแค่

${S_\infty } = \frac{{{a_1}( - 1)}}{{r - 1}} = \frac{{{a_1}}}{{1 - r}}$

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ลำดับ อนุกรม

ใส่ความเห็น

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 6: ผลบวกของอนุกรมจำกัด

พฤศจิกายน 13, 2011

ผลบวกย่อยของอนุกรมที่เราจะได้เจอมันบ่อยๆ

อนุกรมที่แต่ละพจน์หน้าตาเป็น “พหุนาม” เช่น $\sum\limits_{i = 1}^{20} {3{i^2} - 2i + 1}$ ของแบบนี้ไม่ใช่ทั้งเลขคณิตและเรขาคณิต จึงใช้สูตรอะไรไม่ได้ตรงๆทันที ต้องรู้จักเครื่องมือบางอย่างเพิ่มสักหน่อยก่อน

สิ่งแรกที่ควรจะรู้คือ เครื่องหมาย $\sum\limits_{}^{} {}$ สามารถกระจายซอกซอนไปตามพจน์ต่างๆได้ พูดให้ชัดคือกระจายไปในเครื่องหมายบวก ลบ และการคูณตัวค่าคงที่ได้ แต่ถ้าพจน์ที่คูณกันติดตัวแปรทุกพจน์ จะเอา $\sum\limits_{}^{} {}$ กระจายเข้าไปในแต่ละตัวนั้นไม่ได้

สองอันแรกนั้นชัดเจน แต่การคูณด้วยค่าคงที่อาจเป็นคำที่ไม่คุ้นเท่าไหร่ ซึ่งข้อควรระวังอยู่ตรงนี้เอง ถ้าเรามี $\sum\limits_{i = 1}^{10} {5i}$ เราสามารถเบียดแทรก $\sum\limits_{}^{} {}$ เข้าไปข้างในได้เป็น $5\sum\limits_{i = 1}^{10} i$ หรือจะเรียกว่า “ดึงค่าคงที่ออกมา” ก็ได้

กลับกันถ้ามี $\sum\limits_{i = 1}^{10} {(i - 1)(i + 1)}$ เราไม่สามารถทำเป็น $\sum\limits_{i = 1}^{10} {(i - 1)} \sum\limits_{i = 1}^{10} {(i + 1)}$ ได้เพราะทั้ง (i-1) และ (i+1) ติดตัวแปรทั้งคู่ วิธีเดียวที่จะจัดการมันได้คือคูณหลายๆพจน์เหล่านั้นให้เสร็จซะก่อนแล้วจึงกระจาย $\sum\limits_{}^{} {}$ เข้าไปในการบวก

เครื่องมืออีกชิ้นคือผลบวกอนุกรมที่ทุกพจน์ยกกำลังเดียวกัน เช่น $\sum\limits_{}^{} i$ , $\sum\limits_{}^{} {{i^2}}$ , $\sum\limits_{}^{} {{i^3}}$ (หรือกำลังสูงกว่านี้ก็มี แต่ไม่ค่อยได้ใช้ และสูตรก็จำยาก)

$\sum\limits_{i = 1}^{n} i$ = $\frac{n(n+1)}{2}$ จะเห็นว่าสูตรคุ้นๆ เพราะมันคืออนุกรมเลขคณิต 1+2+3+…+n นั่นเอง (พจน์แรกเป็น 1 พจน์สุดท้ายเป็น n)

$\sum\limits_{i = 1}^{n} {{i^2}}$ = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ อันนี้เป็นของใหม่ จะเห็นได้ว่าถ้าแต่ละพจน์ยกกำลังสอง ผลลัพธ์จะไม่ใช่การยกกำลังสองดื้อๆ แต่จะเปลี่ยนเป็นหน้าตาประหลาดๆไปจากเดิม

$\sum\limits_{i = 1}^{n} {{i^3}}$ = ${\left({\frac{n(n+1)}{2}}\right)^2}$ ความบังเอิญที่แปลกก็คือ พอแต่ละพจน์ในอนุกรมยกกำลังสาม ผลรวมจะเท่ากับกำลังสองของตอนที่เป็นอนุกรมเลขคณิต (สูตรแรก)

วิธีใช้เครื่องมือสองชิ้นร่วมกันก็คือ ให้กระจาย $\sum\limits_{}^{} {}$ เข้าไปในแต่ละพจน์ของพหุนามที่บวกกันอยู่ แล้วดึงค่าคงที่ออกมาอยู่นอก $\sum\limits_{}^{} {}$ ให้หมด พจน์ที่ติดตัวแปรก็จะอยู่ในรูปของ $\sum\limits_{}^{} i$ , $\sum\limits_{}^{} {{i^2}}$ หรือ $\sum\limits_{}^{} {{i^3}}$ อย่างใดอย่างหนึ่ง แล้วก็แทนค่า n ลงในสูตรเป็นอันเสร็จพิธี

ตัวอย่างเช่น $\sum\limits_{i = 1}^8 {3{i^3} - 5{i^2} + 2i + 4}$ พอกระจายตามวิธีที่ว่าก็จะกลายเป็น

$3\sum\limits_{i = 1}^{8} {{i^3}} - 5\sum\limits_{i = 1}^{8} {{i^2}} + 2\sum\limits_{i = 1}^{8} i + \sum\limits_{i = 1}^{8} 4$

อาจจะดูน่ากลัวเพราะตัวมันใหญ่ขึ้น แต่พอแทนตัวเลขลงในสูตรแล้วจะได้คำตอบทันที

$3{\left( {\frac{8(8 + 1)}{2}} \right)^2} - 5\left( {\frac{8(8 + 1)(2 \times 8 + 1)}{6}} \right) + 2\left( {\frac{8(8 + 1)}{2}} \right) + 8 \times 4$

คิดเลขนิดหน่อยก็จะได้คำตอบเลย

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ลำดับ อนุกรม

ใส่ความเห็น

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 5: เก้าส์กับการหาผลบวกย่อย

ผลบวกย่อย :: เรื่องของเกาส์

ลำดับอาจจะยาวไปได้เรื่อยๆ ลำดับบางชนิด ถ้าบวกเลขทุกตัวเข้าด้วยกัน เราจะไม่ได้อะไรเลย (หมายความว่าผลบวกจะเพิ่มขึ้นไปเรื่อยๆ ไม่เข้าใกล้ค่าใด) แต่ถ้าบวกแค่ไม่กี่ตัวแรกจะหาผลบวกได้แน่นอน (เพราะไม่ต้องสนใจหางยาวๆที่ตามมา) การบวกเลขตัวแรกๆในลำดับจะเรียกว่า “ผลบวกย่อย” ของลำดับ การนับ 1-100 อาจจะไม่ยากเท่าไหร่ แต่ถ้าถามว่า 1 ถึง 100 บวกกันได้เท่าไหร่อาจจะต้องใช้เวลาคิดสักหน่อย อาจจะคิดแบบ “ถึกๆ” หรือมีวิธีที่สวยกว่านั้นก็แล้วแต่

เมื่อหลายร้อยปีมาแล้ว ครูสั่งให้เด็กชายเกาส์และเพื่อนบวกเลข 1 ถึง 100 แล้วก็ออกไปนอกห้อง โดยหวังว่านักเรียนทั้งหมายจะใช้เวลานานจนหมดคาบในการบวกเลขชุดนี้

เด็กชายเกาส์คิดหาวิธีสวยๆในการบวกเลข 1 – 100 โดยสังเกตว่า ถ้านำตัวแรกไปบวกกับตัวสุดท้ายจะได้ 101, นำ 2 ไปบวก 99 ก็ได้ 101 , นำ 3 ไปบวก 98 ก็ได้ 101 เท่ากันหมด เมื่อสังเกตแบบนี้ก็นั่งนับว่ามันมีคู่ที่บวกกันได้ 101 อยู่ทั้งหมด 50 คู่ ตอนนั้นเด็กชายเกาส์รู้จักการคูณแล้ว ก็เลยนำ 101 คูณกับ 50 ได้ 5050 ได้คำตอบอย่างรวดเร็ว พอครูกลับมาก็พบว่าเด็กชายเกาส์ส่งคำตอบในขณะที่เพื่อนยังนั่งคิดอยู่

วิธีนี้ไม่ได้ใช้ได้เฉพาะ 1 ถึง 100 แต่ใช้ได้กับลำดับเลขคณิตทุกแบบที่เอามาบวกกันเป็นอนุกรม ถ้ารู้ว่าต้องบวกเลขกี่ตัว เอาตัวแรกมาบวกตัวสุดท้าย แล้วสังเกตว่ามีกี่คู่ แล้วนำมาคูณกันก็จะได้คำตอบ จึงเป็นที่มาของสูตรการหาผลบวกย่อยในอนุกรมเลขคณิต

ผลบวกย่อยของอนุกรมเลขคณิต

ผลบวกย่อย n พจน์แรก เขียนว่า $S_n$ หรือ $\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}}$ มีค่าเท่ากับ ${a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_n}$ หมายถึงเอาพจน์ที่หนึ่ง สอง สาม สี่ ห้า … บวกกันไปเรื่อยๆจนถึงพจน์ที่อยากจะจบคือพจน์ที่ n เช่นว่าอยากจะบวก 3 พจน์ ก็จะเขียนว่า $S_3$ ซึ่งเท่ากับ ${a_1}+{a_2}+{a_3}$

${S_n} = \frac{n({a_1} + {a_n})}{2}$

ถ้าแยกตามความหมายของมัน ${a_1} + {a_n}$ คือพจน์แรกบวกพจน์สุดท้าย ซึ่งคู่อื่นๆที่บวกกันแล้วได้ค่าเท่ากันนี้มีอยู่หลายคู่ด้วยกัน ส่วน n/2 บอกว่ามีค่าเท่านี้อยู่กี่คู่ เมื่อนำมาคูณกันจึงได้ผลบวกของเลขทั้งหมด

เมื่อนำสูตรของลำดับเลขคณิตมาใส่ ${a_n} = {a_1} + (n - 1)d$ เราจะได้

${S_n} = \frac{{n({a_1} + {a_1} + (n - 1)d)}}{2} = \frac{{n(2{a_1} + (n - 1)d)}}{2}$

ผลบวกย่อยของอนุกรมเรขาคณิต

เนื่องจากลำดับเรขาคณิตได้จากการคูณตัวเลขโปะเข้าไปเรื่อยๆ ระยะห่างระหว่างแต่ละพจน์จึงไม่เท่ากัน จะใช้วิธีเอาตัวแรกบวกตัวสุดท้ายแล้วนับว่ามีกี่คู่เหมือนเดิมไม่ได้ การหาวิธีสวยๆในการบวกจึงต้องแยบยลกว่านั้น

ผลบวกย่อยของอนุกรมเรขาคณิตหน้าตาเป็นแบบนี้

$S_n$ = $a1 + {a_1}r + {a_1}{r^2} + {a_1}{r^3} + ... + {a_1}{r^{n - 1}}$

ถ้าคูณ r เพิ่มเข้าไปในทั้งสมการ เลขยกกำลัง r ทุกตัวจะเพิ่มขึ้นจากไม่มีเป็นมีขึ้นมา จากหนึ่งเป็นสอง จากสองเป็นสาม และเราจะได้ของแปลกๆบางอย่างขึ้นมาด้วย

$rS_n$ = ${a_1}r + {a_1}{r^2} + {a_1}{r^3} + ... + {a_1}{r^{n - 1}} + {a_1}{r^n}$

ถ้านำ $rS_n$ กับ $S_n$ มาลบกัน พจน์ทั้งหลายที่เหมือนกัน (ซึ่งมีเพียบเลย) จะตัดกันหายไป เหลือแต่ตัวที่ไม่ได้ลบกับใคร หรือไม่มีใครมาลบ จะได้

$r{S_n} - {S_n} = {a_1}({r^n} - 1)$

เมื่อดึง $S_n$ ที่เป็นตัวร่วมออกมา แล้วย้ายพจน์อื่นๆไปไว้ข้างขวาให้หมด เราจะได้

${S_n} = \frac{{{a_1}({r^n} - 1)}}{{r - 1}}$

ผลบวกย่อยของอนุกรมเลขคณิตและเรขาคณิตจึงหาได้ด้วยประการฉะนี้

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ลำดับ อนุกรม

ใส่ความเห็น

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 4: อนุกรม

อนุกรม

เมื่อนำพจน์ต่างๆในลำดับมาบวกกันทั้งหมด ผลบวกนั้นจะเรียกว่าอนุกรม

จากเดิมที่มี “พจน์” มาเรียงๆกัน ( $a_n$ ) ก็จะเปลี่ยนหน้าตาเป็น $\sum\limits_{}^{} {{a_n}}$ แทน โดยตัว $\sum\limits_{}^{} {}$ มีความหมายว่าสิ่งที่ตามหลังมานั้นมีหลายตัว ให้เอาทุกตัวมาบวกกัน

ด้วยความหมายนี้ ก่อนจะมีอนุกรม จึงต้องมีลำดับของสิ่งที่ “บวกกันได้” ซะก่อน คนเข้าคิวซื้อก๋วยเตี๋ยวอาจจะมีลำดับก็จริง แต่นำมาบวกกันไม่ได้จึงหาอนุกรมไม่ได้ กลับกัน วัตถุต่างๆทางคณิตศาสตร์ไม่ว่าจะเป็นฟังก์ชัน เมทริกซ์ เวกเตอร์ จำนวนเชิงซ้อน เหล่านี้สามารถหาผลบวกได้ เราจึงมีอนุกรมของสิ่งเหล่านี้ได้ด้วย ไม่จำกัดแค่เฉพาะจำนวนจริงอย่างเดียว

แอบรู้ก่อนสักนิดว่าจะไปเจออนุกรมที่ไหนอีก จะได้รู้ว่าเรียนไปทำไม

เรื่องอนุกรมนี้จะมาปรากฏตัวควบคู่กับวิชาแคลคูลัส ในชื่อว่า “อนุกรมเทย์เลอร์” ซึ่งเป็นอนุกรมของฟังก์ชัน (คือมีฟังก์ชันหลายๆตัวมาบวกกัน) ในแคลคูลัสจะมีการคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันและการหาผลรวมพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน (เรียกว่าดิฟ และอินทิเกรต) ซึ่งสำหรับบางฟังก์ชันสองค่าเหล่านี้ไม่สามารถหาออกมาเป็นสูตรที่สวยๆได้ เราจะใช้วิธีการกระจายฟังก์ชันให้เป็นอนุกรมเทย์เลอร์ (หน้าตาเป็นพหุนาม คือมี x ยกกำลังต่างๆมาบวกกันไปเรื่อยๆ) แล้วค่อยทำการดิฟหรืออินทิเกรตทีละพจน์ ซึ่งรับประกันว่าจะได้คำตอบแน่นอน

กลับมาที่อนุกรมของตัวเลขเหมือนเดิม

อนุกรมจำกัด & อนันต์

การนำเลขมาเรียงกันเป็นลำดับ อาจจะสิ้นสุดหรือมีต่อไปเรื่อยๆก็ได้ ถ้าสิ้นสุดเรียกว่าลำดับจำกัด ถ้ามีไปเรื่อยๆเรียกว่าลำดับอนันต์ พอจะนำมาบวกกันเป็นอนุกรม ชื่อเหล่านี้ก็ติดมาด้วยแบบตรงไปตรงมา ถ้านำลำดับจำกัดมาบวกกันก็จะได้อนุกรมจำกัด (คือมีเลขบวกกันอยู่ไม่กี่ตัว เดี๋ยวก็บวกกันได้จนครบ) ส่วนถ้านำลำดับอนันต์มาบวกกันก็จะได้อนุกรมอนันต์ (มีเลขให้บวกกันอยู่เป็นอนันต์ตัว)

อนุกรมจำกัด :: วิธีสวยๆในการบวก

การบวกเลขที่รู้แน่ๆว่ามีแค่ไม่กี่ตัว เราสามารถหาผลบวกได้แน่นอน ต่อให้มีสักหนึ่งล้านตัว ถ้ามีเครื่องคำนวณที่ดี หรือมีคนมาช่วยกันบวกเยอะๆ สักวันก็จะบวกสำเร็จ สิ่งที่น่าสนใจในการบวกที่ว่านี้คือ มีวิธีบวกที่ดีๆ ซึ่งจะช่วยให้เราหาผลบวกได้เร็วขึ้นไหม ถ้าหาวิธีที่ดีได้ เราอาจไม่ต้องบวกเลขทีละตัว แต่ใช้การคำนวณแค่ไม่กี่ขั้นตอนก็จะรู้ผลบวกทั้งหมดได้

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ลำดับ อนุกรม

ใส่ความเห็น

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 3: ลู่เข้า

ลู่เข้า ลู่ออก :: ลำดับวิ่งไปหาเลขอะไร

การที่ลำดับมีพจน์เป็นอนันต์ทำให้มีสมบัติชนิดใหม่เพิ่มขึ้นมา นั่นคือพจน์ของลำดับสามารถมีค่าวิ่งเข้าไป “ใกล้ๆ” เลขบางตัวมากเท่าไหร่ก็ได้โดยที่แต่ละพจน์ของลำดับไม่จำเป็นต้องเท่ากับเลขตัวนั้น ซึ่งถ้าเป็นลำดับจำกัด จะไม่สามารถทำได้

เช่น 5, 4, 3, 2, 1 แล้วจบด้วนๆแค่นี้ เราจะไปบอกว่าพจน์ต่อไป (ถ้ามี) มันควรจะเป็น 0 ก็บอกไม่ได้ เพราะจริงๆแล้วมันไม่มี ถ้าลำดับจำกัดจะวิ่งไปจบที่ตรงไหน เลขตัวสุดท้ายของลำดับก็ต้องเป็นตัวนั้นเป๊ะๆ ไม่มีทางบ่ายเบี่ยงได้ ซึ่งในกรณีนี้เป็น 1

แต่ลำดับ 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, … นั้นเข้าไปใกล้ 0 ได้มากเท่าที่ต้องการ เช่นต้องการแนบชิดกับ 0 ไม่เกินหนึ่งในล้าน ก็ไล่ลำดับไปที่พจน์ที่ 7 เป็นต้นไป พจน์ถัดๆไปจากนี้จะห่างจาก 0 ไม่เกินหนึ่งในล้านทั้งหมด หรืออยากเข้าใกล้ไม่เกินหนึ่งในล้านล้าน ก็วิ่งไปให้เลยพจน์ที่ 13 ก็จะได้ตามต้องการ

สิ่งที่น่าสนใจคือ เราจะพบว่าในลำดับนี้ไม่มีตัวไหนเป็น 0 เลยสักตัว (มันจะมีติ่งที่เป็นเลข 1 ห้อยท้ายอยู่ไกลลิบๆเสมอ) การที่มันเข้าไปใกล้ 0 ได้มากเท่าที่เราอยากได้นี้ เราเรียกว่าลำดับ “ลู่เข้า” (Converge) ไปหาเลข 0 ตัวเลขที่ลำดับลู่เข้าไปหาเรียกว่า “ลิมิต” (Limit)

แปลว่าในการ “ลู่เข้า” นั้น ตัวเลขที่ลำดับวิ่งไปหา อาจจะไม่ใช่พจน์ไหนเลยในลำดับก็ได้ ดังตัวอย่างข้างบนที่วิ่งไปหา 0 หรือจะเป็นตัวเดียวกันก็ได้เช่นกัน เช่นลำดับ 5, 5, 5, … ทิ่วิ่งไปเป็นอนันต์พจน์ ก็เรียกว่า “ลู่เข้าหา” เลข 5 เหมือนกัน

ลำดับที่ไม่ลู่เข้า คือไม่วิ่งเข้าไปหาตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งบ้างเลย เรียกว่า “ลู่ออก” (DIverge) ลำดับนั้นอาจจะมีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงเรื่อยๆ หรือมีค่าสลับไปมาระหว่างเลขสองตัว ก็เรียกว่าเป็นการลู่ออกเหมือนกัน

ดูยังไงว่าลู่เข้า

เราอาจสังเกตการลู่เข้าโดยนั่งดูพจน์ต่างๆไปเรื่อยๆก็ได้ ถ้าคุ้นเคยกับมันมากพอแล้วก็จะทำให้เห็นแนวโน้มว่าลำดับมีสิทธิ์จะวิ่งไปหาอะไร

ข่าวร้ายก็คือการนั่งดูอาจเสียเวลาเปล่า เพราะบางลำดับกว่าจะลู่เข้าใช้เวลานานมาก (อาจจะไปเริ่มลู่เข้าสักพจน์ที่สองล้าน ก่อนหน้านั้นก็วิ่งสะเปะสะปะ เป็นต้น) หรือแย่กว่านั้นคืออาจจะไม่ลู่เข้าเลยก็ได้ วิธีที่ชัวร์กว่านั้นคือการพิจารณา “พจน์ทั่วไป” ของลำดับแต่ละชนิด

มีกฎอยู่บ้างเหมือนกัน ที่จะเอาไว้พิจารณาได้ว่าลำดับหน้าตาแบบไหนลู่เข้าหรือลู่ออก

ลำดับเลขคณิต จะลู่เข้ากรณีเดียวคือเมื่อ d = 0 หมายถึงเป็นลำดับคงที่ ถ้ามีการเพิ่มหรือลดค่า อย่างใดอย่างหนึ่ง (d ไม่เป็น 0) มันจะเพิ่มหรือลดไปเรื่อยๆไม่สิ้นสุด จึงไม่เข้าหาค่าใดเลย

ลำดับเรขาคณิต แบ่งเป็น 4 กรณี

r $\le$ -1 จะได้ลำดับสลับระหว่างค่าบวกและลบไปเรื่อยๆ …ซึ่งลู่ออก
$\left| r \right|$ < 1 ลำดับลู่เข้าหา 0 เพราะพจน์ถัดๆไปจะมีค่าลดลงเรื่อยๆ แม้ตอนที่ r ติดลบจะกลายเป็นลำดับสลับ แต่ก็เป็นการสลับที่เข้าใกล้ 0
r = 1 ลำดับลู่เข้า เพราะกลายเป็นลำดับที่คงที่ มีค่าเท่าเดิมตลอด
r > 1 ลำดับลู่ออก เพราะมีค่าเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว

มีลำดับพิสดารอยู่ชนิดหนึ่ง ได้จากการนำ “พหุนาม” สองตัวมาหารกัน เราอาจคุ้นเคยกับพหุนามที่มีตัวแปรเป็น x พอมาใส่ n ซึ่งเป็นค่าไม่ต่อเนื่องก็จะได้กราฟเป็นจุดๆ แทนที่จะเป็นเส้นโค้งๆ

ตัวอย่างลำดับที่เป็นผลหารของพหุนาม ได้แก่

${a_n} = \frac{{{n^2} - 1}}{{3{n^2} + n - 5}}$

${a_n} = \frac{{{n^3} - 3n}}{{4{n^2} + 2n + 1}}$

${a_n} = \frac{{1 - n}}{{{n^2}}}$

ลิมิตของลำดับผลหารพหุนาม มีอยู่สามกรณีที่ต่างกัน

ดีกรีของพหุนามตัวตั้งกับตัวหารมีค่าเท่ากัน ลำดับจะลู่เข้า ลิมิตหาได้จากสัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสูงสุดหารกัน
ดีกรีของตัวบนมากกว่าตัวล่าง ลำดับจะลู่ออก ซึ่งมีค่าเข้าสู่ infinity หรือ – infinity ขึ้นอยู่กับลำดับมีค่าเป็นบวกหรือลบ
ดีกรีของตัวล่างมากกว่าตัวบน ลำดับจะลู่เข้า และมีลิมิตอยู่ค่าเดียวคือ 0

สามกรณีที่ว่ามานี้เป็นผลสรุปจากการคำนวณสั้นๆ ไม่ใช่กฎที่ต้องจำ วิธีทำก็คือ ให้ดูว่า n กำลังสูงสุดเป็นเท่าไร (อาจจะอยู่ข้างบนหรือข้างล่างของเศษส่วนก็ได้) นำ n ยกกำลังสูงสุดนั้นไปหารทุกๆพจน์ ทั้งเศษและส่วน ถ้าพจน์ไหนตัดกันก็ตัดไปได้เลย (ไม่ต้องกลัวว่า n = 0 เพราะเป็นการพิจารณาลิมิตเมื่อ n มีค่ามากๆอยู่แล้ว) เราจะเหลือบางพจน์เป็นจำนวนเฉยๆ บางพจน์เป็นเศษส่วนซึ่งเป็นจำนวนหารด้วยตัวแปร n พจน์ไหนที่เหลือเป็นเศษส่วนที่มี n อยู่ข้างล่าง เราสรุปได้ไม่ยากว่าเมื่อ n มากขึ้นพจน์เหล่านั้นจะเข้าใกล้ 0 สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือพจน์ที่เป็นจำนวนเปล่าๆไม่ได้หารด้วยอะไร เมื่อนำจำนวนเหล่านั้นมาหารกันก็จะได้ลิมิตของทั้งลำดับ

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ลำดับ อนุกรม

ใส่ความเห็น

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 2: ลำดับต่างๆ

ลำดับเลขคณิต

เป็นลำดับของจำนวนที่แต่ละคู่มี “ผลต่าง” คงที่ เมื่อนำพจน์ปัจจุบันลบด้วยพจน์ก่อนหน้าจะได้ค่าคงที่ เรียกว่า “ผลต่างร่วม” ซึ่งหมายถึงเป็นผลต่างระหว่างสองพจน์ที่อยู่ติดกัน และทุกคู่ในลำดับใช้ผลต่างนี้ร่วมกันหมด ใช้สัญลักษณ์ว่า d ย่อมาจาก common difference

ลำดับเลขคณิตเริ่มจากพจน์แรกเป็นจำนวนอะไรก็ได้ และกำหนดไว้ก่อนว่าจะ “ก้าวทีละเท่าไหร่” (ซึ่งก็คือผลต่างร่วมนั่นเอง) จากนั้นก็บวกเพิ่มไปเรื่อยๆด้วยค่าคงที่ตัวเดิม จะบวกไปสักพักแล้วหยุด หรือบวกไปเรื่อยๆไม่รู้จบก็ได้

พจน์แรกคือ a₁ ไม่ได้บวกอะไร

พจน์ที่สองคือ a₁ + d

พจน์ที่สามก็เพิ่มไปอีก d กลายเป็น a₁ + d

พจน์ที่ n จึงได้ a₁ + (n-1)d เป็นพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

ถ้านำพจน์ต่างๆของลำดับเลขคณิตไปวาดกราฟ จะได้จุดที่เรียงกันในแนวเส้นตรง (เป็นจุดๆแยกจากกัน ไม่ได้เป็นเส้นต่อเนื่อง) ถ้าลากเชื่อมกันก็จะได้เส้นตรงความชันเท่ากับ d

ลำดับเรขาคณิต

เป็นลำดับของจำนวนที่แต่ละคู่มี “ผลหารคงที่” หมายถึงเมื่อนำพจน์ปัจจุบันหารด้วยพจน์ก่อนหน้าจะได้ค่าคงที่ (คล้ายลำดับเลขคณิต แต่เปลี่ยนจากลบเป็นหาร) เรียกว่า “อัตราส่วนร่วม” ใช้อักษรย่อว่า r มาจากคำว่า common ratio

ลำดับเรขาคณิตเริ่มสร้างจากจำนวนเริ่มต้นตัวเดียวเช่นกัน แต่แทนที่จะบวกเพิ่มทีละเท่าๆกัน ก็จะใช้การคูณด้วยอัตราส่วนร่วม จะคูณเป็นจำนวนจำกัดครั้ง หรือคูณไปเรื่อยๆก็ตามใจ พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตมีสมการเป็น a_n = a₁r^n-1

มีลำดับบางชนิดที่เป็นทั้งเลขคณิตและเรขาคณิต ได้แก่ลำดับที่เป็นค่าคงที่ เช่น 5, 5, 5, … เป็นเลขคณิตที่มี d = 0 และเป็นเรขาคณิตที่มี r =1

การสังเกตว่าลำดับที่ให้มาเป็นเลขคณิตหรือเรขาคณิต ถ้าให้มาแบบแจกแจงเป็นตัวๆ ก็ลองนำแต่ละพจน์ที่อยู่ติดกันแต่ละคู่มา ”ลบ” หรือ ”หาร” กัน ถ้าผลลบเท่ากันตลอดก็เป็นเลขคณิต ถ้าผลหารเท่ากันตลอดก็จะเป็นเรขาคณิต ถ้าไม่มีอะไรเท่ากันตลอดสักอย่าง ก็ไม่ใช่อะไรเลยในสองอย่างนี้ (ยังคงเป็นลำดับอยู่ แต่อาจจะไม่มีชื่อ หรือเป็นลำดับที่เราไม่รู้จัก)

ลำดับฮาร์โมนิก

คือลำดับที่เป็นส่วนกลับของลำดับเลขคณิต ถ้าให้ลำดับเลขคณิตมาแล้วกลับเอาทุกตัวไปไว้ข้างล่างของเศษส่วนหมดเลย ก็จะได้ลำดับฮาร์โมนิก เนื่องจากลำดับเลขคณิตมีค่าโตขึ้นเรื่อยๆ (ไม่ว่าจะเป็นทางบวกหรือลบ) เมื่อกลับเศษเป็นส่วน หารกันแล้วจะได้ค่าเข้าใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆเมื่อ n เพิ่มจนมีค่ามากๆ

ในบทเรียนนี้ไม่ได้สนใจการคำนวณของลำดับฮาร์โมนิกมากนัก แต่ใช้ประโยชน์เวลาหาลิมิตของลำดับชนิดอื่น โดยจัดรูปให้กลายเป็นลำดับฮาร์โมนิก แล้วสรุปว่ามีลิมิตเข้าใกล้ 0

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ลำดับ อนุกรม

ใส่ความเห็น

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 1: ลำดับคือฟังก์ชัน

ลำดับ อนุกรม

วิชาคณิตศาสตร์ม.ปลายมีการนำเอาตัวเลขมาเรียงๆกันหลายแบบ แต่ละแบบหน้าตาต่างกันนิดหน่อย และเอาไปใช้ประโยชน์ต่างกัน

– เซต :: ใช้แบ่งพวก

– เมทริกซ์ :: ใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้น

– คู่อันดับ :: ใช้บอกตำแหน่งในแกนพิกัดฉาก

– เวกเตอร์ :: ใช้บอกขนาด – ทิศทาง

– ลำดับ :: ใช้เรียงความเป็นก่อน – หลัง

ลำดับต่างกับเซตตรงที่สมาชิกในลำดับมีตำแหน่งก่อนหลังที่แน่นอน ห้ามสลับ ซึ่งเป็นธรรมชาติของการเรียงลำดับอยู่แล้ว เราอาจจะบอกว่าเมทริกซ์หรือคู่อันดับก็ห้ามสลับตำแหน่งเหมือนกัน แต่ลำดับต่างกับเมทริกซ์หรือคู่อันดับตรงที่ลำดับสามารถเรียงต่อกันไปยืดยาวเท่าไหร่ก็ได้ อาจจะสิ้นสุดหรือไม่สิ้นสุดก็ได้ ในขณะที่เมทริกซ์หรือคู่อันดับมีขนาดที่แน่นอน

เราจะเจอของที่หน้าตาเป็นลำดับได้เยอะมากในชีวิตประจำวัน เช่นการใส่เลขที่ให้นักเรียนในห้อง การรับบัตรคิวเวลาไปโรงพยาบาล หรือการตีตรา Serial Number บนสินค้าซึ่งใช้บอกว่าผลิตเป็นลำดับที่เท่าไหร่และใครซื้อสินค้าชิ้นนี้ไปบ้าง จะเห็นว่าลำดับคือการ “จับคู่” ระหว่างตัวเลขกับบางสิ่งบางอย่าง อาจเป็นคน สัตว์ สิ่งของ หรือสิ่งที่นามธรรมอย่างจำนวนก็ได้

ในบทนี้เราจะเน้นเรื่องลำดับที่เป็น “จำนวน” หมายถึงการนำจำนวนมาเรียงต่อกันเป็นแถว เนื่องจากมีอะไรให้ศึกษามากกว่าลำดับที่เป็นของอย่างอื่น

ลำดับคือฟังก์ชัน

ถึงเราจะเห็นลำดับที่เขียนโดยการเอา “จำนวนมาเรียงต่อกันเฉยๆ“ อยู่บ่อยครั้ง แต่ถ้าจะพูดให้ถูกเป๊ะๆแล้วลำดับคือฟังก์ชันชนิดหนึ่ง เนื่องจากเป็นการจับคู่ระหว่างจำนวนนับ (1, 2, 3, …) กับสิ่งของ การจับคู่นั้นมองได้ว่าเป็น “คู่อันดับ” และเซตของคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหน้าไม่ซ้ำกันเรียกว่าฟังก์ชัน

ถ้าลำดับของเราคือ ปลาทู ปลาวาฬ ปลาเค็ม ปลากระป๋อง ซึ่งเมื่อนำไปวางเรียงกันในตู้เย็นแล้วสวยงามดี แม่จึงกำชับว่าห้ามสลับที่กันเด็ดขาด ฟังก์ชันที่เกิดขึ้นก็คือ

f ={(1, ปลาทู), (2, ปลาวาฬ), (3, ปลาเค็ม), (4, ปลากระป๋อง)}

ถึงเราจะสลับที่คู่อันดับในเซตข้างบน ก็ยังสามารถเรียงลำดับได้อยู่ดี เพราะในคู่อันดับมีตัวเลขกำกับอยู่ เราอาจเรียงลำดับปลาทั้ง 4 ชนิดไม่ได้โดยตรง แต่ถ้าใส่เลขลำดับให้มันแล้ว (เลขนี้เรียกว่า index หรือดัชนี) ต่อให้สลับกันจนมั่วยังไง ก็เรียงกลับมาให้เหมือนเดิมได้

จากฟังก์ชันข้างบน ด้วยวิธีการของฟังก์ชันเราจะเขียนได้ว่า f(1) = ปลาทู, f(3) = ปลาเค็ม ในเรื่องลำดับมีวิธีเขียนให้แตกต่างจากนั้นโดยใช้สัญลักษณ์ตัว a ห้อยท้ายตัวตัวเลขดัชนี เช่น a₁ = ปลาทู , a₃ = ปลาเค็ม

ลำดับเขียนได้สองแบบ เหมือนกับเซต คือแบบแจกแจงสมาชิก กับเขียนพจน์ทั่วไป

แบบแจกแจงสมาชิกคือการเขียนพจน์ a₁,a₂,a₃, … เรียงต่อกันไปจนหมดหรือจนกว่าจะพอใจ การเขียนแจกแจงนี้สามารถละตัวหลังๆได้เมื่อลำดับมีรูปแบบที่คนอ่านสามารถเดาได้ว่าตัวต่อไปคืออะไร ถ้าเลขเรียงกันมั่วๆ เช่น 35, -10, 28, 6, … แบบนี้จำเป็นต้องเขียนให้ครบ เพราะคนอ่านเดาตัวถัดไปไม่ออกแน่ๆ

ส่วนการเขียนพจน์ทั่วไปคือการเขียน “สูตร” ให้แทนค่า n ลงไปในสูตรแล้วจะได้ค่าของพจน์ที่ n ออกมาโดยไม่ต้องแจกแจงให้ดูทุกตัว พจน์ทั่วไปทำให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างแต่ละพจน์ได้ง่ายโดยไม่ต้องสังเกตเอาเอง แต่ก็อาจจะดูยากว่าพจน์ต่างๆมี “แนวโน้ม” พุ่งไปทางไหน

เรียนเสร็จแล้วต้องรู้อะไรบ้าง

เราศึกษาลำดับของ “จำนวน” กันเป็นหลัก เพราะลำดับของอย่างอื่นไม่สามารถนำมาคำนวณได้ หรือไม่ก็ยากเกินไป (ที่จริงเรามีลำดับของเซต ฟังก์ชัน เมทริกซ์ ฯลฯ ได้ทุกอย่างเลย ซึ่งยังคงยากไปหน่อยในระดับนี้) มีอยู่สามสี่ประเด็นที่เราสนใจเป็นพิเศษในการศึกษาลำดับของจำนวน

– ค่าของแต่ละพจน์ และความสัมพันธ์กับ “พจน์ทั่วไป” ของมัน

– ลำดับวิ่งไปหาเลขอะไร … เรียกว่า “ลิมิต”

– จำนวนในลำดับรวมกันได้เท่าไหร่ … เรียกว่า “อนุกรม”

มีลำดับดังๆอยู่สองสามแบบที่เราควรจะรู้จัก

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ลำดับ อนุกรม

ใส่ความเห็น

เซต – ตอนที่ 7: แผนภาพ และการนับในเซตที่ยูเนียนกัน

แผนภาพเวนน์ ออยเลอร์

เซต (รวมทั้งสัญลักษณ์อื่นๆทางคณิตศาสตร์ด้วย) เป็นสิ่งนามธรรม เพราะกล่องที่แทนเซตนั้นไม่ได้มีอยู่จริงๆ เพื่อความง่ายในการคำนวณหรือเอาไปอธิบายให้ใครสักคนเข้าใจ ก็เลยมีคนตกลงวิธีการ “วาดรูป” เซตขึ้นมาให้มันดูเป็นรูปธรรมขึ้นหน่อย นักคณิตศาสตร์ที่ออกแบบวิธีการนี้ขี้นมาคือ เวนน์ และออยเลอร์

วิธีการก็คือ วาดเอกภพสัมพัทธ์เป็นกรอบใหญ่สุด โดยปกติจะวาดเป็นรูปสี่เหลี่ยม (แต่ไม่จำเป็น) เซตอื่นๆที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ให้วาดเป็นวง (จะกลมหรือไม่กลมก็ตามสะดวก) ซ้อนกันบ้าง ไม่ซ้อนกันบ้าง บางทีก็วาดให้วงหนึ่งอยู่ในอีกวงหนึ่ง ซึ่งแต่ละแบบมีความหมายต่างกัน

วาดสองวงให้ทับกันบางส่วน แปลว่าสองเซตนั้นมีส่วนที่ซ้ำกัน (Intersection ไม่เป็นเซตว่าง)
ถ้าวาดสองวงไม่ทับกันเลย แปลว่าสองเซตนั้นไม่มีสมาชิกร่วมกัน
ถ้าวาดวงหนึ่งให้อยู่ในอีกวงหนึ่ง แปลว่าเซตนั้นเป็น “สับเซต” ของวงที่ใหญ่กว่า

แผนภาพเวนน์ ออยเลอร์ไม่เกี่ยวว่าเซตที่วาดจะมีจำนวนสมาชิกอะไรบ้าง มีจำนวนมากหรือน้อยแค่ไหนก็ได้ ส่วนมากเราจะใช้แผนภาพช่วยในการคำนวณจำนวนสมาชิกของเซต หรือแสดงการเกี่ยวข้องกัน (เช่นทับกัน ไม่ทับกัน หรือเป็นสับเซต)

หลักการเพิ่มเข้าและตัดออก

ถ้าเรานับจำนวนคนที่เป็นนักเรียน กับคนที่เป็นพนักงานร้านสะดวกซื้อในจังหวัดฉะเชิงเทรา นับกลุ่มละครั้งแยกจากกันเราจะได้ตัวเลขออกมาสองตัว แต่ถ้านับอีกครั้งให้คนทั้งสองกลุ่มนี้อยู่รวมกัน เราจะได้จำนวนซึ่งน้อยกว่าผลบวกสองจำนวนแรก … ที่เป็นเช่นนี้ได้เพราะคนหนึ่งคนอาจมีได้หลายตำแหน่งหน้าที่ บางคนเป็นนักเรียนและเป็นพนักงานร้านสะดวกซื้อได้ด้วย (ทำงาน part time) คนที่อยู่ในทั้งสองกลุ่ม เวลาเรานับแยกจากกันก็จะถูกนับสองครั้ง แต่พอให้รวมกลุ่มก็จะถูกนับแค่ครั้งเดียว

การคำนวณหาจำนวนสมาชิกที่เกิดจากการ Union ของเซตตั้งแต่สองเซตขึ้นไป สามารถหาด้วยแผนภาพเวนน์ ออยเลอร์ก็ได้ หรือหากไม่ถนัดการวาดรูป ก็มีสูตรคำนวณด้วยเช่นกัน โดยความสัมพันธ์ของสูตรกับชิ้นส่วนต่างๆของเซตที่มีมาให้ สามารถจัดเป็นกลุ่มๆได้ว่าเป็นการ “เพิ่มเข้า” และ “ตัดออก” เมื่อจำนวนเซตที่เอามายูเนียนกันมีมากขึ้นเรื่อยๆ

เพื่อจะเข้าใจหลักการนี้ ให้นึกถึงกระดาษที่ตัดเป็นวงกลมสองแผ่น เอามาซ้อนกันเล็กน้อย บริเวณที่ซ้อนกันจะหนากว่าตรงอื่น (เพราะมีกระดาษสองชั้น ขณะที่ตรงอื่นมีชั้นเดียว) ถ้าถามว่ากระดาษที่ซ้อนกันแล้วนี้มีพื้นที่ที่ปรากฏให้เห็นจริงๆเท่าไหร่ จะเอาพื้นที่วงกลมสองวงบวกกันทันทีย่อมไม่ได้ เพราะมันมีพื้นที่ส่วนที่หายไปจากการซ้อนทับ การหาพื้นที่เฉพาะส่วนที่ปรากฏให้เห็นด้านบน ต้องบวกพื้นที่วงกลมสองวงเข้าด้วยกัน (เรียกว่าการเพิ่มเข้า) แล้วหักออกด้วยพื้นที่ของส่วนที่ซ้อนทับ (เรียกว่าการตัดออก) ถ้าเราตัดพื้นที่ที่ซ้อนทับกันออกจริงๆ แล้วเอามาวางต่อกันก็จะพบว่าทุกๆบริเวณมีความหนาเท่ากันแล้ว

เมื่อสองเซตมีสมาชิกซ้ำกัน การนับจำนวนสมาชิก ”ทั้งหมดที่มี” ของทั้งสองเซตเราจะไม่นับซ้ำ (แปลว่าสมาชิกที่ซ้ำกันในทั้งสองเซตถูกนับครั้งเดียว) ถ้าเรานำจำนวนสมาชิกในแต่ละเซตมาบวกกันเลยทันที คำตอบจะ “เกิน” (เพราะสมาชิกที่ซ้ำถูกนับสองครั้ง เหมือนกระดาษซ้อนกันสองชั้น) จึงจำเป็นต้องลบด้วยจำนวนสมาชิกที่ซ้ำออก

สรุปได้ว่า $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

สองพจน์แรก คือ $n(A) + n(B)$ เรียกว่าขั้นตอนการ “เพิ่มเข้า”

ส่วนการลบพจน์สุดท้าย $- n(A \cap B)$ เรียกว่าขั้นตอนการ “ตัดออก”

ถ้ามีสามเซตหรือมากกว่านั้น ก็จะยังใช้วิธีนี้ได้อยู่ โดยการเพิ่มเข้าและตัดออกสลับกันไป การเพิ่มเข้าครั้งแรกสุดคือนำสมาชิกของทุกเซตรวมกัน ตัดออกด้วยสมาชิกที่ซ้ำกันในแต่ละคู่ของเซต เพิ่มเข้าอีกทีด้วยสมาชิกที่ซ้ำกันระหว่างสามเซต ตัดออกอีกครั้งด้วยสมาชิกที่ซ้ำกันระหว่างสี่เซต …ไปเรื่อยๆ จนสุดท้ายเป็นการเพิ่มเข้าหรือตัดออกด้วยสมาชิกของทุกเซตอินเตอร์เซคกัน

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เซต

ใส่ความเห็น

ที่ทางของคนมีปัญหา

ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

แคลคูลัส – ตอนที่ 1: แคลคูลัสอยู่ที่ไหนบ้าง

ลิมิต ความต่อเนื่อง – ตอนที่ 1: ลิมิตกับปากเหว

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 7: อนุกรมอนันต์

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 6: ผลบวกของอนุกรมจำกัด

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 5: เก้าส์กับการหาผลบวกย่อย

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 4: อนุกรม

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 3: ลู่เข้า

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 2: ลำดับต่างๆ

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 1: ลำดับคือฟังก์ชัน

เซต – ตอนที่ 7: แผนภาพ และการนับในเซตที่ยูเนียนกัน

หมวดหมู่

เรื่องล่าสุด

คลังเก็บ

Blogroll

ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

ค้นหา

หมวดหมู่

เรื่องล่าสุด

คลังเก็บ

Blogroll

Tag Cloud