ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

Archive for the ‘แคลคูลัส’ Category

แคลคูลัส – ตอนที่ 6: อินทิเกรต

แอนไทเดริเวทีฟ = ปฏิยานุพันธ์ = ปริพันธ์ = อินทิเกรต

มีคำถามเกิดขึ้นว่า ถ้ามีฟังก์ชันที่ผ่านการดิฟมาให้แล้ว จะรู้ได้ยังไงว่ามันถูกดิฟมาจากอะไร

คำถามนี้ตอบได้ง่ายๆ เพราะการดิฟนั้นเป็นสูตรสำเร็จ ถ้าดูออกว่าการดิฟแต่ละครั้งมันทำอะไรกับฟังก์ชันของเราบ้าง หากจะย้อนกลับไปหาต้นตอก่อนที่จะถูกดิฟ ก็จะได้สูตรสำเร็จที่บอกว่าฟังก์ชันนี้ถูกดิฟมาจากอะไร นักคณิตศาสตร์ตั้งชื่อให้มันว่า Antiderivative เรียกชื่อไทยว่าปฏิยานุพันธ์ (ปฏิ+อนุพันธ์) ซึ่งก็คือการย้อนกระบวนการหาอนุพันธ์

การหาปฏิยานุพันธ์ทำให้เราได้สูตรย้อนกลับของการหาอนุพันธ์ ซึ่งเป็นเรื่องบังเอิญมากที่สูตรเหล่านี้เอาไปใช้ทำอย่างอื่นได้ด้วย

อย่างอื่นที่ว่าคือการหาพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน อย่างที่บอกไว้ตอนต้นๆว่าแคลคูลัสใช้ทำสองอย่างซึ่งเรขาคณิตไม่เคยทำได้มาก่อน หนึ่งคือหาอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดจุดเดียว และใช้หาพื้นที่ของรูปร่างที่เป็นเส้นโค้งๆ ยึกยือ ไม่เป็นเหลี่ยมๆ

 

สูตรอินทิเกรต :: ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

ในการดิฟฟังก์ชันพหุนาม เราพบว่าเลขชี้กำลังของฟังก์ชันจะลดลงหนึ่งค่า และสัมประสิทธิ์จะถูกคูณเพิ่มเข้าไปด้วยเลขชี้กำลังนั้น การทำย้อนกลับก็ง่ายนิดเดียว ถ้ามีฟังก์ชันมาให้แล้วถามว่าฟังก์ชันนี้ดิฟมาจากอะไร ก็ทำได้โดย

–          เพิ่มเลขชี้กำลังเข้าไปอีกหนึ่ง

–          หารสัมประสิทธิ์หน้าพจน์นั้นออกเท่ากับเลขชี้กำลังที่บวกหนึ่งเข้าไปแล้ว

เช่นถ้าฟังก์ชันคือ 4{x^3} ถามว่าฟังก์ชันนี้ถูกดิฟมาจากอะไร ก็เพิ่มเลขชี้กำลังจาก 3 เป็น 4 และหารทั้งพจน์ด้วยเลขชี้กำลังตัวใหม่นี้ คือ 4 นั่นเอง คำตอบคือ {x^4} ซึ่งแปลว่าถ้าเราดิฟ x^4 กลับคืนเราจะได้ 4{x^3}

แต่ช้าก่อน เรื่องยังไม่จบ

ข้อสังเกตก็คือถ้าเรานำค่าคงที่สองตัวที่ไม่เท่ากันไปดิฟ ผลลัพธ์ออกมาจะได้ 0 เท่ากัน หรือถ้านำฟังก์ชันหน้าตาคล้ายๆกันสองฟังก์ชัน ต่างกันตรงที่แต่ละฟังก์ชันนั้นถูกบวกด้วยค่าคงที่ซึ่งไม่เท่ากัน เมื่อนำไปดิฟออกมาแล้วคำตอบจะเท่ากันเพราะค่าคงที่นั้นจะหายไปเฉยๆ ในทางคณิตศาสตร์จะบอกว่าการดิฟนั้นแม้จะทำให้รู้ข้อมูลบางอย่างเพิ่มขึ้นมา (คือความชันของกราฟ) แต่ก็ทำให้สูญเสียข้อมูลบางอย่างที่กู้กลับคืนมาไม่ได้ ซึ่งคือข้อมูลที่บอก “ตำแหน่ง” ในแนวแกน y (ข้อมูลที่บอกว่าฟังก์ชันนี้จะอยู่สูงจากพื้นมากน้อยขนาดไหน)

ดังนั้นเวลาหาปฏิยานุพันธ์ (หรืออินทิเกรต) ย้อนกลับ เราจึงต้องถือว่าฟังก์ชันก่อนจะดิฟมานั้นอาจมีค่าคงที่บวกอยู่ด้วยเสมอ แต่เราไม่รู้ว่าตัวเลขนั้นคืออะไรถ้าไม่ได้ใบ้มาด้วยวิธีการใดเลย จึงต้องเขียนติดตัวแปรไว้ ซึ่งนิยมใช้ตัว c (ย่อมาจาก constant แปลว่าค่าคงที่)

ข้อปฏิบัติเวลาอินทิเกรตทุกครั้งก็คือ หลังจากอินทิเกรตทีละพจน์แล้ว ต้องบวกค่าคงที่ซึ่งไม่ทราบค่านี้ไว้ด้วยเสมอ เช่นตัวอย่างที่ยกขึ้นมาตอนแรก ไม่ได้มีแต่ {x^4} ตัวเดียวที่ดิฟแล้วได้ 4{x^3} แต่เพื่อนพ้องน้องพี่ที่บวกด้วยค่าคงที่ใดๆคือ {x^4} + c  ก็ดิฟแล้วได้ เท่ากัน4{x^3}

สัญลักษณ์ของการอินทิเกรตคือ \int_{}^{} {\_\_dx}  คือมีเส้นโค้งๆคล้ายๆตัว s ที่ยืดออกยาวๆ กับ dx ปิดหัวท้าย ถ้าจะอินทิเกรตฟังก์ชันอะไรก็เขียนใส่ลงไปตรงกลาง เหตุที่ต้องมี dx ปิดท้ายสัญลักษณ์นั้นมีที่มาจากการ “ล้อ” สัญลักษณ์ที่ใช้ในกระบวนการหาพื้นที่ใต้กราฟด้วยลิมิต ซึ่งจะพูดถึงในหัวข้อถัดไป

ด้วยข้อตกลงทั้งหลายแหล่ข้างบน ทำให้เราเขียน “สูตรอินทิเกรต” ออกมาเป็นชุดๆ เหมือนสูตรอนุพันธ์ได้ดังนี้

ฟังก์ชันที่มีความชันเป็นค่าคงที่ ตัวมันย่อมมีหน้าตาเป็นเส้นตรง

\int_{}^{} {kdx = kx + c}

ฟังก์ชันพหุนาม เลขชี้กำลังจะเพิ่มขึ้น และสัมประสิทธิ์จะถูกหารด้วยเลขชี้กำลังตัวใหม่

 \int_{}^{} {{x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}}

ถ้ามีค่าคงที่คูณกับฟังก์ชันหนึ่งๆอยู่ ค่าคงที่สามารถดึงออกมาได้เพื่อไม่ให้เกะกะ ก่อนจะทำการอินทิเกรต

 \int_{}^{} {kf(x)dx} =k\int_{}^{} {f(x)dx}

ถ้าฟังก์ชันนั้นมีหลายพจน์ที่บวกลบกันอยู่ ก็ใช้สูตรเหล่านี้กระจายเข้าไปจัดการได้ทีละพจน์ เหมือนกับตอนหาอนุพันธ์ไม่มีผิด

ชื่อเพราะๆในภาษาไทยของการย้อนกระบวนการอนุพันธ์ คือ “ปริพันธ์ (หรืออินทิกรัล) ไม่จำกัดเขต” คำว่าไม่จำกัดเขตนี้แปลว่าถ้าให้ฟังก์ชันที่บอกความชันของกราฟมา แล้วเราอินทิเกรตกลับคืนไป เราจะได้ฟังก์ชันดั้งเดิมเริ่มต้นซึ่งเอาไปวาดกราฟทั้งเส้นได้อย่างสมบูรณ์ ไม่ได้ถูกตัดตอนมาเฉพาะส่วนใดส่วนหนึ่ง

พอเห็นชื่อ “ไม่จำกัดเขต” แล้วก็คงจะเดาได้ว่าเดี๋ยวคงเจอแบบ “จำกัดเขต” แน่ๆเลย ซึ่งปริพันธ์จำกัดเขตนั้นไปเกี่ยวข้องกับเรื่องที่เกริ่นไว้ตอนต้นบท คือการหาพื้นที่ซึ่งถูกปิดล้อมด้วยเส้นโค้งๆ ไม่เป็นรูปเหลี่ยมๆหรือเรขาคณิตที่คุ้นเคยกัน

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, แคลคูลัส

Tagged with:

แคลคูลัส – ตอนที่ 5: อนุพันธ์อันดับสูง และค่าต่ำสุด-สูงสุด

อนุพันธ์อันดับสูง :: ดิฟซ้ำหลายๆครั้ง

การหาอนุพันธ์คือการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ซึ่งอาจเป็นค่าคงที่หรือมีการเปลี่ยนแปลงก็ได้ ถ้าหาอนุพันธ์ซ้ำอีกครั้งจากอัตราที่ว่านี้ เราจะได้อัตราของอัตรา ซึ่งคือตัวเลขที่บอกว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันมีการเปลี่ยนแปลงอย่างไร (อัตราเพิ่มขึ้น หรืออัตราลดลง)

อนุพันธ์อันดับสูงไปโผล่อยู่ในฟิสิกส์ตั้งแต่เรายังไม่รู้จักแคลคูลัสเลยด้วยซ้ำ ในเรื่องการเคลื่อนที่แนวตรงซึ่งมีปริมาณ 3 อย่างที่เกี่ยวกับการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุ เรียกว่า ระยะทาง อัตราเร็ว และอัตราเร่ง (ถ้าเป็นเวกเตอร์ก็เปลี่ยนเป็น การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง) ด้วยความหมายทางฟิสิกส์ อัตราเร็วคือ “อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทาง” และอัตราเร่งคือ “อัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราเร็ว” อีกทีนึง ถ้าคุยกันด้วยภาษาแคลคูลัสก็จะบอกว่า ดิฟระยะทางได้อัตราเร็ว และนำอัตราเร็วมาดิฟอีกทีจะได้อัตราเร่ง (แปลว่าถูกดิฟสองครั้ง) อัตราเร่งนี่แหละที่เราเรียกว่าอนุพันธ์อันดับสูง

อัตราเร่งเรียกว่าเป็น “อนุพันธ์อันดับสอง” ของระยะทาง คือได้จากการหาอนุพันธ์ของระยะทางซะสองครั้ง ที่จริงเราสามารถหาอนุพันธ์อันดับสูงแค่ไหนก็ได้ ซึ่งทำได้โดยการดิฟซ้ำลงในฟังก์ชันนั้นไปเรื่อยๆจนได้อันดับที่พอใจ

กลับมาดูผลของอนุพันธ์อันดับสูงที่เกี่ยวกับเราเวลานั่งรถยนต์กันบ้าง เผื่อจะช่วยให้เห็นภาพของอนุพันธ์อันดับสูงได้มากขึ้น

ขณะที่เรานั่งอยู่บนรถ ถ้าระยะทางคงที่แปลว่า “รถไม่ได้เคลื่อนไปไหน” แปลว่าอัตราเร็วเป็น 0

ถ้ารถวิ่งด้วยอัตราเร็วคงที่ (อนุพันธ์อันดับหนึ่ง) แปลว่าคนขับไม่ได้เหยียบคันเร่ง แต่ปล่อยให้รถเคลื่อนไปด้วยความเฉื่อย เราก็จะนั่งหลังตรงสบายๆ ไม่ได้รู้สึกหัวทิ่ม หรือโดนยันไปให้หลังติดเบาะแต่อย่างใด

ถ้าคนขับเริ่มเหยียบคันเร่ง แปลว่ารถเริ่มมีอัตราเร่ง (อนุพันธ์อันดับสอง) เราจะรู้สึกเหมือนมีอะไรมากดให้หลังติดกับเบาะนั่ง ขณะที่คนขับกำลังเร่งเครื่องอย่างสม่ำเสมอ เราจะโดนกดด้วยแรงคงที่

แต่ถ้าคนขับเกิดอยากแว้นขึ้นมา ค่อยเหยียบคันเร่งจมลึกลงไปเรื่อยๆ ขณะที่ค่อยๆเหยียบคันเร่งให้รถแรงขึ้น เราก็จะโดนกดด้วยแรงมากขึ้นเรื่อยๆ แบบนี้เรียกว่ามีการเปลี่ยนแปลงความเร่ง (อนุพันธ์อันดับสาม) หรือขณะที่เร่งอยู่ดีๆแล้วมีหมาวิ่งตัดหน้ารถ คนขับก็เบรกกระทันหัน ก็มีการเปลี่ยนแปลงความเร่งอีกเหมือนกัน แต่ในทิศทางตรงข้าม

การหาค่าสูงสุด ต่ำสุด

ทั้งอนุพันธ์ และอนุพันธ์อันดับสูงมีความหมายบางอย่างที่เกี่ยวกับกราฟของฟังก์ชัน ซึ่งช่วยให้เรารู้รูปพรรณสัณฐานของกราฟฟังก์ชันนั้นๆได้คร่าวๆโดยไม่ต้องลงมือวาดจุดเรียงต่อกัน

อนุพันธ์เป็นค่าที่บอกความชันของกราฟ ตัวเลขเป็นบวกแปลว่ากราฟเอียงขึ้น ถ้าเป็นศูนย์แปลว่ากราฟไม่ชัน (คือราบไปตามแนวนอน) ตัวเลขติดลบแปลว่ากราฟเอียงลง

อนุพันธ์อันดับสองเป็นค่าที่บอก “อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน” อีกทีหนึ่ง ถ้าเป็นบวกแปลว่า “กราฟกำลังชันมากขึ้น” คำว่าชันมากขึ้นไม่จำเป็นต้องแปลว่าความชันเป็นบวก แต่หมายถึงมีการเปลี่ยนแปลงไปเป็นค่าที่มากขึ้น เช่น จากเดิมติดลบมากก็กลายเป็นติดลบน้อยลง (ชันลงมากๆ กลายเป็นชันลงน้อยๆ) หรือจากเดิมไม่ชันเลยกลายเป็นความชันบวก หรือจากที่ชันน้อยกลายเป็นชันมากก็ได้ กราฟที่กำลังชันมากขึ้นจะมีลักษณะ “งอนขึ้น” คล้ายๆกระทะหงาย

ถ้าอนุพันธ์อันดับสองติดลบ แปลว่า “กราฟกำลังชันน้อยลง” ก็จะมีความหมายตรงข้ามกับแบบแรก ซึ่งจะมีลักษณะ “งุ้มลง” เหมือนกระทะคว่ำ

ถ้าเราจอดรถไว้บนสะพานตรงจุดสูงสุดพอดี ปลดเกียร์ว่างให้รถไหลได้ถ้ามีใครไปเลื่อนมัน เราจะพบว่าถ้ามีใครออกแรงผลักให้รถเคลื่อนไปข้างหน้าหรือถอยหลังอีกนิดเดียว รถจะไหลลงสะพานทันที ถ้าเราลองวัดความชันของสะพานก่อนที่จะถึงจุดสูงสุด จะได้ค่าเป็นบวก (เพราะต้องวิ่งขึ้นมาถึงจุดนี้) และหลังจากผ่านจุดสูงสุดไปความชันจะติดลบ (เพระต้องวิ่งลง) ข้อสังเกตนี้สรุปได้ว่า จุดไหนที่จะสูงที่สุดได้ ก่อนถึงจุดนั้นความชันต้องเป็นบวก และหลังจากจุดนั้นความชันต้องติดลบ กลับกันจุดที่จะต่ำที่สุดก็ต้องอยู่ระหว่างจุดรอบๆที่มีความชันเป็นลบและเปลี่ยนเป็นบวก

จุดสูงสุดหรือต่ำสุด คือจุดที่ความชันเปลี่ยนจากบวกเป็นลบ หรือเปลี่ยนจากลบเป็นบวก ด้วยความเข้าใจง่ายๆก็อาจจะสรุปว่ามันต้องมีความชันเป็น 0 ก็ได้ ซึ่งถูก… แต่ไม่ได้ถูกทุกกรณี

ตัวอย่างเช่นบนภูเขาที่มียอดแหลม ไม่ได้เป็นที่ราบเหมือนบนสะพาน เราจะพบว่าเราจอดรถไม่ได้ตั้งแต่แรกด้วยซ้ำ เพราะความชันที่จุดนั้นไม่ได้เป็น 0 อันที่จริงจุดเหล่านั้น “หาความชันไม่ได้” เพราะทางซ้ายก็มีความชันค่าหนึ่ง ทางขวาก็มีอีกค่าหนึ่งซึ่งไม่เท่ากัน จึงไม่มีลิมิต ทำให้ไม่มีอนุพันธ์

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, แคลคูลัส

Tagged with:

แคลคูลัส – ตอนที่ 4: กฎลูกโซ่

กฎลูกโซ่

เราสามารถสร้างฟังก์ชันจากการนำสองฟังก์ชันมาซ้อนกันได้ การซ้อนไม่ได้แปลว่าวางทับกัน แต่เป็นการ “ยัดไส้” นำฟังก์ชันหนึ่งไปใส่ไว้ในอีกตัวหนึ่ง เรียกว่า “ฟังก์ชันประกอบ” หรือ Composite Function ตัวอย่างฟังก์ชันประกอบเช่น f(x) = {(2x - 1)^5} เราสามารถแยกได้ว่ามีการดำเนินการสองขั้นตอน คือ 2x-1 กับ ยกกำลัง 5

ถ้าจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ วิธีตรงๆคือการกระจายกำลัง 5 ออกมาเป็นพนุนามตัวโตๆก่อน แล้วหาอนุพันธ์ไล่เรียงกันไปทีละพจน์ แค่คิดว่าจะกระจายกำลัง 5 ก็เสียเวลามากแล้ว ถ้าหัวใสขึ้นมาอีกนิดนึงก็สามารถแยกกำลัง 5 เป็นกำลัง 2 และ 3 คูณกันอยู่ แล้วใช้สูตรดิฟผลคูณเข้ามาช่วยจัดการก็ได้เหมือนกัน

วิธีที่เร็วที่สุด สามารถทำได้โดยไม่ต้องคูณกระจายกันแม้แต่น้อย เรียกว่า “กฎลูกโซ่” เพราะถ้ามีฟังก์ชันซ้อนกันหลายๆชั้น เวลาหาอนุพันธ์ด้วยวิธีนี้จะออกมาเป็นหลายๆพจน์คูณต่อหางยาวไปเรื่อยๆคล้ายๆโซ่

หลักการของกฎลูกโซ่คือ ต้องแยกให้ออกว่าฟังก์ชันที่ซ้อนกันอยู่นั้น ฟังก์ชันอะไรอยู่ข้างใน อะไรอยู่ข้างนอก ฟังก์ชันที่อยู่ข้างนอกจะถูกดิฟก่อน โดยยังไม่ต้องทำอะไรกับไส้ใน แล้วพจน์ถัดไปค่อยนำไส้ในมาดิฟบ้าง แล้วคูณต่อกันไป

สำหรับ f(x) = {(2x - 1)^5} จะเห็นว่า 2x – 1 เป็นชั้นใน แปลว่ากระทำกับ x เป็นอันดับแรก เสร็จแล้วจึงเอามายกกำลัง 5 ซึ่งกระทำทีหลัง เรียกว่าชั้นนอก การดิฟชั้นนอกก่อนโดยยังไม่ต้องทำอะไรกับใส่ในแปลว่าเราดิฟ “ยกกำลัง 5” ดื้อๆเลยแล้วคงรูปฟังก์ชันที่อยู่ข้างในไว้อย่างเดิม กลายเป็น

5{(2x - 1)^4}

ขั้นต่อไปคือทำการ “ดิฟไส้” ซึ่งคือ 2x-1 ได้ผลลัพธ์เป็น 2 นำมาคูณต่อข้างท้ายกลายเป็น

 5{(2x - 1)^4}(2)

คูณกันให้เสร็จเรียบร้อยจะได้ 10{(2x - 1)^4} เป็นผลลัพธ์ของการหาอนุพันธ์ โดยไม่ต้องคูณกระจายฟังก์ชันให้ยืดยาว

ลองอีกวิธีหนึ่ง เผื่อจะเข้าใจง่ายขึ้น

วิธีนี้เรียกว่าการเปลี่ยนตัวแปร (คุ้นๆไหม) โดยสมมุติให้พจน์ที่อยู่ข้างในเรียกว่า “บึ๋ย” จะได้ว่าทั้งฟังก์ชันของเรากลายเป็น “บึ๋ยกำลัง 5” ซึ่งดิฟแล้วจะได้ “5 บึ๋ยกำลัง 4” ตามสูตรที่เรามีอยู่ แต่งานยังไม่จบเพราะบึ๋ยคือ 2x-1 ดังนั้น จึงต้องนำอัตราการเปลี่ยนแปลงของบึ๋ยเมื่อเทียบกับ x (ซึ่งเท่ากับ 2) มาคูณโปะไว้ข้างท้าย ถึงจะได้อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันทั้งหมดเทียบกับ x

ดิฟอะไรใหญ่ๆดูบ้าง

อ่านมาถึงหน้านี้ เราจะพบว่ามีสูตรการหาอนุพันธ์เต็มไปหมด ถ้าถามว่า “แค่นี้หมดหรือยัง” ก็จะต้องตอบว่า “ยัง” แต่ข่าวดีก็คือ ที่มีอยู่เท่านี้พอใช้งานสำหรับการหาอนุพันธ์เกี่ยวกับฟังก์ชันพหุนาม รวมทั้งที่ติดรากต่างๆ และเลขยกกำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มด้วย สูตรทั้งหมดที่ผ่านมาเป็นการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเล็กๆที่มีพจน์เดียว (ภาษาคณิตศาสตร์เรียกว่าเอกนาม) ในขณะที่ฟังก์ชันจริงๆสามารถมีพจน์เยอะๆ นำมาต่อกันด้วยวิธีต่างๆทั้งบวก ลบ คูณ หาร เราใช้เครื่องมือที่มีอยู่แล้วมาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ใหญ่ขึ้นเหล่านี้ได้หมดเลย

พหุนามสร้างขึ้นจากเอกนามหลายๆตัวมาบวกลบกัน โชคดีที่การดิฟคือลิมิต ซึ่งกระจายเข้าไปในเครื่องหมายบวกลบได้ และดึงค่าคงที่ออกมาได้ การดิฟจึงมีคุณสมบัติเดียวกันนี้ติดมาด้วย เมื่อไหร่ที่ฟังก์ชันมีหลายพจน์บวกลบกันอยู่ หรือมีค่าคงที่คูณอยู่ เราสามารถกระจายดิฟเข้าไปได้ทันที แปลว่าดิฟทีละก้อนแล้วค่อยมาบวกลบกันทีหลังก็จะได้ค่าที่ถูกต้องเหมือนกัน

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, แคลคูลัส

Tagged with:

แคลคูลัส – ตอนที่ 3: อนุพันธ์

อนุพันธ์ :: ว่าด้วยลิมิต

แคลคูลัสเป็นวิชาอเนกประสงค์ เอาไปใช้กับอะไรก็ได้ ไม่เฉพาะหาอัตราเร็วหรืออัตราการเจริญเติบโต การคำนวณทางแคลคูลัสต้องการวัตถุดิบที่เป็น “ฟังก์ชันต่อเนื่อง” แปลว่าเป็นปริมาณอะไรก็ตามที่มีการเปลี่ยนแปลง และเป็นการเปลี่ยนแปลงแบบค่อยเป็นค่อยไป มีความต่อเนื่อง ไม่กระโดดเป็นขั้นๆ สามารถนำมาคำนวณเพื่อหาอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดจุดหนึ่งได้ทั้งนั้น

จากความหมายทางเรขาคณิต เรานิยามอนุพันธ์ว่าเป็น “ลิมิต” ของความชันกราฟรอบๆจุดจุดหนึ่ง สมมุติว่าต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่จุด x เราจะสร้างสูตรของอนุพันธ์โดยใช้ความชันกราฟดังนี้

จุดที่อยู่รอบๆจุด x หาได้โดยขยับไปข้างๆ x เป็นระยะ h ซึ่งมีค่าน้อยๆทางซ้ายหรือทางขวาก็ได้ จะได้จุดใหม่คือ x+h

ค่าของฟังก์ชันที่ตำแหน่ง x คือ f(x) และค่าของฟังก์ชันที่เปลี่ยนไปเมื่อเลื่อนจุดคือ f(x+h)

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยหาได้จากความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (x, f(x)), และ (x+h, f(x+h))

อัตราการเปลี่ยนแปลง (เฉลี่ย) = \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}

อนุพันธ์ที่จุด x (เขียนว่า f’(x) หรือ \frac{{dy}}{{dx}} เมื่อ y = f(x)) หาได้จากอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ว่านี้เมื่อบีบให้ h แคบลงๆเรื่อยๆจนกลายเป็น 0 จะได้ว่า

f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}

        ค่าของ f’(x) ก็จะเป็นความชันกราฟของฟังก์ชัน f ที่จุด x จุดเดียว ไม่ใช่ความชันเฉลี่ยอีกต่อไป เพราะจุด x กับ x+h นั้นเลื่อนมาอยู่ติดกันแล้ว ถ้ามีฟังก์ชันความสูงของต้นไม้เมื่อเทียบกับเวลามาให้ เราก็สามารถหาได้ว่าตอนเที่ยงวันที่ 3 พอดีเป๊ะ ต้นไม้มีอัตราการเจริญเติบโตเท่าไหร่

 

 

อนุพันธ์ :: สูตร

ถ้ายกตัวอย่างฟังก์ชันมาสักตัวหนึ่งคือ f(x) = {x^2} การหาอนุพันธ์ที่จุด x สักค่าหนึ่งเช่น x = 1 ทำได้โดยใช้นิยาม โดยการแทนค่า x และฟังก์ชันลงไปในสูตร

 f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}

เราจะได้

f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{(1 + h)}^2} - {1^2}}}{h}

เมื่อกระจายกำลังสองและจัดการลบกันให้เสร็จเรียบร้อยจะกลายเป็น

 f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2h + {h^2}}}{h}

จากเรื่องลิมิต การหาลิมิตที่ h \to 0แปลว่าในขณะนั้น h ไม่เท่ากับ 0 แค่มีค่าอยู่รอบๆจุด 0 และในเมื่อมันไม่เท่ากับ 0 จึงสามารถใช้เป็นตัวหารได้ และถ้ามีเศษและส่วนที่หน้าตาเหมือนกัน ก็เอาไปตัดกันได้ จากบรรทัดบน เราจึงใช้ h ตัดกันจนเกือบหมด เหลือแค่

f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2 + h = 2

ก็จะได้ว่าลิมิตมีค่าเท่ากับ 2 แปลตามความหมายของอนุพันธ์ได้ว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน f(x) = {x^2} ที่ตำแหน่ง x เป็น 1 นั้นมีค่าเท่ากับ 2 ส่วนความหมายแบบเรขาคณิตจะบอกว่า ความชันของกราฟ y = {x^2} ที่จุด x = 1 มีค่า 2 หน่วย แต่เป็นความชันกราฟที่ผ่านจุด x = 1 จุดเดียว ไม่ใช่สองจุดแบบที่เคยทำกันในวิชาเรขาคณิต

ถ้าลองทำตามกระบวนการข้างบนอีกครั้ง คราวนี้ไม่ได้แทนตัวเลข 1 ลงไป แต่ติดไว้เป็นตัว x อย่างนั้น เราจะพบว่า

f'(x) = 2x

        แปลว่าความชันของกราฟ y = {x^2}

การหาอนุพันธ์สามารถใช้นิยาม (สูตรของ f’(x)) ทุกครั้งก็ได้ แต่ไม่ค่อยมีใครขยันคำนวณกัน เพราะต้องมานั่งหาลิมิตซึ่งเป็นเรื่องยุ่งพอสมควร วิธีที่ง่ายกว่าคือ คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ใช้บ่อยๆเก็บไว้ พอเจอที่ไหนอีกก็ใช้ค่าที่คำนวณไว้แล้วได้เลย

ฟังก์ชันค่าคงที่ อนุพันธ์ = 0 เพราะชื่อก็บอกอยู่แล้วว่าเป็นค่าคงที่ ไม่มีการเปลี่ยนแปลง

\frac{{d(c)}}{{dx}} = 0 เมื่อ c เป็นค่าคงที่

ฟังก์ชันเส้นตรง อนุพันธ์ = ความชันของเส้นตรง และมีค่าสม่ำเสมอเท่ากันทุกๆที่ เพราะเส้นตรงมีความชันเท่ากันทั้งเส้น

\frac{{d(kx)}}{{dx}} = k เมื่อ k เป็นค่าคงที่

ฟังก์ชันอื่นๆที่ไม่ใช่ค่าคงที่หรือเส้นตรง อนุพันธ์จะเปลี่ยนไปเรื่อยๆขึ้นอยู่กับค่า x ไม่ได้เป็นตัวเลขเดี่ยวๆเหมือนสองชนิดแรก

ฟังก์ชันเอกนาม อนุพันธ์ = เลขชี้กำลังเดิม คูณกับฟังก์ชันเดิมที่ลงเลขชี้กำลังลงมาหนึ่ง

 \frac{{d({x^n})}}{{dx}} = n{x^{n - 1}}

ถ้ามีหลายฟังก์ชันมาบวกลบกัน อนุพันธ์สามารถกระจายเข้าไปในการบวกลบนั้นได้ หรือถ้ามีค่าคงที่คูณอยู่กับฟังก์ชันอะไร ก็ดึงค่าคงที่นั้นออกมาก่อนที่จะหาอนุพันธ์ก็ได้ แต่ถ้าเป็นฟังก์ชันที่คูณหรือหารกันจะกระจายตรงๆไม่ได้ ต้องทำตามสูตรคำนวณของมัน

 \frac{{d(f(x) \pm g(x))}}{{dx}} = \frac{{d(f(x))}}{{dx}} \pm \frac{{d(g(x))}}{{dx}}

 \frac{{d(kf(x))}}{{dx}} = k\frac{{d(f(x))}}{{dx}}

เพื่อความกะทัดรัด ขอเขียนอนุพันธ์ด้วยเครื่องหมาย ‘ ก็แล้วกัน

 (f(x) \cdot g(x))' = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)

เราท่องกันว่า ดิฟผลคูณเท่ากับ หน้าดิฟหลังบวกหลังดิฟหน้า

 \left( {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right)' = \frac{{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}}{{{g^2}(x)}}

เราท่องว่า ดิฟผลหารเท่ากับ ล่างดิฟบน ลบบนดิฟล่าง ส่วนล่างกำลังสอง

สูตรทั้งหมดที่ให้มานี้ครอบคลุมการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันพหุนามทุกแบบ และการคูณหารพหุนามเท่าที่จะเป็นไปได้ ที่จริงฟังก์ชันทุกชนิดที่เราเคยเรียนมา (expo, log, sin, cos, tan ฯลฯ) สามารถหาอนุพันธ์ได้หมดเลย ซึ่งก็จะมีสูตรคำนวณต่างกันไป แต่ในชั้นม.ปลาย แค่ฟังก์ชันพหุนามอย่างเดียวก็เยอะแล้ว จึงไม่มีฟังก์ชันอื่นโผล่มาให้เห็น

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, แคลคูลัส

Tagged with:

แคลคูลัส – ตอนที่ 2: อัตราการเปลี่ยนแปลง

อัตราการเปลี่ยนแปลงที่ “จุดเดียว”

 

ถ้าเรามีกราฟแสดงการเจริญเติบโตของต้นไม้ เป็นกราฟที่บอกความสูงของต้นไม้ ณ เวลาต่างๆ ต้นไม้หนึ่งต้นมีความสูงค่าเดียว ณ เวลาหนึ่งๆ ความสูงของต้นไม้จึงเป็นฟังก์ชัน มีอินพุตเป็นเวลา และให้ค่าความสูงออกมา

เมื่อวาดกราฟฟังก์ชันความสูงของต้นไม้ จิ้มจุดมาสองจุดบนเส้นโค้งของกราฟ แล้วลากเส้นตรงเชื่อมระหว่างกัน เราจะได้เส้นเอียงๆ (หรืออาจจะไม่เอียงก็ได้) มาเส้นหนึ่ง ความชันของเส้นตรงเส้นนั้นเรียกว่าอัตราการเจริญเติบโตของต้นไม้ เพราะได้จากการเอาค่าของ “การเจริญเติบโต” (ความสูงที่เพิ่มขึ้น) หารด้วยเวลาที่เปลี่ยนไป

การหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณอย่างอื่นๆนอกเหนือจากการเติบโตของต้นไม้ ถ้าใช้เรขาคณิตเป็นเครื่องมือ เราจะต้องมีจุดสองจุดที่อยู่บนกราฟของฟังก์ชัน ลากเส้นเชื่อมเข้าด้วยกันเพื่อหาความชัน แล้วความชันของเส้นนั้นจะคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย

 

ถ้าเมื่อไหร่เกิดอยากหาอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง คือลงไปดูที่เวลาค่าใดค่าหนึ่งเป๊ะๆ ไม่เอาค่าเฉลี่ยบนช่วงเวลา เราจะเกิดปัญหากับเรขาคณิตทันที เพราะมีเวลาและค่าของฟังก์ชันแค่จุดเดียว ยังไงก็ไม่สามารถหาอัตราการเปลี่ยนแปลงได้ ถ้าจะเข้าสูตรความชันของเส้นตรงก็จะมีปัญหาว่า “ตัวหารเป็นศูนย์”

 

ถึงตรงนี้ลิมิตเข้ามาช่วยเราไว้ ในเรื่องลิมิตเราพูดได้ว่า “จุดเดียว” นั้นคือลิมิตของการที่สองจุดเคลื่อนเข้ามาใกล้กัน ความชันของกราฟที่จุดจุดเดียว ถึงเรขาคณิตจะหาไม่ได้ แต่เรานิยามให้มันคือลิมิตของความชันระหว่างสองจุดรอบๆบริเวณที่เราต้องการได้

เมื่อมีสองจุดในตอนแรกก็หาความชันกราฟได้ปกติ เมื่อสองจุดค่อยๆเคลื่อนเข้ามาหากัน ความชันกราฟก็จะเป็นค่าที่คำนวณบนช่วงเล็กลงเรื่อยๆ จนเมื่อสองจุดทับกัน ความชันก็จะหายไปเพราะไม่สามารถคำนวณตรงๆได้ แต่เราจะนิยามมันขึ้นมาให้เท่ากับค่าลิมิตของความชันที่คำนวณจากช่วงแคบๆรอบๆจุดนั้น พร้อมกับตั้งชื่อให้มันใหม่ว่า “อนุพันธ์”

 

ผลพลอยได้จากการทำแบบนี้ก็คือ เราได้เส้นสัมผัสกราฟที่จุด x จากเดิมที่การวัดความชันต้องสร้าง 2 จุดที่อยู่ห่างกันแล้วลากเส้นตรงเชื่อมสองจุดนั้น ถ้ากราฟเป็นเส้นโค้ง ความชันกับเส้นกราฟจะตัดกัน (ไม่สัมผัสกัน) แต่เมื่อลากสองจุดให้มาอยู่ติดกัน จุดที่คำนวณความชันของกราฟจะแตะกับเส้นสัมผัสพอดี ความชันของกราฟ ณ ตำแหน่งนั้น จะเท่ากับความชันของเส้นสัมผัสกราฟ และมีค่าเท่ากับอนุพันธ์ที่เรากำลังคำนวณอยู่

ตอนนี้เรามีหลายคำที่ความหมายเหมือนกัน ได้แก่ ความชันของกราฟ ณ จุดจุดหนึ่ง, ความชันของเส้นสัมผัสกราฟ, อนุพันธ์, และอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง … คำว่าความชันเป็นความหมายในเชิงเรขาคณิต ส่วนอัตราการเปลี่ยนแปลงนั้นเป็นคำทั่วๆไป คำว่าอนุพันธ์เป็นชื่อที่หมายถึงสิ่งเหล่านี้ทั้งหมด ซึ่งใช้เวลาที่ยุ่งเกี่ยวกับฟังก์ชัน จะได้ไม่ต้องเรียกด้วยคำยาวๆ

 

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, แคลคูลัส

Tagged with:

แคลคูลัส – ตอนที่ 1: แคลคูลัสอยู่ที่ไหนบ้าง

แคลคูลัสเกิดมาเพื่อทำหน้าที่สองอย่างที่แขนงอื่นๆของคณิตศาสตร์ทำไม่ได้ นั่นคือการหาอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดจุดเดียว และหาพื้นที่รูปร่างที่ไม่ใช่รูปเรขาคณิตพื้นฐาน

 

แคลคูลัสอยู่ที่ไหนบ้าง

 

ในวิชาฟิสิกส์ พวกเราเคยทำแล็บที่มีเครื่องตอกจุดกระดาษคาร์บอนไหม

 

ถ้าดึงกระดาษออกจากเครื่องด้วยอัตราเร็วคงที่ จุดจะห่างเท่าๆกัน กลับกันถ้าดึงกระดาษเร็วขึ้นเรื่อยๆ จุดแรกๆจะถี่ ส่วนจุดหลังๆจะห่าง

 

เครื่องตอกจุดนั้นตอกด้วยเวลาห่างกันเท่าเดิม ถ้ากระดาษวิ่งเร็ว ก็ได้ระยะทางไกลกว่าที่เครื่องจะตอกครั้งถัดไป ถ้าวิ่งช้า ไปได้ไม่ไกลเครื่องก็ตอกแล้ว

 

ถ้านำจุดแรกกับจุดสุดท้ายมาลบกันเพื่อหาระยะทาง แล้วหารด้วยเวลาที่ใช้ทั้งหมด เราจะได้อัตราเร็ว “เฉลี่ย” ของการดึงกระดาษตลอดทั้งเส้น

ถ้านำระยะทางระหว่างจุดสองจุดมาหารด้วยเวลาที่ใช้ เราจะได้ “อัตราเร็ว” ที่เราดึงกระดาษ “เฉลี่ย” ระหว่างสองจุดนั้น ยิ่งเป็นสองจุดที่ตอกห่างกันด้วยเวลาน้อยเท่าไร อัตราเร็วที่ได้ก็จะเป็นอัตราเร็วในช่วงแคบๆมากขึ้นเท่านั้น

แต่ถ้าถามว่าวินาทีที่ 5 เป๊ะๆ อัตราเร็วของการดึงกระดาษเป็นเท่าไหร่ เราจะวัดตรงๆไม่ได้ เพราะการหาอัตราเร็วต้องทำบน “ช่วงเวลา” ซึ่งจะทำให้ได้ “อัตราเร็วเฉลี่ย” เสมอ ในทางปฏิบัติเราไม่สามารถหาอัตราเร็ว ณ วินาทีที่ 5 เป๊ะๆได้ ต้องหาอ้อมๆโดยการหาอัตราเร็วเฉลี่ยในช่วงแคบๆ ใกล้ๆวินาทีที่ 5 เช่นเป็นค่าเฉลี่ยของช่วงตั้งแต่วินาทีที่ 4.9- 5.1 เป็นต้น

 

 

เผื่อใครไม่เคยทำแล็บที่ว่า

 

สมมุติว่าปลูกต้นไม้สักต้นทิ้งไว้แล้ว 10 วันมาวัดความสูงจากโคนถึงยอด พบว่าสูงขึ้น 20 cm เรานำผลต่างของความสูงหารด้วยผลต่างของเวลาจะพบว่าต้นไม้โตวันละ 2 เซนติเมตร เรียกว่าเป็น “อัตราการเจริญเติบโตเฉลี่ย”

 

คำถามคือต้นไม้โตวันละ 2 เซนติเมตรพอดีเป๊ะๆหรือเปล่า

 

คำตอบคือ ไม่แน่ เพราะเราไม่ได้มานั่งเฝ้าดูมันทุกวันซะหน่อย เป็นไปได้ว่าวันแรกอาจจะโตวันละ 3 cm เพราะน้ำที่รดไว้ยังชื้นอยู่ พอดินแห้งลงต้นไม้ก็โตช้าลง อาจจะโตแค่วันละเซนติเมตรเดียว พอวันที่ 7 มีคนเดินมารดน้ำให้มันก็โตพรวดพราดอีกรอบ … ทั้งหมดนี้เราไม่รู้เลย รู้แต่ว่าถัวเฉลี่ยมันได้วันละ 2 cm

 

ถ้าอยากรู้ให้ได้ว่าต้นไม้โตวันละเท่าไหร่ ก็จะเป็นต้องหาเวลามาวัดมันทุกวัน คำนวณเป็นวันๆไป

หรือถ้าอยากรู้ละเอียดกว่านั้นอีก ว่าต้นไม้โตชั่วโมงละเท่าไหร่ ก็ต้องมาวัดทุกชั่วโมง

 

สมมุติว่ามีเครื่องมือวัดความสูงที่วัดได้ละเอียดยิบ จะวัดมันทุกนาทีเลยก็ได้

 

แต่ถ้าอุตริอยากรู้ว่าเวลาเที่ยงวันของวันที่ 3 เป๊ะๆ ต้นไม้มีอัตราการโตเท่าไหร่ (เรียกว่า “อัตราการเจริญเติบโต ณ ขณะหนึ่ง”) เราไม่สามารถหาอัตรา ณ วินาทีนั้นเป๊ะๆได้ เพราะการวัดอัตราของเราเป็นการวัด 2 ครั้งแล้วมาหาอัตรา “เฉลี่ย” เสมอ วิธีที่ดีที่สุดคือถือเอาว่าอัตราเฉลี่ย ณ ช่วงวินาทีแถวๆนั้นเป็นค่าที่จุดนั้นพอดี

 

ยิ่งผลต่างเวลามีค่าสั้นลง เราก็จะได้ค่าที่ถือว่าเป็นอัตรา ณ จุดนั้นๆได้เที่ยงตรงขึ้น นี่คือจุดเริ่มต้นของแคลคูลัส ซึ่งมาจากการพยายามหาอัตรา ณ ขณะหนึ่งเป๊ะๆ โดยประมาณด้วยอัตราเฉลี่ย การคำนวณอัตราเฉลี่ยบนช่วงแคบๆ ยิ่งแคบเท่าไหร่จะถือว่าได้ค่าใกล้เคียงกับอัตราขณะหนึ่งมากเท่านั้น

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, แคลคูลัส

Tagged with: