ที่ทางของคนมีปัญหา

Tagged with:

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 5: นิยามภาคตัดกรวย

พฤศจิกายน 17, 2011

ภาคตัดกรวย

คำว่าภาคตัดกรวย ได้มาจากการ “ตัดกรวย” จริงๆ คือถ้ามีกรวยฐานกลม ปลายแหลม สองชิ้น นำมาต่อกันโดยหันกลายแหลมเข้าหากัน แล้วมีมีดหรือเลื่อยคมๆมาตัดกรวยนั้นให้เป็นหน้าตัดเรียบๆในแนวต่างๆกัน รูปที่ได้ก็จะมีหน้าตาต่างกันไป ซึ่งตัดให้ตายยังไงก็จะมีรูปร่างไม่เกิน 4 ประเภท สองชื่อที่น่าจะคุ้นเคยคือวงกลมและวงรี ส่วนอีกสองชื่ออาจได้ยินไม่บ่อยนัก คือพาราโบลา และไฮเพอร์โบลา

วงกลมนั้นหาดูได้ง่ายที่สุด ได้จากการตัดกรวยในแนวขนานกับฐาน เนื่องจากฐานกรวยเป็นวงกลม การตัดขนานกับฐานทำให้ได้รอยตัดกลมด้วย แต่ขนาดของวงกลมขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่ตัด ยิ่งอยู่ใกล้ยอดแหลม วงก็ยิ่งเล็ก

วงรีนั้นเหมือนกับการบีบวงกลมให้เบี้ยวไปเล็กน้อย ได้จากการตัดกรวยแบบเฉียงๆเล็กน้อย แต่ยังเฉียงไม่เท่าแนวสูงเอียงของผิวกรวยด้านข้าง ถ้าใครเคยตัดต้นกล้วยหรือเลื่อยท่อน้ำในแนวเฉียงๆ รอยตัดก็จะเป็นวงรีเหมือนกัน

พาราโบลาอาจหาดูได้ง่ายตามหลังคาบ้านสมัยนี้ เพราะเป็นรูปร่างของจานดาวเทียมเมื่อมองจากด้านข้าง หรือถ้าใครเคยแกะดูแผ่นสะท้อนแสงรอบๆหลอดไฟฉาย ผิวโค้งของมันก็สร้างขึ้นจากพาราโบลาเหมือนกัน พาราโบลาได้จากการตัดกรวยเฉียงขนานกับแนวสูงเอียงของผิวกรวยพอดีเป๊ะ ถ้ากรวยมีขนาดใหญ่ แขนของพาราโบลาก็จะงอกยาวไปได้เรื่อยๆ (ถ้ากรวยมีขนาดเป็นอนันต์ พาราโบลาก็จะต่อแขนไปได้ไม่สิ้นสุด) เพราะรอยตัดจะไม่หลุดไปจากกรวยซะที แต่จะผ่าเข้าไปในเนื้อกรวยที่กว้างขึ้นเรื่อยๆ

ไฮเพอร์โบลาเป็นเส้นโค้งๆสองเส้นที่คอดเข้าหากันตรงกลาง (แต่ไม่แตะกัน) ส่วนปลายของแต่ละเส้นบานออกจากกัน ไฮเพอร์โบลาหาดูได้ยากหน่อย อาจต้องไปเดินหาพนักงานกวาดถนนซึ่งใช้ไม้กวาดทางมะพร้าวอันใหญ่ๆที่ทำจากก้านใบของมะพร้าวจำนวนมากมามัดรวมกันแล้วบิดให้ปลายบานออก ถ้าดูจากด้านข้างก็จะเป็นรูปไฮเพอร์โบลา หรือตัวอย่างที่ใกล้ตัวกว่านั้นและอาจจะทำเองได้ โดยใช้ดินสอสักหนึ่งกำมือ นำหนังยางมามัดไว้ แล้วบิดกำดินสอให้เอียงไปทางเดียวกัน ก็จะมีหน้าตาคล้ายๆไม้กวาดทางมะพร้าว ไฮเพอร์โบลาได้จากการตัดกรวยในแนวที่ชันกว่าแนวสูงเอียงของผิวกรวย ทำให้ตัดไปโดนกรวยอีกอันหนึ่งซึ่งคว่ำหัวอยู่ด้วย รอยตัดจึงมีสองรอย เป็นเส้นโค้งๆคล้ายกับพาราโบลา แต่จะบานกว่า และทั้งสองเส้นวิ่งหนีห่างออกจากกัน

หมวดหมู่:

Tagged with:

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 4: เส้นตรงและการวัดระยะทาง

สมการเส้นตรง

ความชันเพียงอย่างเดียวยังไม่ได้บอกข้อมูลของเส้นตรงอย่างครบถ้วนนัก เพราะมันบอกเราแค่ว่าเส้นตรงนี้เอียงมากเอียงน้อยอย่างไร แต่ยังไม่ได้บอกว่าเส้นตรงนั้นอยู่ตรงไหน (นึกถึงบันไดของตึกที่มีหลายๆชั้น บันไดขึ้นชั้น 3 กับบันไดขึ้นชั้น 4 อาจจะเอียงเท่ากัน แต่พาดอยู่คนละชั้น) จึงต้องมีข้อมูลอื่นมาช่วยบอกตำแหน่งของเส้นตรงนั้นอีก

สมการเส้นตรงอย่างง่ายที่สุด บอกข้อมูลว่าเส้นตรงเส้นหนึ่งชันเท่าไร และอยู่ตรงไหนของแกนพิกัดฉากโดยบอกจุดตัดแกน y สมการแบบนี้หน้าตาเป็น

y = mx+c

ถ้ากำหนดสมการที่มีข้อมูลความชันและจุดตัดแกน y มาให้ เราจะวาดภาพคร่าวๆของเส้นตรงนั้นได้เลย โดยกำหนดจุดตัดแกน y และลากเส้นตรงให้มีความชันมากน้อยไปตามค่า m ซึ่งทั้งสองค่านี้เป็นข้อมูลที่มีความหมายที่เราเข้าใจได้ ไม่ต้องเอาไปประมวลผลต่อมากนัก

ยังมีสมการเส้นตรงที่นิยมกล่าวถึงกันอีกแบบหนึ่ง คือสมการหน้าตา Ax+By+C = 0 และยังมีรูปแบบนอกเหนือจากนี้ที่ต้องใช้ความรู้เรื่องตรีโกณมิติอีกด้วย ซึ่งแต่ละแบบนั้นแทนเส้นตรงเหมือนกัน จัดรูปสมการถ่ายเทกันไปมาได้ แต่มีประโยชน์ต่างกันในการให้ข้อมูลแก่คนอ่าน

ค่า A,B และ C ในสมการ Ax+By+C = 0 ไม่ได้ให้ข้อมูลอะไรแก่เราโดยตรงเหมือนกับความชันและจุดตัดแกนในสมการแบบแรก แต่ข้อดีคือเราจะใช้ค่า A,B,C นี้มาช่วยในการคำนวณระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรงและระยะห่างระหว่างเส้นตรงสองเส้น นอกจากนั้นสมการรูปนี้ยังใช้เขียนเส้นตรงในแนวดิ่ง (ขนานกับแกน y) ได้ด้วย ซึ่งเส้นตรงชนิดนี้จะไม่ตัดแกน y และมีความชันเป็นอนันต์ จึงเขียนด้วยสมการแบบแรกไม่ได้

การวัดระยะทาง

เมื่อจุดที่อยู่คนละตำแหน่งถึงเป็นคนละจุดกัน เราจึงควรจะมีวิธีวัดว่าจุดสองจุด “ต่างกันเท่าไร” ความแตกต่างระหว่างจุดสองจุดเรียกว่า “ระยะทาง” หมายถึงถ้าเอาไม้บรรทัดไปทาบ จุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดไหนสักจุด แล้ววัดไปจนถึงอีกจุดหนึ่งแบบตรงๆ ไม่เลี้ยวไปไหน แล้วอ่านค่าออกมาว่าได้ตัวเลขเท่าไหร่

ในทางคณิตศาสตร์มีคำอีกคำหนึ่ง เรียกว่า Geodesic มีความหมายว่าเป็น “ความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดที่ใช้ในการเดินทางเปลี่ยนตำแหน่ง” ลองนึกภาพการเดินทางจากบ้านเราเองไปโรงเรียน บางครั้งเราไม่สามารถเดินทางเป็นเส้นตรงได้ ความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจึงอาจจะไม่ใช่ระยะทางตามแนวเส้นตรง แต่ต้องลัดเลาะไปตามทางเท้า หรือวิ่งตามถนนซึ่งเลี้ยวไปเลี้ยวมา ก็ต้องไปวัดระยะทางตามแนวที่คดไปคดมานั้น

แต่บนแผ่นระนาบเปล่าๆที่ไม่มีอะไรมาบัง เช่นระนาบ x-y ที่เราใช้กันอยู่ ไม่มีอะไรมาขวางให้สะดุดหรือเดินไม่ได้ Geodesic คือระยะทางตามแนวเส้นตรง ในเรขาคณิตวิเคราะห์การวัดระยะทางระหว่างของสองชิ้นใดๆก็ตามจะวัดตามแนวตรงเสมอ ของสองชิ้นที่ว่านี้คืออะไรก็ได้ที่เรากำลังจะไปรู้จักมัน ตั้งแต่จุด เส้นตรง วงกลม และรูปภาคตัดกรวยอื่นๆ อย่างไรก็ตามวิธีการวัดระยะทางระหว่างของสองชิ้นใหญ่ๆล้วนแต่เริ่มต้นจากการหาระยะทางระหว่างจุดสองจุดทั้งนั้น

เพื่อนของเราที่บอกว่าจะวัดระยะทางในแนวเส้นตรงได้ยังไงชื่อว่า “พิธากอรัส” สมัยมัธยมต้นเราเคยรู้ว่าทฤษฎีหรือ “สูตร” ของพิธากอรัสใช้หาความยาวด้านใดๆของสามเหลี่ยมมุมฉากเมื่อรู้ความยาวสองด้านที่เหลือ ความรู้เดียวกันนี้ประยุกต์มาใช้ในการคำนวณระยะทางด้วย เพราะระบบแกนพิกัดของเราทำมุม “ฉาก” กันอยู่แล้ว จึงมีมุมฉากให้เรียกใช้เมื่อไหร่ก็ได้ แค่มีเส้นตรงเส้นเดียวก็เหมือนกับมีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเกิดขึ้นมาทันที

จุดสองจุดที่อยู่ต่างที่กัน ไม่ตรงกันทั้งในแนวราบและแนวดิ่ง ค่า x จะต่างกัน และค่า y ก็จะต่างกันเช่นเดียวกัน ผลต่างของค่า x และค่า y นี่แหละที่สร้างด้านสองด้านของ “สามเหลี่ยมมุมฉาก” และเจ้าระยะทางระหว่างจุดสองจุดนั้นคือความยาว “ด้านตรงข้ามมุมฉาก” ของสามเหลี่ยมนี้ ทำให้เราได้สูตรการหาระยะทางระหว่างสองจุดออกมาแบบนี้

ระยะทางระหว่าง $\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ กับ $\left( {{x_2},{y_2}} \right)$ = $\sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}}$

ถ้าของที่จะวัดมีขนาด หมายถึงแต่ละรูปมีจุดมากกว่าหนึ่งจุด จะมีปัญหาว่าการวัดระยะทางจากรูปหนึ่งไปยังอีกรูปหนึ่ง จะวัดจากจุดไหนของรูปดี ตรงนี้มีข้อตกลงเพื่อให้การวัดต้องทำอย่างรัดกุมยิ่งขึ้น ว่าเราจะวัดระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างรูปสองรูป เพื่อว่ามันจะได้มีผลการวัดได้แค่ค่าเดียว

ถ้าบ้านเราอยู่ตรงด้านหน้าโรงเรียนเป๊ะๆ ห่างจากประตูหน้าโรงเรียนแค่ 20 เมตร แต่ดันเดินไปเข้าประตูอีกฝั่งหนึ่งซึ่งไกลกว่า แล้วจะมาโวยวายว่าบ้านเราอยู่ไกลจากโรงเรียนตั้ง 500 เมตร ก็คงไม่สมเหตุสมผลนัก ถ้าเราวัดระยะทางจากบ้านไปยังจุดอื่นๆของโรงเรียนได้ไกลกว่า 20 เมตรหมดเลย แปลว่าระยะทางที่ควรจะใช้บอกว่าบ้านอยู่ไกลจากโรงเรียนเท่าไหร่ ก็ควรจะเป็น 20 เมตร

ข้อตกลงนี้ทำให้การวัดระยะทางจาก “จุด” ไปยัง “เส้นตรง” ต้องวัดระยะทางที่สั้นที่สุด ซึ่งบังเอิญว่ามันคือระยะทาง “ในแนวตั้งฉาก” จากจุดไปถึงเส้นตรงเส้นนั้นด้วย ถ้าจุดมีพิกัด $\left({{x_1},{y_1}}\right)$ และเส้นตรงมีสมการ Ax+By+C = 0 ระยะทางจากจุดไปถึงเส้นตรงหาได้จาก

d = $\frac{{\left| {A{x_1} + B{y_1} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}}}}$

ตัวเศษนั้นได้จากการนำพิกัดจุดลงไปแทนค่าในสมการเส้นตรง ใส่ค่าสัมบูรณ์เพื่อรับประกันว่าระยะทางจะมีค่าเป็นบวกแน่ๆ ข้อสังเกตคือถ้าจุดที่แทนค่านั้นอยู่บนเส้นตรง พจน์ที่เป็นตัวเศษจะเท่ากับ 0 ยิ่งจุดอยู่ห่างเส้นมากเท่าไหร่ พจน์นี้ก็จะยิ่งมีค่ามากขึ้นเท่านั้น

ถ้าจะวัดระยะทางระหว่างเส้นตรง 2 เส้น เราต้องการเส้นตรงสองเส้นที่ “ขนานกัน” ก่อน เพราะมันมีระยะห่างกันคงที่ จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเส้นทั้งสองไม่ขนานกัน เนื่องจากเส้นตรงมีความยาวต่อไปได้เรื่อยๆไม่สิ้นสุด ถ้าเส้นไม่ขนานกันเราจะพบว่าลากไปสักพักมันจะตัดกัน ทำให้มีระยะระหว่างกันเป็น 0 จึงไม่ต้องวัดระยะทางให้เสียเวลา

ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน ค่า A และ B จะเป็นชุดเดียวกันด้วย ซึ่งในตอนแรกอาจไม่เท่ากัน แต่จะเป็นอัตราส่วนเดียวกันจึงสามารถคูณค่าคงที่ปรับให้เท่ากันได้ เมื่อเท่ากันแล้วเส้นตรงทั้งสองจะมีสมการ L1 = $Ax+By+C_1$ และ L2 = $Ax+By+C_2$ และระยะทางระหว่างเส้นขนานคู่นี้จะเท่ากับ

d = $\frac{{\left| {{C_1} - {C_2}} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$

หมวดหมู่:

Tagged with:

แคลคูลัส – ตอนที่ 6: อินทิเกรต

แอนไทเดริเวทีฟ = ปฏิยานุพันธ์ = ปริพันธ์ = อินทิเกรต

มีคำถามเกิดขึ้นว่า ถ้ามีฟังก์ชันที่ผ่านการดิฟมาให้แล้ว จะรู้ได้ยังไงว่ามันถูกดิฟมาจากอะไร

คำถามนี้ตอบได้ง่ายๆ เพราะการดิฟนั้นเป็นสูตรสำเร็จ ถ้าดูออกว่าการดิฟแต่ละครั้งมันทำอะไรกับฟังก์ชันของเราบ้าง หากจะย้อนกลับไปหาต้นตอก่อนที่จะถูกดิฟ ก็จะได้สูตรสำเร็จที่บอกว่าฟังก์ชันนี้ถูกดิฟมาจากอะไร นักคณิตศาสตร์ตั้งชื่อให้มันว่า Antiderivative เรียกชื่อไทยว่าปฏิยานุพันธ์ (ปฏิ+อนุพันธ์) ซึ่งก็คือการย้อนกระบวนการหาอนุพันธ์

การหาปฏิยานุพันธ์ทำให้เราได้สูตรย้อนกลับของการหาอนุพันธ์ ซึ่งเป็นเรื่องบังเอิญมากที่สูตรเหล่านี้เอาไปใช้ทำอย่างอื่นได้ด้วย

อย่างอื่นที่ว่าคือการหาพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน อย่างที่บอกไว้ตอนต้นๆว่าแคลคูลัสใช้ทำสองอย่างซึ่งเรขาคณิตไม่เคยทำได้มาก่อน หนึ่งคือหาอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดจุดเดียว และใช้หาพื้นที่ของรูปร่างที่เป็นเส้นโค้งๆ ยึกยือ ไม่เป็นเหลี่ยมๆ

สูตรอินทิเกรต :: ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

ในการดิฟฟังก์ชันพหุนาม เราพบว่าเลขชี้กำลังของฟังก์ชันจะลดลงหนึ่งค่า และสัมประสิทธิ์จะถูกคูณเพิ่มเข้าไปด้วยเลขชี้กำลังนั้น การทำย้อนกลับก็ง่ายนิดเดียว ถ้ามีฟังก์ชันมาให้แล้วถามว่าฟังก์ชันนี้ดิฟมาจากอะไร ก็ทำได้โดย

– เพิ่มเลขชี้กำลังเข้าไปอีกหนึ่ง

– หารสัมประสิทธิ์หน้าพจน์นั้นออกเท่ากับเลขชี้กำลังที่บวกหนึ่งเข้าไปแล้ว

เช่นถ้าฟังก์ชันคือ $4{x^3}$ ถามว่าฟังก์ชันนี้ถูกดิฟมาจากอะไร ก็เพิ่มเลขชี้กำลังจาก 3 เป็น 4 และหารทั้งพจน์ด้วยเลขชี้กำลังตัวใหม่นี้ คือ 4 นั่นเอง คำตอบคือ ${x^4}$ ซึ่งแปลว่าถ้าเราดิฟ $x^4$ กลับคืนเราจะได้ $4{x^3}$

แต่ช้าก่อน เรื่องยังไม่จบ

ข้อสังเกตก็คือถ้าเรานำค่าคงที่สองตัวที่ไม่เท่ากันไปดิฟ ผลลัพธ์ออกมาจะได้ 0 เท่ากัน หรือถ้านำฟังก์ชันหน้าตาคล้ายๆกันสองฟังก์ชัน ต่างกันตรงที่แต่ละฟังก์ชันนั้นถูกบวกด้วยค่าคงที่ซึ่งไม่เท่ากัน เมื่อนำไปดิฟออกมาแล้วคำตอบจะเท่ากันเพราะค่าคงที่นั้นจะหายไปเฉยๆ ในทางคณิตศาสตร์จะบอกว่าการดิฟนั้นแม้จะทำให้รู้ข้อมูลบางอย่างเพิ่มขึ้นมา (คือความชันของกราฟ) แต่ก็ทำให้สูญเสียข้อมูลบางอย่างที่กู้กลับคืนมาไม่ได้ ซึ่งคือข้อมูลที่บอก “ตำแหน่ง” ในแนวแกน y (ข้อมูลที่บอกว่าฟังก์ชันนี้จะอยู่สูงจากพื้นมากน้อยขนาดไหน)

ดังนั้นเวลาหาปฏิยานุพันธ์ (หรืออินทิเกรต) ย้อนกลับ เราจึงต้องถือว่าฟังก์ชันก่อนจะดิฟมานั้นอาจมีค่าคงที่บวกอยู่ด้วยเสมอ แต่เราไม่รู้ว่าตัวเลขนั้นคืออะไรถ้าไม่ได้ใบ้มาด้วยวิธีการใดเลย จึงต้องเขียนติดตัวแปรไว้ ซึ่งนิยมใช้ตัว c (ย่อมาจาก constant แปลว่าค่าคงที่)

ข้อปฏิบัติเวลาอินทิเกรตทุกครั้งก็คือ หลังจากอินทิเกรตทีละพจน์แล้ว ต้องบวกค่าคงที่ซึ่งไม่ทราบค่านี้ไว้ด้วยเสมอ เช่นตัวอย่างที่ยกขึ้นมาตอนแรก ไม่ได้มีแต่ ${x^4}$ ตัวเดียวที่ดิฟแล้วได้ $4{x^3}$ แต่เพื่อนพ้องน้องพี่ที่บวกด้วยค่าคงที่ใดๆคือ ${x^4} + c$ ก็ดิฟแล้วได้ เท่ากัน $4{x^3}$

สัญลักษณ์ของการอินทิเกรตคือ $\int_{}^{} {\_\_dx}$ คือมีเส้นโค้งๆคล้ายๆตัว s ที่ยืดออกยาวๆ กับ dx ปิดหัวท้าย ถ้าจะอินทิเกรตฟังก์ชันอะไรก็เขียนใส่ลงไปตรงกลาง เหตุที่ต้องมี dx ปิดท้ายสัญลักษณ์นั้นมีที่มาจากการ “ล้อ” สัญลักษณ์ที่ใช้ในกระบวนการหาพื้นที่ใต้กราฟด้วยลิมิต ซึ่งจะพูดถึงในหัวข้อถัดไป

ด้วยข้อตกลงทั้งหลายแหล่ข้างบน ทำให้เราเขียน “สูตรอินทิเกรต” ออกมาเป็นชุดๆ เหมือนสูตรอนุพันธ์ได้ดังนี้

ฟังก์ชันที่มีความชันเป็นค่าคงที่ ตัวมันย่อมมีหน้าตาเป็นเส้นตรง

$\int_{}^{} {kdx = kx + c}$

ฟังก์ชันพหุนาม เลขชี้กำลังจะเพิ่มขึ้น และสัมประสิทธิ์จะถูกหารด้วยเลขชี้กำลังตัวใหม่

$\int_{}^{} {{x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}}$

ถ้ามีค่าคงที่คูณกับฟังก์ชันหนึ่งๆอยู่ ค่าคงที่สามารถดึงออกมาได้เพื่อไม่ให้เกะกะ ก่อนจะทำการอินทิเกรต

$\int_{}^{} {kf(x)dx}$ = $k\int_{}^{} {f(x)dx}$

ถ้าฟังก์ชันนั้นมีหลายพจน์ที่บวกลบกันอยู่ ก็ใช้สูตรเหล่านี้กระจายเข้าไปจัดการได้ทีละพจน์ เหมือนกับตอนหาอนุพันธ์ไม่มีผิด

ชื่อเพราะๆในภาษาไทยของการย้อนกระบวนการอนุพันธ์ คือ “ปริพันธ์ (หรืออินทิกรัล) ไม่จำกัดเขต” คำว่าไม่จำกัดเขตนี้แปลว่าถ้าให้ฟังก์ชันที่บอกความชันของกราฟมา แล้วเราอินทิเกรตกลับคืนไป เราจะได้ฟังก์ชันดั้งเดิมเริ่มต้นซึ่งเอาไปวาดกราฟทั้งเส้นได้อย่างสมบูรณ์ ไม่ได้ถูกตัดตอนมาเฉพาะส่วนใดส่วนหนึ่ง

พอเห็นชื่อ “ไม่จำกัดเขต” แล้วก็คงจะเดาได้ว่าเดี๋ยวคงเจอแบบ “จำกัดเขต” แน่ๆเลย ซึ่งปริพันธ์จำกัดเขตนั้นไปเกี่ยวข้องกับเรื่องที่เกริ่นไว้ตอนต้นบท คือการหาพื้นที่ซึ่งถูกปิดล้อมด้วยเส้นโค้งๆ ไม่เป็นรูปเหลี่ยมๆหรือเรขาคณิตที่คุ้นเคยกัน

หมวดหมู่:

Tagged with:

ทำไมผมถึงอยากสอนเลข

พฤศจิกายน 15, 2011

ชอบมีคนถามว่า เราเรียนเลขไปทำไมกัน ไอ้การคำนวณ Log, หา det ของเมทริกซ์, หรืออินทิเกรตฟังก์ชันมันเอาไปทำอะไรกินได้จริงๆไหมถ้าเรียนจบไปแล้วไม่ได้เป็นครูสอนเลข

ครั้งแรกๆที่โดนถาม… ผมอึ้ง

เพราะตลอดชีวิตที่ผ่านมาก่อนหน้านั้น ผมไม่เคยคิดเลย รู้แต่ว่ามันสนุกดี ถ้าเรียนเข้าใจ ทำโจทย์ได้ สอบผ่าน ได้คะแนน ก็พอใจ แล้วก็จบแค่นั้น

การสอนคนอื่นทำให้ผมเห็นโลกกว้างขึ้น

อย่างน้อยก็ทำให้ผมรู้ว่าคนเรียนไม่รู้เรื่องเขาคิดยังไง คนที่รู้สึกว่าคณิตศาสตร์ไม่สนุกเขาคิดยังไง

เขาไม่ได้คิดแค่ว่ามันยาก สิ่งที่ตามมาแน่ๆคือ “แล้ว ฉัน/ผม/หนู จะเรียนมันไปทำไม”

นั่นสิ ในเมื่อบางคนไม่เห็นจำเป็นจะต้องใช้มัน ยากก็ยาก เรียนไปก็เท่านั้นแหละมั้ง

สิ่งที่เกิดขึ้นคือ…

ผมโคตรจะเห็นด้วยเลย

มันแปลว่าผมอยากจะเห็นการศึกษาไทยสักวันหนึ่งในอนาคต ที่เด็กม.1 รู้ว่าตัวเองอยากเป็นอะไรในอนาคต และมีวิชาเรียนเป็นตัวเลือกให้เลือกมากกว่าที่จะเลือก “ชมรม” เพียงอย่างเดียว คนที่รู้ว่าตัวเองจะต้อง “ใช้” อะไร จะได้เลือกสิ่งที่ต้องใช้เพื่อมาเรียนจริงๆ

การทำโรงเรียนให้มีวิชาเลือกเยอะไม่ยากหรอก ที่ยากคือ เด็กม.1 ที่ไหนมันจะไปถูกบ่มจนสุกงอมพอที่จะตัดสินใจได้ว่าตัวเองอยากเป็นอะไร ถ้ามันมีกระบวนการบ่มเพาะได้จริง คนที่ทำได้น่าจะเก่งกว่าครูที่สอนเนื้อหาวิชาต่างๆซะอีก

ที่เราๆทำกันอยู่ตอนนี้ก็คือ ใครเรียนอะไรไหวก็เรียนไป เรียนไปเรื่อยๆนั่นแหละ จนแม้กระทั่งมีการเลือกเกิดขึ้น หลายคนก็ไม่เคยได้เลือกอะไรที่อยากทำ แต่ต้องเลือกสิ่งที่ “เรียนไหว” แล้วพอจบอะไรมาคุณก็ไปทำสิ่งนั้น

พอใครสักคนชี้นิ้วสั่งว่า เอ็งน่าจะเรียนวิทยาศาสตร์ (เพราะหัวดี หรืออะไรก็ตามแต่) วิชาเลขก็ติดสอยห้อยตามมาด้วย แล้วความซวยก็บังเกิดขึ้นตอนนี้ ในบ้านเมืองที่ยังไม่ค่อยเปิดกว้างเรื่องการเลือก หรือการ “ยอมให้ถอยเพื่อลองใหม่” ใครสักกี่คนกันเชียวที่จะกล้าถอย ก็ต้องจำใจเรียนไปอย่างนั้น จนกว่าจะจบ และตั้งความหวังอยู่ไกลลิบๆว่า “จบแล้วคงไม่ต้องเจอมันอีก”

ผมเถียงแทนคนพวกนี้มาตลอดเวลาที่ต้องหารือปัญหาโลกแตกชนิดนี้กับคนที่ไม่ค่อยเห็นด้วย เรื่องย่อๆมีใจความว่ามีเพื่อนผมหลายคนไม่เห็นด้วยกับการ “ติวเพื่อน” ที่ไม่ค่อยพยายามเรียนด้วยตนเองในมหาวิทยาลัย เหตุผลของเพื่อนเหล่านั้นก็คือ “ถ้าคุณไม่พยายามก่อน จะให้เรามาคอยป้อนคุณได้ตลอดเวลายังไงไหว”

ผมคิดอีกแบบหนึ่ง คือมองว่าทำไมบางคนถึงไม่พยายามเรียน ทั้งๆที่เข้ามหาวิทยาลัยได้แล้วด้วย คำตอบก็เหมือนกับตอน ม.ปลายเป๊ะๆคือ เขาไม่ได้เข้ามาเพื่อเรียน เขาเข้ามาเอาวุฒิ ป.ตรีต่างหาก เรียนจบแล้วก็อาจจะกลับไปทำงานที่บ้าน หรือเป็นพนักงานบริษัทอะไรสักอย่างที่ไม่ต้องใช้ความรู้ที่เรียนมา

หรือแม้แต่ผมเองที่เข้าไปเพื่อเรียนคณิตศาสตร์ พอมีใครบางคนที่ชี้นิ้วสั่งว่าผมต้องเรียนชีวะด้วย ผมก็ไม่เคยตั้งใจเรียนชีวะเลย รออยู่ว่าเมื่อไหร่จะมีเพื่อนติวให้เหมือนกัน คิดกลับกันแบบตรงไปตรงมาว่า คนที่จะเลือกเรียนชีวะ มีสักกี่คนที่จะตั้งใจอ่านแคลคูลัส ซึ่งตรงนี้น่าจะเป็นหน้าที่ของใครบางคนที่จะต้องเปิดพื้นที่ติวให้เขาเหมือนกัน

และที่โดนใจที่สุดคือ…

ในเมื่อคณิตศาสตร์ (หรือวิชาอะไรก็ตาม) มันสามารถย่อยให้ง่ายก่อนได้ จะมีความจำเป็นอะไรที่คนไม่อยากเรียนจะต้องมานั่งย่อยของยากๆด้วยตนเอง

ซึ่งมันน่าจะต้องเป็นหน้าที่ผม (หรือใครสักคน) ที่จะควรจะต้อง ”ช่วยย่อย” ให้คนเหล่านั้นกินคณิตศาสตร์ไปได้จนตลอดรอดฝั่ง นานเท่าที่เขาจำเป็นจะต้องเจอมัน หรือจนกว่าใครจะตายกันไปข้างนึง…

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์

Tagged with:

ทำไมต้องเรียนเลข

แคลคูลัส – ตอนที่ 5: อนุพันธ์อันดับสูง และค่าต่ำสุด-สูงสุด

อนุพันธ์อันดับสูง :: ดิฟซ้ำหลายๆครั้ง

การหาอนุพันธ์คือการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ซึ่งอาจเป็นค่าคงที่หรือมีการเปลี่ยนแปลงก็ได้ ถ้าหาอนุพันธ์ซ้ำอีกครั้งจากอัตราที่ว่านี้ เราจะได้อัตราของอัตรา ซึ่งคือตัวเลขที่บอกว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันมีการเปลี่ยนแปลงอย่างไร (อัตราเพิ่มขึ้น หรืออัตราลดลง)

อนุพันธ์อันดับสูงไปโผล่อยู่ในฟิสิกส์ตั้งแต่เรายังไม่รู้จักแคลคูลัสเลยด้วยซ้ำ ในเรื่องการเคลื่อนที่แนวตรงซึ่งมีปริมาณ 3 อย่างที่เกี่ยวกับการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุ เรียกว่า ระยะทาง อัตราเร็ว และอัตราเร่ง (ถ้าเป็นเวกเตอร์ก็เปลี่ยนเป็น การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง) ด้วยความหมายทางฟิสิกส์ อัตราเร็วคือ “อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทาง” และอัตราเร่งคือ “อัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราเร็ว” อีกทีนึง ถ้าคุยกันด้วยภาษาแคลคูลัสก็จะบอกว่า ดิฟระยะทางได้อัตราเร็ว และนำอัตราเร็วมาดิฟอีกทีจะได้อัตราเร่ง (แปลว่าถูกดิฟสองครั้ง) อัตราเร่งนี่แหละที่เราเรียกว่าอนุพันธ์อันดับสูง

อัตราเร่งเรียกว่าเป็น “อนุพันธ์อันดับสอง” ของระยะทาง คือได้จากการหาอนุพันธ์ของระยะทางซะสองครั้ง ที่จริงเราสามารถหาอนุพันธ์อันดับสูงแค่ไหนก็ได้ ซึ่งทำได้โดยการดิฟซ้ำลงในฟังก์ชันนั้นไปเรื่อยๆจนได้อันดับที่พอใจ

กลับมาดูผลของอนุพันธ์อันดับสูงที่เกี่ยวกับเราเวลานั่งรถยนต์กันบ้าง เผื่อจะช่วยให้เห็นภาพของอนุพันธ์อันดับสูงได้มากขึ้น

ขณะที่เรานั่งอยู่บนรถ ถ้าระยะทางคงที่แปลว่า “รถไม่ได้เคลื่อนไปไหน” แปลว่าอัตราเร็วเป็น 0

ถ้ารถวิ่งด้วยอัตราเร็วคงที่ (อนุพันธ์อันดับหนึ่ง) แปลว่าคนขับไม่ได้เหยียบคันเร่ง แต่ปล่อยให้รถเคลื่อนไปด้วยความเฉื่อย เราก็จะนั่งหลังตรงสบายๆ ไม่ได้รู้สึกหัวทิ่ม หรือโดนยันไปให้หลังติดเบาะแต่อย่างใด

ถ้าคนขับเริ่มเหยียบคันเร่ง แปลว่ารถเริ่มมีอัตราเร่ง (อนุพันธ์อันดับสอง) เราจะรู้สึกเหมือนมีอะไรมากดให้หลังติดกับเบาะนั่ง ขณะที่คนขับกำลังเร่งเครื่องอย่างสม่ำเสมอ เราจะโดนกดด้วยแรงคงที่

แต่ถ้าคนขับเกิดอยากแว้นขึ้นมา ค่อยเหยียบคันเร่งจมลึกลงไปเรื่อยๆ ขณะที่ค่อยๆเหยียบคันเร่งให้รถแรงขึ้น เราก็จะโดนกดด้วยแรงมากขึ้นเรื่อยๆ แบบนี้เรียกว่ามีการเปลี่ยนแปลงความเร่ง (อนุพันธ์อันดับสาม) หรือขณะที่เร่งอยู่ดีๆแล้วมีหมาวิ่งตัดหน้ารถ คนขับก็เบรกกระทันหัน ก็มีการเปลี่ยนแปลงความเร่งอีกเหมือนกัน แต่ในทิศทางตรงข้าม

การหาค่าสูงสุด ต่ำสุด

ทั้งอนุพันธ์ และอนุพันธ์อันดับสูงมีความหมายบางอย่างที่เกี่ยวกับกราฟของฟังก์ชัน ซึ่งช่วยให้เรารู้รูปพรรณสัณฐานของกราฟฟังก์ชันนั้นๆได้คร่าวๆโดยไม่ต้องลงมือวาดจุดเรียงต่อกัน

อนุพันธ์เป็นค่าที่บอกความชันของกราฟ ตัวเลขเป็นบวกแปลว่ากราฟเอียงขึ้น ถ้าเป็นศูนย์แปลว่ากราฟไม่ชัน (คือราบไปตามแนวนอน) ตัวเลขติดลบแปลว่ากราฟเอียงลง

อนุพันธ์อันดับสองเป็นค่าที่บอก “อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน” อีกทีหนึ่ง ถ้าเป็นบวกแปลว่า “กราฟกำลังชันมากขึ้น” คำว่าชันมากขึ้นไม่จำเป็นต้องแปลว่าความชันเป็นบวก แต่หมายถึงมีการเปลี่ยนแปลงไปเป็นค่าที่มากขึ้น เช่น จากเดิมติดลบมากก็กลายเป็นติดลบน้อยลง (ชันลงมากๆ กลายเป็นชันลงน้อยๆ) หรือจากเดิมไม่ชันเลยกลายเป็นความชันบวก หรือจากที่ชันน้อยกลายเป็นชันมากก็ได้ กราฟที่กำลังชันมากขึ้นจะมีลักษณะ “งอนขึ้น” คล้ายๆกระทะหงาย

ถ้าอนุพันธ์อันดับสองติดลบ แปลว่า “กราฟกำลังชันน้อยลง” ก็จะมีความหมายตรงข้ามกับแบบแรก ซึ่งจะมีลักษณะ “งุ้มลง” เหมือนกระทะคว่ำ

ถ้าเราจอดรถไว้บนสะพานตรงจุดสูงสุดพอดี ปลดเกียร์ว่างให้รถไหลได้ถ้ามีใครไปเลื่อนมัน เราจะพบว่าถ้ามีใครออกแรงผลักให้รถเคลื่อนไปข้างหน้าหรือถอยหลังอีกนิดเดียว รถจะไหลลงสะพานทันที ถ้าเราลองวัดความชันของสะพานก่อนที่จะถึงจุดสูงสุด จะได้ค่าเป็นบวก (เพราะต้องวิ่งขึ้นมาถึงจุดนี้) และหลังจากผ่านจุดสูงสุดไปความชันจะติดลบ (เพระต้องวิ่งลง) ข้อสังเกตนี้สรุปได้ว่า จุดไหนที่จะสูงที่สุดได้ ก่อนถึงจุดนั้นความชันต้องเป็นบวก และหลังจากจุดนั้นความชันต้องติดลบ กลับกันจุดที่จะต่ำที่สุดก็ต้องอยู่ระหว่างจุดรอบๆที่มีความชันเป็นลบและเปลี่ยนเป็นบวก

จุดสูงสุดหรือต่ำสุด คือจุดที่ความชันเปลี่ยนจากบวกเป็นลบ หรือเปลี่ยนจากลบเป็นบวก ด้วยความเข้าใจง่ายๆก็อาจจะสรุปว่ามันต้องมีความชันเป็น 0 ก็ได้ ซึ่งถูก… แต่ไม่ได้ถูกทุกกรณี

ตัวอย่างเช่นบนภูเขาที่มียอดแหลม ไม่ได้เป็นที่ราบเหมือนบนสะพาน เราจะพบว่าเราจอดรถไม่ได้ตั้งแต่แรกด้วยซ้ำ เพราะความชันที่จุดนั้นไม่ได้เป็น 0 อันที่จริงจุดเหล่านั้น “หาความชันไม่ได้” เพราะทางซ้ายก็มีความชันค่าหนึ่ง ทางขวาก็มีอีกค่าหนึ่งซึ่งไม่เท่ากัน จึงไม่มีลิมิต ทำให้ไม่มีอนุพันธ์

หมวดหมู่:

Tagged with:

แคลคูลัส – ตอนที่ 4: กฎลูกโซ่

กฎลูกโซ่

เราสามารถสร้างฟังก์ชันจากการนำสองฟังก์ชันมาซ้อนกันได้ การซ้อนไม่ได้แปลว่าวางทับกัน แต่เป็นการ “ยัดไส้” นำฟังก์ชันหนึ่งไปใส่ไว้ในอีกตัวหนึ่ง เรียกว่า “ฟังก์ชันประกอบ” หรือ Composite Function ตัวอย่างฟังก์ชันประกอบเช่น $f(x) = {(2x - 1)^5}$ เราสามารถแยกได้ว่ามีการดำเนินการสองขั้นตอน คือ 2x-1 กับ ยกกำลัง 5

ถ้าจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ วิธีตรงๆคือการกระจายกำลัง 5 ออกมาเป็นพนุนามตัวโตๆก่อน แล้วหาอนุพันธ์ไล่เรียงกันไปทีละพจน์ แค่คิดว่าจะกระจายกำลัง 5 ก็เสียเวลามากแล้ว ถ้าหัวใสขึ้นมาอีกนิดนึงก็สามารถแยกกำลัง 5 เป็นกำลัง 2 และ 3 คูณกันอยู่ แล้วใช้สูตรดิฟผลคูณเข้ามาช่วยจัดการก็ได้เหมือนกัน

วิธีที่เร็วที่สุด สามารถทำได้โดยไม่ต้องคูณกระจายกันแม้แต่น้อย เรียกว่า “กฎลูกโซ่” เพราะถ้ามีฟังก์ชันซ้อนกันหลายๆชั้น เวลาหาอนุพันธ์ด้วยวิธีนี้จะออกมาเป็นหลายๆพจน์คูณต่อหางยาวไปเรื่อยๆคล้ายๆโซ่

หลักการของกฎลูกโซ่คือ ต้องแยกให้ออกว่าฟังก์ชันที่ซ้อนกันอยู่นั้น ฟังก์ชันอะไรอยู่ข้างใน อะไรอยู่ข้างนอก ฟังก์ชันที่อยู่ข้างนอกจะถูกดิฟก่อน โดยยังไม่ต้องทำอะไรกับไส้ใน แล้วพจน์ถัดไปค่อยนำไส้ในมาดิฟบ้าง แล้วคูณต่อกันไป

สำหรับ $f(x) = {(2x - 1)^5}$ จะเห็นว่า 2x – 1 เป็นชั้นใน แปลว่ากระทำกับ x เป็นอันดับแรก เสร็จแล้วจึงเอามายกกำลัง 5 ซึ่งกระทำทีหลัง เรียกว่าชั้นนอก การดิฟชั้นนอกก่อนโดยยังไม่ต้องทำอะไรกับใส่ในแปลว่าเราดิฟ “ยกกำลัง 5” ดื้อๆเลยแล้วคงรูปฟังก์ชันที่อยู่ข้างในไว้อย่างเดิม กลายเป็น

$5{(2x - 1)^4}$

ขั้นต่อไปคือทำการ “ดิฟไส้” ซึ่งคือ 2x-1 ได้ผลลัพธ์เป็น 2 นำมาคูณต่อข้างท้ายกลายเป็น

$5{(2x - 1)^4}(2)$

คูณกันให้เสร็จเรียบร้อยจะได้ $10{(2x - 1)^4}$ เป็นผลลัพธ์ของการหาอนุพันธ์ โดยไม่ต้องคูณกระจายฟังก์ชันให้ยืดยาว

ลองอีกวิธีหนึ่ง เผื่อจะเข้าใจง่ายขึ้น

วิธีนี้เรียกว่าการเปลี่ยนตัวแปร (คุ้นๆไหม) โดยสมมุติให้พจน์ที่อยู่ข้างในเรียกว่า “บึ๋ย” จะได้ว่าทั้งฟังก์ชันของเรากลายเป็น “บึ๋ยกำลัง 5” ซึ่งดิฟแล้วจะได้ “5 บึ๋ยกำลัง 4” ตามสูตรที่เรามีอยู่ แต่งานยังไม่จบเพราะบึ๋ยคือ 2x-1 ดังนั้น จึงต้องนำอัตราการเปลี่ยนแปลงของบึ๋ยเมื่อเทียบกับ x (ซึ่งเท่ากับ 2) มาคูณโปะไว้ข้างท้าย ถึงจะได้อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันทั้งหมดเทียบกับ x

ดิฟอะไรใหญ่ๆดูบ้าง

อ่านมาถึงหน้านี้ เราจะพบว่ามีสูตรการหาอนุพันธ์เต็มไปหมด ถ้าถามว่า “แค่นี้หมดหรือยัง” ก็จะต้องตอบว่า “ยัง” แต่ข่าวดีก็คือ ที่มีอยู่เท่านี้พอใช้งานสำหรับการหาอนุพันธ์เกี่ยวกับฟังก์ชันพหุนาม รวมทั้งที่ติดรากต่างๆ และเลขยกกำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มด้วย สูตรทั้งหมดที่ผ่านมาเป็นการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเล็กๆที่มีพจน์เดียว (ภาษาคณิตศาสตร์เรียกว่าเอกนาม) ในขณะที่ฟังก์ชันจริงๆสามารถมีพจน์เยอะๆ นำมาต่อกันด้วยวิธีต่างๆทั้งบวก ลบ คูณ หาร เราใช้เครื่องมือที่มีอยู่แล้วมาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ใหญ่ขึ้นเหล่านี้ได้หมดเลย

พหุนามสร้างขึ้นจากเอกนามหลายๆตัวมาบวกลบกัน โชคดีที่การดิฟคือลิมิต ซึ่งกระจายเข้าไปในเครื่องหมายบวกลบได้ และดึงค่าคงที่ออกมาได้ การดิฟจึงมีคุณสมบัติเดียวกันนี้ติดมาด้วย เมื่อไหร่ที่ฟังก์ชันมีหลายพจน์บวกลบกันอยู่ หรือมีค่าคงที่คูณอยู่ เราสามารถกระจายดิฟเข้าไปได้ทันที แปลว่าดิฟทีละก้อนแล้วค่อยมาบวกลบกันทีหลังก็จะได้ค่าที่ถูกต้องเหมือนกัน

หมวดหมู่:

Tagged with:

แคลคูลัส – ตอนที่ 3: อนุพันธ์

อนุพันธ์ :: ว่าด้วยลิมิต

แคลคูลัสเป็นวิชาอเนกประสงค์ เอาไปใช้กับอะไรก็ได้ ไม่เฉพาะหาอัตราเร็วหรืออัตราการเจริญเติบโต การคำนวณทางแคลคูลัสต้องการวัตถุดิบที่เป็น “ฟังก์ชันต่อเนื่อง” แปลว่าเป็นปริมาณอะไรก็ตามที่มีการเปลี่ยนแปลง และเป็นการเปลี่ยนแปลงแบบค่อยเป็นค่อยไป มีความต่อเนื่อง ไม่กระโดดเป็นขั้นๆ สามารถนำมาคำนวณเพื่อหาอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดจุดหนึ่งได้ทั้งนั้น

จากความหมายทางเรขาคณิต เรานิยามอนุพันธ์ว่าเป็น “ลิมิต” ของความชันกราฟรอบๆจุดจุดหนึ่ง สมมุติว่าต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่จุด x เราจะสร้างสูตรของอนุพันธ์โดยใช้ความชันกราฟดังนี้

จุดที่อยู่รอบๆจุด x หาได้โดยขยับไปข้างๆ x เป็นระยะ h ซึ่งมีค่าน้อยๆทางซ้ายหรือทางขวาก็ได้ จะได้จุดใหม่คือ x+h

ค่าของฟังก์ชันที่ตำแหน่ง x คือ f(x) และค่าของฟังก์ชันที่เปลี่ยนไปเมื่อเลื่อนจุดคือ f(x+h)

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยหาได้จากความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (x, f(x)), และ (x+h, f(x+h))

อัตราการเปลี่ยนแปลง (เฉลี่ย) = $\frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}$

อนุพันธ์ที่จุด x (เขียนว่า f’(x) หรือ $\frac{{dy}}{{dx}}$ เมื่อ y = f(x)) หาได้จากอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ว่านี้เมื่อบีบให้ h แคบลงๆเรื่อยๆจนกลายเป็น 0 จะได้ว่า

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}$

ค่าของ f’(x) ก็จะเป็นความชันกราฟของฟังก์ชัน f ที่จุด x จุดเดียว ไม่ใช่ความชันเฉลี่ยอีกต่อไป เพราะจุด x กับ x+h นั้นเลื่อนมาอยู่ติดกันแล้ว ถ้ามีฟังก์ชันความสูงของต้นไม้เมื่อเทียบกับเวลามาให้ เราก็สามารถหาได้ว่าตอนเที่ยงวันที่ 3 พอดีเป๊ะ ต้นไม้มีอัตราการเจริญเติบโตเท่าไหร่

อนุพันธ์ :: สูตร

ถ้ายกตัวอย่างฟังก์ชันมาสักตัวหนึ่งคือ $f(x) = {x^2}$ การหาอนุพันธ์ที่จุด x สักค่าหนึ่งเช่น x = 1 ทำได้โดยใช้นิยาม โดยการแทนค่า x และฟังก์ชันลงไปในสูตร

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}$

เราจะได้

$f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{(1 + h)}^2} - {1^2}}}{h}$

เมื่อกระจายกำลังสองและจัดการลบกันให้เสร็จเรียบร้อยจะกลายเป็น

$f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2h + {h^2}}}{h}$

จากเรื่องลิมิต การหาลิมิตที่ $h \to 0$ แปลว่าในขณะนั้น h ไม่เท่ากับ 0 แค่มีค่าอยู่รอบๆจุด 0 และในเมื่อมันไม่เท่ากับ 0 จึงสามารถใช้เป็นตัวหารได้ และถ้ามีเศษและส่วนที่หน้าตาเหมือนกัน ก็เอาไปตัดกันได้ จากบรรทัดบน เราจึงใช้ h ตัดกันจนเกือบหมด เหลือแค่

$f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2 + h = 2$

ก็จะได้ว่าลิมิตมีค่าเท่ากับ 2 แปลตามความหมายของอนุพันธ์ได้ว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน $f(x) = {x^2}$ ที่ตำแหน่ง x เป็น 1 นั้นมีค่าเท่ากับ 2 ส่วนความหมายแบบเรขาคณิตจะบอกว่า ความชันของกราฟ $y = {x^2}$ ที่จุด x = 1 มีค่า 2 หน่วย แต่เป็นความชันกราฟที่ผ่านจุด x = 1 จุดเดียว ไม่ใช่สองจุดแบบที่เคยทำกันในวิชาเรขาคณิต

ถ้าลองทำตามกระบวนการข้างบนอีกครั้ง คราวนี้ไม่ได้แทนตัวเลข 1 ลงไป แต่ติดไว้เป็นตัว x อย่างนั้น เราจะพบว่า

$f'(x) = 2x$

แปลว่าความชันของกราฟ $y = {x^2}$

การหาอนุพันธ์สามารถใช้นิยาม (สูตรของ f’(x)) ทุกครั้งก็ได้ แต่ไม่ค่อยมีใครขยันคำนวณกัน เพราะต้องมานั่งหาลิมิตซึ่งเป็นเรื่องยุ่งพอสมควร วิธีที่ง่ายกว่าคือ คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ใช้บ่อยๆเก็บไว้ พอเจอที่ไหนอีกก็ใช้ค่าที่คำนวณไว้แล้วได้เลย

ฟังก์ชันค่าคงที่ อนุพันธ์ = 0 เพราะชื่อก็บอกอยู่แล้วว่าเป็นค่าคงที่ ไม่มีการเปลี่ยนแปลง

$\frac{{d(c)}}{{dx}} = 0$ เมื่อ c เป็นค่าคงที่

ฟังก์ชันเส้นตรง อนุพันธ์ = ความชันของเส้นตรง และมีค่าสม่ำเสมอเท่ากันทุกๆที่ เพราะเส้นตรงมีความชันเท่ากันทั้งเส้น

$\frac{{d(kx)}}{{dx}} = k$ เมื่อ k เป็นค่าคงที่

ฟังก์ชันอื่นๆที่ไม่ใช่ค่าคงที่หรือเส้นตรง อนุพันธ์จะเปลี่ยนไปเรื่อยๆขึ้นอยู่กับค่า x ไม่ได้เป็นตัวเลขเดี่ยวๆเหมือนสองชนิดแรก

ฟังก์ชันเอกนาม อนุพันธ์ = เลขชี้กำลังเดิม คูณกับฟังก์ชันเดิมที่ลงเลขชี้กำลังลงมาหนึ่ง

$\frac{{d({x^n})}}{{dx}} = n{x^{n - 1}}$

ถ้ามีหลายฟังก์ชันมาบวกลบกัน อนุพันธ์สามารถกระจายเข้าไปในการบวกลบนั้นได้ หรือถ้ามีค่าคงที่คูณอยู่กับฟังก์ชันอะไร ก็ดึงค่าคงที่นั้นออกมาก่อนที่จะหาอนุพันธ์ก็ได้ แต่ถ้าเป็นฟังก์ชันที่คูณหรือหารกันจะกระจายตรงๆไม่ได้ ต้องทำตามสูตรคำนวณของมัน

$\frac{{d(f(x) \pm g(x))}}{{dx}} = \frac{{d(f(x))}}{{dx}} \pm \frac{{d(g(x))}}{{dx}}$

$\frac{{d(kf(x))}}{{dx}} = k\frac{{d(f(x))}}{{dx}}$

เพื่อความกะทัดรัด ขอเขียนอนุพันธ์ด้วยเครื่องหมาย ‘ ก็แล้วกัน

$(f(x) \cdot g(x))' = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$

เราท่องกันว่า ดิฟผลคูณเท่ากับ หน้าดิฟหลังบวกหลังดิฟหน้า

$\left( {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right)' = \frac{{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}}{{{g^2}(x)}}$

เราท่องว่า ดิฟผลหารเท่ากับ ล่างดิฟบน ลบบนดิฟล่าง ส่วนล่างกำลังสอง

สูตรทั้งหมดที่ให้มานี้ครอบคลุมการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันพหุนามทุกแบบ และการคูณหารพหุนามเท่าที่จะเป็นไปได้ ที่จริงฟังก์ชันทุกชนิดที่เราเคยเรียนมา (expo, log, sin, cos, tan ฯลฯ) สามารถหาอนุพันธ์ได้หมดเลย ซึ่งก็จะมีสูตรคำนวณต่างกันไป แต่ในชั้นม.ปลาย แค่ฟังก์ชันพหุนามอย่างเดียวก็เยอะแล้ว จึงไม่มีฟังก์ชันอื่นโผล่มาให้เห็น

หมวดหมู่:

Tagged with:

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 3: เส้นตรง

พฤศจิกายน 14, 2011

เส้นตรง ในฐานะเซตของจุด

อาจจะฟังดูแย่หน่อยที่นักคณิตศาสตร์ก็ “จนปัญญา” เหมือนกันที่จะหาคำมาอธิบายว่า “เส้นตรง” คืออะไร มันเป็นอย่างนั้นจริงๆ เราอาจจะคิดถึงคำอธิบายประมาณว่า “เซตของจุดที่เรียงตัวอยู่ในแนวเดียวกัน” …ซึ่งถ้าจะทำอย่างนั้นก็จะต้องรู้ก่อนว่า “แนวเดียวกัน” แปลว่าอะไร ทำไปทำมาเราก็เลี่ยงไม่ได้ที่จะต้องกลับมาใช้คำว่า “ตรง” คือวนกลับมาที่เดิม การพยายามอธิบายของพวกนี้จึงไม่ค่อยเกิดประโยชน์อะไร นอกจากทำให้เรื่องยืดยาวโดยใช่เหตุ … วิธีแก้ปัญหาแบบสั้นๆถูกนำมาใช้อีกครั้ง คือการสรุปว่า “ทุกคนรู้จักเส้นตรง ดังนั้นเราจะไม่ให้ความหมายมัน”

เรขาคณิตวิเคราะห์มีทางออกที่ง่ายกว่าอีกแล้ว โดยการบอกว่า …เราไม่ต้องรู้หรอกว่าเส้นตรง “คืออะไร” รู้แค่ว่าเส้นตรงมัน “หน้าตาเป็นยังไง“ ก็พอ

เส้นตรงหน้าตาเป็น “ความสัมพันธ์” บนเซตของจำนวนจริง (แปลว่าคือคู่อันดับ (x,y) ของจำนวนจริง แปลอีกทีว่าเป็น “เซตของจุด”) ซึ่งจุด (x,y) เหล่านั้นสอดคล้องกับสมการ

Ax + By + C = 0

โดยที่ A, B, C เป็นจำนวนจริง (คำว่าสอดคล้องกับสมการ แปลว่าแทนลงในสมการแล้วเป็นจริง)

เวลาสร้างรูปทั่วๆไปจากสมการ เราจะทำทีละจุด คือกำหนดค่า x เป็นตัวเลขอะไรก็ได้ตามใจชอบ แล้วแก้สมการหาค่า y ออกมา ก็จะได้พิกัดของจุด (x,y) ออกมาหนึ่งจุด เอาไปจิ้มลงในตำแหน่งนั้นๆบนแกนพิกัดฉาก ถ้าทำหลายๆครั้ง จุดก็เรียงตัวกันเป็นรูปบางอย่างออกมา

การวาดเส้นตรงไม่ต้องใช้พลังเยอะขนาดนั้น เพราะเรารู้ว่าจุดสองจุดสามารถมีเส้นตรงผ่านได้เส้นเดียว ถ้าแก้สมการเพื่อหาจุดออกมาให้ได้สักสองจุดก็เพียงพอที่จะวาดเส้นตรง เพราะแค่เอาไม้บรรทัดมาทาบให้ผ่านจุดทั้งสองแล้วลากเส้น ก็จะได้เส้นตรงแล้ว

ความชัน

เส้นตรงในเรขาคณิตวิเคราะห์มีสมบัติบางอย่างเพิ่มเข้ามาเรียกว่า “ความชัน”

ความชันเป็นตัวเลขที่จะบอกเราได้ว่า ถ้าต้องการไต่ขึ้น(หรือลง)ไปตามเส้นตรงนี้ จะใช้ความพยายามมากน้อยขนาดไหน ถึงนึกไม่ออกให้คิดถึงเวลาขึ้นบันได ถ้าการก้าวแต่ละครั้งต้องยกขาสูง เราจะบอกว่าบันไดนี้ชันมาก แต่ถ้าต้องก้าวไปข้างหน้ายาวๆ กว่าที่บันไดจะยกตัวขึ้นหนึ่งขั้น เราก็จะบอกว่าบันไดมันไม่ค่อยชันเท่าไหร่ ยิ่งถึงเดินบนพื้นราบ ก็จะบอกว่ามัน “ไม่ชันเลย”

ความชันของเส้นตรงในทางเรขาคณิตนั้นนิยามเลียนแบบความหมายที่เราใช้กันอยู่ในชีวิตประจำวัน ถ้าสมมุติว่าเส้นตรงคือบันได ความชันคืออัตราส่วนระหว่างความสูงที่ต้องยกขาขี้นบันไดหนึ่งก้าว หารด้วยความยาวที่เราต้องยืดขาไปข้างหน้าเพื่อขึ้นบันไดขั้นนั้น

ถ้าเป็นเส้นตรงบนแกนพิกัดฉาก การหาความชันทำได้โดยสร้าง “สามเหลี่ยมมุมฉาก” ขึ้นมาก่อน โดยใช้เส้นตรงที่มีเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก จากนั้นความยาวด้านประกอบมุมฉากตามแนวนอนจะเรียกว่า $\Delta x$ และความยาวในแนวตั้งจะเรียกว่า $\Delta y$ ซึ่งหมายถึงค่า x และค่า y ที่เปลี่ยนไปเวลาเดินก้าวขึ้นบันไดเอียงๆนี้ เมื่อนำ $\Delta y$ และ $\Delta x$ มาหารกันก็จะได้สิ่งที่เรียกว่าความชันของเส้นตรง

หมวดหมู่:

Tagged with:

แคลคูลัส – ตอนที่ 2: อัตราการเปลี่ยนแปลง

อัตราการเปลี่ยนแปลงที่ “จุดเดียว”

ถ้าเรามีกราฟแสดงการเจริญเติบโตของต้นไม้ เป็นกราฟที่บอกความสูงของต้นไม้ ณ เวลาต่างๆ ต้นไม้หนึ่งต้นมีความสูงค่าเดียว ณ เวลาหนึ่งๆ ความสูงของต้นไม้จึงเป็นฟังก์ชัน มีอินพุตเป็นเวลา และให้ค่าความสูงออกมา

เมื่อวาดกราฟฟังก์ชันความสูงของต้นไม้ จิ้มจุดมาสองจุดบนเส้นโค้งของกราฟ แล้วลากเส้นตรงเชื่อมระหว่างกัน เราจะได้เส้นเอียงๆ (หรืออาจจะไม่เอียงก็ได้) มาเส้นหนึ่ง ความชันของเส้นตรงเส้นนั้นเรียกว่าอัตราการเจริญเติบโตของต้นไม้ เพราะได้จากการเอาค่าของ “การเจริญเติบโต” (ความสูงที่เพิ่มขึ้น) หารด้วยเวลาที่เปลี่ยนไป

การหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณอย่างอื่นๆนอกเหนือจากการเติบโตของต้นไม้ ถ้าใช้เรขาคณิตเป็นเครื่องมือ เราจะต้องมีจุดสองจุดที่อยู่บนกราฟของฟังก์ชัน ลากเส้นเชื่อมเข้าด้วยกันเพื่อหาความชัน แล้วความชันของเส้นนั้นจะคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย

ถ้าเมื่อไหร่เกิดอยากหาอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง คือลงไปดูที่เวลาค่าใดค่าหนึ่งเป๊ะๆ ไม่เอาค่าเฉลี่ยบนช่วงเวลา เราจะเกิดปัญหากับเรขาคณิตทันที เพราะมีเวลาและค่าของฟังก์ชันแค่จุดเดียว ยังไงก็ไม่สามารถหาอัตราการเปลี่ยนแปลงได้ ถ้าจะเข้าสูตรความชันของเส้นตรงก็จะมีปัญหาว่า “ตัวหารเป็นศูนย์”

ถึงตรงนี้ลิมิตเข้ามาช่วยเราไว้ ในเรื่องลิมิตเราพูดได้ว่า “จุดเดียว” นั้นคือลิมิตของการที่สองจุดเคลื่อนเข้ามาใกล้กัน ความชันของกราฟที่จุดจุดเดียว ถึงเรขาคณิตจะหาไม่ได้ แต่เรานิยามให้มันคือลิมิตของความชันระหว่างสองจุดรอบๆบริเวณที่เราต้องการได้

เมื่อมีสองจุดในตอนแรกก็หาความชันกราฟได้ปกติ เมื่อสองจุดค่อยๆเคลื่อนเข้ามาหากัน ความชันกราฟก็จะเป็นค่าที่คำนวณบนช่วงเล็กลงเรื่อยๆ จนเมื่อสองจุดทับกัน ความชันก็จะหายไปเพราะไม่สามารถคำนวณตรงๆได้ แต่เราจะนิยามมันขึ้นมาให้เท่ากับค่าลิมิตของความชันที่คำนวณจากช่วงแคบๆรอบๆจุดนั้น พร้อมกับตั้งชื่อให้มันใหม่ว่า “อนุพันธ์”

ผลพลอยได้จากการทำแบบนี้ก็คือ เราได้เส้นสัมผัสกราฟที่จุด x จากเดิมที่การวัดความชันต้องสร้าง 2 จุดที่อยู่ห่างกันแล้วลากเส้นตรงเชื่อมสองจุดนั้น ถ้ากราฟเป็นเส้นโค้ง ความชันกับเส้นกราฟจะตัดกัน (ไม่สัมผัสกัน) แต่เมื่อลากสองจุดให้มาอยู่ติดกัน จุดที่คำนวณความชันของกราฟจะแตะกับเส้นสัมผัสพอดี ความชันของกราฟ ณ ตำแหน่งนั้น จะเท่ากับความชันของเส้นสัมผัสกราฟ และมีค่าเท่ากับอนุพันธ์ที่เรากำลังคำนวณอยู่

ตอนนี้เรามีหลายคำที่ความหมายเหมือนกัน ได้แก่ ความชันของกราฟ ณ จุดจุดหนึ่ง, ความชันของเส้นสัมผัสกราฟ, อนุพันธ์, และอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง … คำว่าความชันเป็นความหมายในเชิงเรขาคณิต ส่วนอัตราการเปลี่ยนแปลงนั้นเป็นคำทั่วๆไป คำว่าอนุพันธ์เป็นชื่อที่หมายถึงสิ่งเหล่านี้ทั้งหมด ซึ่งใช้เวลาที่ยุ่งเกี่ยวกับฟังก์ชัน จะได้ไม่ต้องเรียกด้วยคำยาวๆ

หมวดหมู่: