ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

Archive for the ‘เรขาคณิตวิเคราะห์’ Category

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 8: วงรี

วงรี

ถ้าใครเคยไปพิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์ จะมีของเล่นชิ้นใหญ่อยู่ชิ้นหนึ่ง เรียกว่า “ห้องกระซิบ” ซึ่งจะหน้าตาเป็นโลหะโค้งๆสองชิ้นตั้งอยู่ห่างกัน ให้เราไปยืนพูดด้วยเสียงไม่ดังมากอยู่ตรงจุดที่เหมาะสม แล้วให้เพื่อนฟังอยู่ใกล้ๆแผ่นโค้งๆอีกแผ่นนึง เราจะได้ยินเสียงคนพูดได้ชัดเจน แม้ว่าจะอยู่ห่างกันเกินระยะที่คุยปกติ

หลักการของห้องกระซิบคือการใช้สมบัติของ “วงรี” ที่ว่า ผิวด้านในของวงรีจะสะท้อนแสง เสียง หรือคลื่นใดๆที่ออกจากจุดโฟกัสหนึ่งไปยังอีกจุดโฟกัสหนึ่ง (ต่างกับพาราโบลาที่สะท้อนจากแหล่งกำเนิดที่เป็นจุดออกไปเป็นแนวขนาน หรือสะท้อนรังสีขนานให้เป็นจุด)

เราวาดวงรีได้ง่ายๆ โดยการใช้วัสดุใกล้ๆตัว ขอแค่ตะปูหรือหมุดสองตัว กับเชือกหนึ่งเส้นก็สร้างวงรีได้แล้ว โดยไม่ต้องกะๆเอาให้มันรี วิธีวาดก็คือ ใช้เชือกที่มีอยู่ผูกปลายทั้งสองติดเข้ากับหมุดข้างละตัว ปักหมุดลงบนกระดาษให้เชือกหย่อนนิดหน่อย (หรือหย่อนมากก็ได้) แล้วใช้ปลายปากกาดึงเชือกให้ตึง รูดไปมาโดยให้เชือกตึงตลอดเวลา เมื่อรูดไปจนครบวงทั้งด้านบนและด้านล่างก็จะพบว่าได้วงรี

 

การวาดวงรีด้วยวิธีนี้ นำไปใช้สร้างนิยามของวงรีว่าคือ เซตของจุดที่เมื่อวัดระยะห่างจากจุดคงที่สองจุด (จะได้ระยะห่างสองค่า) เมื่อนำระยะห่างทั้งสองมาบวกกันจะได้ค่าคงที่

การสร้างสมการวงรีจึงตั้งต้นด้วยนิยาม ซึ่งมาจากการวัดระยะทางระหว่างจุดสองจุด แต่วัดสองรอบนำมาบวกกัน ถ้าสมมุติให้เชือกยาว 2a และจุดที่ปักหมุดลงบนกระดาษ เรียกว่าจุดโฟกัส ซึ่งมีสองจุดคือคือ (x1, y1) และ (x2, y2)

สำหรับรูปอย่างง่ายที่สุด เมื่อรูปวงรีวางตามแนวนอน และให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) ซึ่งจะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองพอดี ถ้าระยะโฟกัสยาวเท่ากับ c พิกัดจุดโฟกัสจะกลายเป็น (-c, 0) และ (c, 0) ตามลำดับ ซึ่งช่วยให้สมการรูปอย่างง่ายนั้นง่ายขึ้นได้อีกเยอะ สมการตั้งต้นของวงรีจะหน้าตาเป็นแบบนี้

 \sqrt{{{\left({x + c}\right)}^2}+{y^2}}+\sqrt{{{\left({x - c}\right)}^2}+{y^2}}  = 2a

        สมการที่ติดสแควร์รูทนั้นนักคณิตศาสตร์ไม่ค่อยชอบกัน จึงต้องทำให้ง่ายกว่านี้ โดยการย้ายสแควร์รูทไปไว้คนละข้างกันแล้วยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\sqrt{{{\left({x + c}\right)}^2}+{y^2}} = 2a - \sqrt{{{\left({x - c}\right)}^2} + {y^2}}

{x^2} + 2xc + {c^2} + {y^2} = 4{a^2}+4a\sqrt{{{\left({x - c}\right)}^2}+{y^2}}+{x^2}-2xc + {c^2}

 ตัดกันไปมาจะเหลือ

 xc = {a^2} + a\sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}}

xc - {a^2} = \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}}

 ยกกำลังสองทั้งสองข้างอีกที

 {c^2}{x^2} - 2xc + {a^4} = {a^2}\left( {{x^2} - 2xc + {c^2} + {y^2}} \right)

{a^4} - {a^2}{c^2} = \left( {{a^2} - {c^2}} \right){x^2} + {a^2}{y^2}

หารตลอดด้วยพจน์ซ้ายมือ จะได้

\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{a^2} - {c^2}}} = 1

เมื่อเหลือสูตรเล็กขนาดนี้แล้ว นักคณิตศาสตร์เปลี่ยนชื่อตัวแปรใหม่ได้สั้นลงไปอีก และมีความหมายมากขึ้น โดยให้ {b^2} = {a^2} - {c^2} ซึ่ง a เป็นครึ่งหนึ่งของความยาวรูป ส่วน b ตัวใหม่ที่เพิ่งตั้งขึ้นมานี้จะเป็นครึ่งหนึ่งของความกว้างรูป

 \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1

สมการวงรีจึงเสร็จสมบูรณ์ด้วยประการฉะนี้ ซึ่งอย่างที่บอกไปแล้วว่าสมการนี้สำหรับวงรีที่วางในแนวนอน ถ้าสลับตัวแปร x, y กัน วงรีจะเปลี่ยนเป็นแนวตั้ง (ถูกบีบทางด้านข้าง แทนที่จะบีบด้านบน-ล่าง)

a,b,c เจ้าปัญหา

a,b,c มีความหมายโดยตรงถึงอวัยวะต่างๆในรูปวงรี ความยากของการใช้ตัวแปรสามตัวนี้คือ เดี๋ยวมันจะมาโผล่หน้าให้ชมอีกครั้งในรูปไฮเพอร์โบลา และมีความหมายต่างจากที่กล่าวถึงในรูปวงรี (เพราะอวัยวะมันไม่เหมือนกัน)

ในการวาดวงรีด้วยมือ เนื่องจากเรากำหนดให้เชือกยาว 2a และจุดโฟกัสทั้งสองอยู่ห่างกัน 2c เมื่อขึงเชือกให้ตึงโดยปลายปากกาอยู่ในแนวกึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสพอดีเป๊ะ ถ้าลากเส้นเพิ่มนิดหน่อยจะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่เท่ากัน ค่าของ a และ c จะเป็นด้านทแยงและด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งตามลำดับ เหลืออีกด้านหนึ่งซึ่งจะยาวเท่ากับ b เราจึงได้ {b^2} = {a^2} - {c^2} ตามที่เขียนไว้ข้างบน ความหมายทางเรขาคณิตของมันก็คือ a เป็น “ครึ่งหนึ่งของความยาวรูป” และ b เป็น “ครึ่งหนึ่งของความกว้างรูป” ถ้าจะเทียบว่าวงรีคือวงกลมที่โดนบีบ a กับ b ก็คือค่ารัศมีนั่นเอง ต่างกันตรงที่รัศมีของวงรีนั้นไม่คงที่ จะสั้นสุดเท่ากับ b และยาวสุดเท่ากับ a

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

Tagged with:

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 7: พาราโบลา

พาราโบลา

เดี๋ยวนี้เราหางานศิลปะรูปพาราโบลาสวยๆดูได้ไม่ยาก ตามหลังคาบ้านหลายๆคนเริ่มเปลี่ยนจากเสาตรงๆโด่ๆมีก้างปลาอยู่ข้างบนมาเป็นจานกลมๆสีแดงบ้าง ดำบ้าง ขาวบ้าง และสีอื่นๆอีกหลากสี เอามารับสัญญาณผ่านดาวเทียม แทนที่จะใช้สัญญาณส่งจากภาคพื้นดิน ซึ่งใครๆก็โฆษณาว่าช่องมันเยอะกว่า และชัดกว่าดูจากเสาทีวีปกติ

จานดาวเทียม มีลักษณะเป็นรูป “พาราโบลอยด์” (Paraboloid) ได้จากการนำเส้นโค้งพาราโบลามาหมุนรอบตัวให้ครบวง นึกถึงเวลาเขาปั้นหม้อดินเผา จะมีการขึ้นรูปหม้อเป็นทรงต่างๆ ถ้าเรานำลวดที่เป็นเส้นโค้งพาราโบลาไปทาบเป็นแบบ ก็จะได้รูปพาราโบลอยด์ออกมา

เส้นโค้งพาราโบลา หรือรูปทรงพาราโบลอยด์ มีสมบัติพิเศษอยู่อย่างหนึ่งที่รู้จักกันดี นั่นคือความสามารถในการสะท้อนแสงหรือคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่เดินทางมาเป็นเส้นตรงให้มารวมกันที่จุดจุดเดียว ผลจากการสะท้อนมารวมกันทำให้แสงหรือคลื่นที่ว่านั้นมีความเข้มสูงขึ้นมาก ถ้าเป็นคลื่นที่เป็นสัญญาณภาพและเสียงของโทรทัศน์ ก็จะทำให้รับสัญญาณได้ชัดเจนกว่าการใช้เสาอากาศดักคลื่น แล้วปล่อยให้คลื่นบางส่วนผ่านเลยไปโดยเปล่าประโยชน์

ถ้าใครเคยใช้เครื่องดักฟังเสียง (เสียงที่ล่องลอยมาในอากาศ ไม่ใช่เสียงจากคู่สายโทรศัพท์) บางประเภท ก็จะมีแผ่นสะท้อนเสียงเป็นรูปพาราโบลอยด์เหมือนกัน ซึ่งใช้หลักการเดียวกับจานดาวเทียม

เราจะพบรูปทรงพาราโบลอยด์ได้ที่อื่นอีกเช่น “ไฟฉาย” แผ่นสะท้อนแสงสีเงินๆที่ล้อมรอบหลอดไฟอยู่จะมีรูปทรงพาราโบลอยด์เหมือนกัน เพราะหลอดไฟจะปล่อยแสงออกมาจากจุดจุดเดียวคือไส้หลอด แต่คนที่ใช้ไฟฉายต้องการความสว่างเฉพาะด้านหน้าไฟฉายเท่านั้น จึงต้องใช้แผ่นที่สะท้อนแสงด้านข้างรอบๆหลอดไฟให้พุ่งไปเสริมกับแสงทางด้านหน้า ทำให้ไฟสว่างมากขึ้น

แต่ถ้าที่บ้านใครไม่เคยมีไฟฉายใช้ ไม่มีเครื่องดักฟัง ไม่มีจานดาวเทียม แต่อยากเห็นพาราโบลา ก็แค่หาก้อนหินสักก้อนโยนเฉียงๆขึ้นไปในอากาศ มันก็จะวิ่งตามเส้นทางที่เป็นรูปพาราโบลาให้เห็น (เพียงแต่ไม่ทิ้งร่องรอยไว้ในอากาศ ต้องจับตาดูตอนมันวิ่งเท่านั้น) ก่อนจะตกลงมาถึงพื้นอีกครั้ง

สร้างรูปพาราโบลา

พาราโบลาสร้างยากกว่าวงกลมพอสมควร แค่นิยามก็เข้าใจยากกว่ามากแล้ว แต่สมการของรูปจะดูเป็นมิตรกว่า

การสร้างพาราโบลา ต้องใช้ของเริ่มต้น 2 ชิ้นวางไว้ก่อน จุดต่างๆบนพาราโบลาจะสร้างโดยวัดระยะทางเทียบกับของสองชิ้นนี้ทั้งหมด ของสองชิ้นที่ว่านั้นคือจุด 1 จุด เรียกว่าจุดโฟกัส (Focus) และเส้นตรง 1 เส้นเรียกว่าเส้น ไดเรกตริกซ์ (Directrix)

จุดทั้งหลายบนพาราโบลา คือจุดที่อยู่ห่างจากจุดโฟกัสและห่างจากเส้นไดเรกตริกซ์เป็นระยะทางเท่าๆกัน

แปลว่าจุด (x, y) จะอยู่บนรูปพาราโบลาของเราได้ ถ้าวัดระยะจากจุด (x, y) ไปถึงจุดโฟกัส (ได้ความยาวออกมาค่าหนึ่ง) และวัดระยะจากจุด (x, y) เดียวกันไปถึงเส้นไดเรกตริกซ์ (ได้ความยาวออกมาอีกค่าหนึ่ง) แล้วปรากฏว่าความยาวสองค่านี้เท่ากัน

จุดแรกที่ตรงตามเงื่อนไขนี้แน่ๆ คือจุดตรงกลางระหว่างจุดโฟกัสและเส้นไดเรกตริกซ์พอดี วัดไปทางหนึ่งก็จะเจอจุด วัดไปทางตรงกันข้ามก็จะเจอเส้น และรับประกันว่าระยะทางทั้งสองเท่ากันแน่ๆ เพราะจุดของเรามันอยู่ตรงกลาง

จุดอื่นๆที่ตรงตามเงื่อนไขเดียวกันนี้จะค่อยๆโค้งออกห่างจากเส้นไดเรกตริกซ์ กางออกไปทั้งสองข้าง มีลักษณะเหมือนอ้าปากงับจุดโฟกัสไว้ แขนทั้งสองข้างสามารถยาวไปได้เรื่อยๆไม่มีที่สิ้นสุด ยิ่งวิ่งไปไกลก็จะยิ่งชันมากขึ้น แต่ส่วนใหญ่เราจะเจอแต่รูปเล็กๆเพราะมักไม่มีที่กว้างๆให้วาดรูปใหญ่ๆ

การสร้างสมการของพาราโบลาจึงเริ่มจากการจับ “ระยะทาง” สองค่าที่วัดได้นี่มาเท่ากัน อันนึงเป็นระยะทางจากจุดถึงจุด อีกอันเป็นระยะทางจากจุดถึงเส้นตรง เราเริ่มต้นด้วยของง่ายก่อนคือสมมุติว่ารูปนี้เป็นพาราโบลาแนวตั้ง จุดยอดของรูปอยู่ที่ (0, 0) ซึ่งหมายถึงจุดโฟกัสต้องอยู่ที่ (0, c) และสมการเส้นไดเรกตริกซ์คือ y = -c (หรือจัดรูปใหม่ได้เป็น 0x+y+c = 0)

ระยะทางจากจุด (x, y) ถึง (0, c) = ระยะทางจากจุด (x, y) ถึงเส้นตรง y = -c

 \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - c} \right)}^2}}  = y + c

เหตุที่ฝั่งขวาไม่ต้องใช้สูตรการวัดระยะทางที่ยุ่งๆ ยาวๆ เพราะมันเป็นระยะทางในแนวดิ่ง ตรงๆ ไม่เอียง จึงวัดว่าค่า y ห่างกันเท่าไหร่ได้โดยตรง (จุดลอยสูงจากพื้น y หน่วย และเส้นอยู่ต่ำลงไปจากพื้นอีก c ทั้งสองจึงห่างกัน y+c)

ถอดสแควร์รูทออกมาแล้วจัดรูปสมการไปมาจะได้

 {x^2} = 4cy

        ดูง่ายกว่าสมการวงกลมเยอะเลย

สมการพาราโบลามีค่าคงที่อยู่หนึ่งตัว เช่นเดียวกับสมการวงกลม ในที่นี้คือค่า c เรียกว่าระยะโฟกัส เป็นระยะห่างระหว่างจุดยอดกับจุดโฟกัส การปรับค่า c ทำให้พาราโบลาหุบเข้าหรือบานออก ยิ่ง c มีค่ามากจะทำให้พาราโบลาบานมากขึ้น

สิ่งที่ต่างจากวงกลมคือ พาราโบลาเป็นรูปที่สมมาตรแกนเดียว การพลิกรูปหรือหมุนรูปจะทำให้ได้รูปใหม่ที่แตกต่างจากรูปเดิม ไม่เหมือนวงกลมที่จะพลิกจะหมุนยังไงก็ยังได้รูปเดิม ถ้าพาราโบลาถูกพลิกกลับหัว จุดยอดก็จะขึ้นไปอยู่ด้านบนสุดเหมือนตอนที่เราโยนหินขึ้นไปในอากาศ ถ้าจับตะแคงก็จะได้รูปคล้ายๆลำโพงที่หันหน้าออกข้างๆ อาจจะเป็นทางซ้ายหรือขวาก็ได้

การพลิกรูปโดยใช้สมการ ทำได้ง่ายมากโดยการเปลี่ยนค่า c ให้ติดลบ จะเห็นว่า {x^2}  มีค่าเป็นบวกเสมออยู่แล้ว ถ้า c ติดลบ y ก็จะติดลบตามไปด้วย การที่ y ติดลบแปลว่ากราฟไปห้อยต่องแต่งอยู่ด้านล่าง กลายเป็นพาราโบลา “คว่ำ”

ส่วนการตะแคงรูปทำได้โดยการ “สลับตัวแปร” คือทำให้แกน y กลายเป็นแกน x และแกน x กลายเป็นแกน y อะไรที่เคยตั้งก็จะกลายเป็นนอนไปหมด รูปที่เคยตั้งก็กลายเป็นรูปแนวนอน ค่า c เป็นบวกจะทำให้ได้พาราโบลาตะแคงขวา และ c เป็นลบก็จะได้พาราโบลาตะแคงซ้าย

สมการพาราโบลาเต็มยศ

        สมการพาราโบลาที่เลื่อนแกนและกระจายพจน์ให้ยุ่งๆแล้วจะหน้าตาเป็นแบบนี้

{x^2} - 2hx - 4cy + ({h^2} + 4ck) = 0 สำหรับพาราโบลาในแนวตั้ง

{y^2} - 2ky - 4cx + ({k^2} + 4ch) = 0 สำหรับพาราโบลาในแนวตะแคง

ทั้งสองแนวนี้ต่างกันแค่สลับ x กับ y เท่านั้นเอง

เดี๋ยวถ้าได้นั่งสังเกตสมการของรูปทั้ง 4 ชนิดพร้อมๆกันจะพบว่า สมการพาราโบลาจะพิเศษกว่าใครเพื่อนตรงที่มีพจน์กำลังสองแค่พจน์เดียว ในขณะที่รูปอื่นๆมีทั้ง {x^2} และ {y^2} กันทั้งนั้น

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

Tagged with:

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 6: วงกลม

นิยามรูปเรขาคณิตด้วย “ระยะทาง”

รูปร่างในภาคตัดกรวยทั้ง 4 ประเภทสามารถสร้างด้วยมือได้ เพราะการอ้างอิงระยะทาง เราสามารถออกแบบเครื่องมือวาดรูปที่เป็นไปตามนิยามของรูปต่างๆได้เลย การจำว่ารูปเหล่านี้วาดยังไง ด้วยเครื่องมือหน้าตาเป็นยังไง จะทำให้เราจำนิยามได้แม่นยำโดยไม่ต้องมาเสียเวลานั่งท่องมัน

วงกลม

วงกลมนั้นสร้างได้ง่ายๆด้วยวงเวียน ทุกคนรู้ดีมาตั้งแต่สมัยเด็กๆ

วงเวียนที่ดีนั้น ขาทั้งสองจะต้องไม่ขยับเข้าออกเวลาที่เรากำลังหมุน (ซึ่งส่วนใหญ่มันจะขยับกางออกเวลาเราออกแรง) และขาปลายแหลมที่ใช้ปักกับกระดาษก็ต้องไม่เลื่อนไปไหน ถ้าอย่างใดอย่างหนึ่งเคลื่อนไปจากเดิมจะทำให้วงไม่กลมทันที วงเวียนราคาแพงหน่อยจะมีกลไกล็อคความกว้างระหว่างสองขาได้ และปลายแหลมก็จะแหลมจริงๆ เผลอเอาไปจิ้มนิ้วแล้วได้เลือดแน่นอน

ทั้งสองอย่างนี้เป็นสิ่งจำเป็นมากสำหรับวงกลม จำเป็นขนาดว่าเขาเอามาสร้างเป็นนิยามของวงกลมเลยทีเดียว จุดตรงปลายแหลมที่ปักกับกระดาษเรียกว่าจุดศูนย์กลาง และระยะระหว่างขาทั้งสองเรียกว่ารัศมี แต่สิ่งที่เรียกว่าวงกลมนั้นคือเฉพาะตรงที่ปลายดินสอของวงเวียนลากลงไป ซึ่งเรียกว่าเส้นรอบวง จุดศูนย์กลางนั้นไม่นับว่าเป็น “อวัยวะ” ของวงกลม และพื้นที่ว่างๆข้างในวงกลมก็ไม่นับว่าเป็นส่วนที่เรียกว่าวงกลมเช่นกัน (ในเรื่องต่อๆไปเราจะพบว่ารูปต่างๆมีจุดโฟกัส แกนสมมาตร แกนชื่อนั้นชื่อนี้ ให้ระลึกไว้เสมอว่าบรรดาจุดและเส้นเหล่านั้นไม่ใช่ส่วนหนึ่งของรูป แต่เป็นเครื่องมือในการสร้างรูป หรือช่วยให้สร้างรูปได้ง่ายขึ้น ไม่ได้เป็น “ส่วนหนึ่งของรูป” แต่อย่างใด)

วงกลมในเรขาคณิตวิเคราะห์ไม่ได้แตกต่างไปจากเดิม เรายังคง “สร้าง” รูปวงกลมด้วยวิธีเดิมคือกำหนดจุดศูนย์กลาง แล้ว “ลากเส้น” โค้งๆให้อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะทางคงที่เท่ากับรัศมี

สิ่งที่เปลี่ยนไปคือเราไม่จำเป็นต้องใช้วงเวียน (สังเกตว่าโปรแกรมวาดกราฟสามารถวาดวงกลมได้โดยไม่ต้องเอาวงเวียนไปทิ่มบนจอภาพ) แต่เปลี่ยนการลากเส้นที่ใช้วัตถุจริงๆมาเป็นการ “หาจุด” ที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะทางเท่ากับรัศมี วงกลมจึงกลายเป็น “เซต” ของจุดที่มีเงื่อนไขบางอย่างไป (รวมทั้งรูปอื่นๆในเรขาคณิตวิเคราะห์ด้วย) ความเป็นเซตทำให้เราระบุเงื่อนไขที่เป็นคณิตศาสตร์ได้ ไม่จำเป็นต้องอ้างถึงวงเวียนหรือกระดาษอีกต่อไป

เนื่องจากเรามีเครื่องมือในการวัดระยะทาง (สูตรระยะทางระหว่างสองจุด) จึงหยิบมาใช้ในการสร้างวงกลมซะเลย

\sqrt {{x^2} + {y^2}} = r

        การจะมีวงกลมได้ ต้องมีจุดศูนย์กลางก่อน ในที่นี้คือจุดที่อยู่ตรงตำแหน่ง (0, 0) จุดที่จะอยู่บนเส้นรอบวงคือจุด (x, y) ซึ่งมีได้หลายจุด จุดเหล่านี้จะอยู่ห่างจาก (0, 0) เป็นระยะทาง r หน่วย สมการจึงหน้าตาเหมือนที่เห็นข้างบน ทีนี้สมการที่ติดสแควร์รูท หน้าตามันไม่สวยเท่าไหร่ จึงมีการปรับรูปร่างของสูตรให้สวยขึ้น กลายเป็น

 {x^2} + {y^2} = {r^2}

วงกลมเป็นรูปที่ไม่มีอวัยวะมากมายนัก ส่วนประกอบอื่นๆนอกเหนือจากเส้นรอบวงก็คือจุดศูนย์กลางแค่จุดเดียว จึงไม่ค่อยมีอะไรให้ต้องจำมาก… ซึ่งเป็นข่าวดี

วงกลมเป็นรูปง่ายๆแต่มีคุณสมบัติพิเศษหลายอย่าง เช่น ในบรรดารูปทั้งหลายที่มีเส้นรอบรูปยาวเท่ากัน วงกลมจะมีพื้นที่มากที่สุด (หรือกลับกันจะบอกว่า ถ้ากำหนดให้รูปต่างๆมีพื้นที่เท่ากัน วงกลมจะมีเส้นรอบรูปสั้นที่สุด)

ถ้าขยายมิติเพิ่มไปอีกเป็นรูป 3 มิติ ก็จะได้ว่าทรงกลมเป็นรูปที่มี “ปริมาตร” มากที่สุดในบรรดารูปที่มีพื้นที่ผิวเท่ากัน อีกทั้งของเหลวในธรรมชาติ ถ้าหยดให้ตกลงมาอย่างอิสระ มันจะไหลไปกองรวมกันเป็นทรงกลมในขณะที่มันตกลงมา เช่นเม็ดฝน

การสร้าง “ลูกเหล็ก” กลมๆ วิธีง่ายที่สุด (แต่เราอาจจะทำเล่นเองไม่ได้) ก็คือการหยดเหล็กร้อนๆเหลวๆให้ตกอย่างอิสระเป็นระยะทางยาวพอสมควร เหล็กก็จะทำตัวเหมือนหยดน้ำคือไหลมากองรวมกันเป็นทรงกลม แล้วก็ทำให้เย็นจนคงรูป ก่อนที่จะตกถึงพื้น

เส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับรัศมี ณ จุดสัมผัส

ถ้าเราตีลูกปิงปอง ตีกอล์ฟ เตะลูกบอล แทงลูกสนุกเกอร์ หรือดีดลูกแก้ว ขณะที่มือหรือไม้ที่ใช้ตีกำลังกระทบลูกกลมๆเหล่านี้ มีกฎในวิชาฟิสิกส์กลศาสตร์ (ซึ่งจริงๆเป็นคณิตศาสตร์) บอกว่าแรงที่เราตี แทง หรือดีดออกไปนั้นจะผ่านจุดศูนย์กลางของลูกกลมๆพวกนั้น

ตรงนี้คณิตศาสตร์บอกว่า ขณะที่เราส่งแรงจากมือหรือไม้ไปยังลูกกลมๆ เราได้ “สัมผัส” พื้นผิวของทรงกลมเป็นจุดเล็กๆ ถ้าลากเส้นรัศมีออกมาจากจุดศูนย์กลางของทรงกลมมายังจุดสัมผัสนั้น รัศมีเส้นนั้นจะอยู่ในแนวตั้งฉากกับมือเรา

ถ้าเราดันเกิดโรคจิต อยู่ดีๆเอามือไปตีหอยเม่นซึ่งมีขนแหลมๆรอบตัวเป็นรูปคล้ายๆทรงกลม ขนของมันก็จะทิ่มลงไปตรงๆในทิศที่เราใช้มือตีลงไป ซึ่งตั้งฉากกับฝ่ามือของเรานั่นเอง

การมีข้อมูลว่าเส้นตรงสองเส้นนี้ (คือเส้นสัมผัส กับรัศมี) นั้นตั้งฉากกัน มีประโยชน์ในการคำนวณบ่อยครั้ง เพราะเรารู้ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกัน ว่าความชันจะคูณกันได้ -1 การรู้ความชันของเส้นหนึ่ง จะทำให้คำนวณความชันของอีกเส้นได้

การเลื่อนแกน

เคยสงสัยว่าทำไมหนังสือเรียนเล่มหนึ่งถึงเอาเรื่องการเลื่อนแกนมาแทรกหลังจากวงกลมก่อนจะเป็นพาราโบลา มาคิดได้ทีหลังว่าถ้าอยากจะเลื่อนแกนเราต้องมีรูปอะไรบางอย่างให้เลื่อนก่อน ถ้าอยู่ดีๆเรียนการเลื่อนแกนขึ้นมาลอยๆก็ไม่รู้จะเลื่อนอะไร แต่ถ้าเรียนทีหลังก็จะไม่เข้าใจว่าสมการรูปทั่วไปของแต่ละรูปมันทำไมตัวใหญ่นัก ทั้งที่จริงมันมาจากความเข้าใจอันเดียวกัน

เวลานั่งรถไฟสวนกันสองขบวน ถ้ารถของเราเคลื่อนไปข้างหน้า เราอาจจะรู้สึกว่ารถของเราอยู่นิ่งในขณะที่รถอีกคันเคลื่อนเข้ามาหาก็ได้ กลับกันถ้ารถเราถอยหลัง เราอาจจะรู้สึกว่ารถอีกคันวิ่งหนีเราก็ได้เหมือนกัน … นี่คือหลักการเลื่อนแกน

ถ้าเรามีรูปกระต่ายอยู่ที่จุด (0,0) บนแกนพิกัดฉาก เราอยากให้กระต่ายลอยสูงขึ้นโดยที่ไม่ต้องการยกกระต่ายหนีไปไหน เราอาจะให้กระต่ายอยู่ที่เดิมก็ได้ แต่จับแกนพิกัดฉากทั้งอันให้เลื่อนลงมา (นึกภาพว่ามีกระดาษวาดรูปกระต่ายไว้ ด้านบนมีแผ่นใสซึ่งมีรูปแกนพิกัดฉากวางทับไว้อีกแผ่น จึงเลื่อนไปมาได้) กระต่ายซึ่งที่จริงอยู่นิ่งๆบนกระดาษ ก็จะลอยสูงขึ้นเมื่อเทียบกับแกนพิกัดฉาก พอดีว่าในเรขาคณิตวิเคราะห์เราวัดความสูงต่ำทั้งหมดเทียบกับแกนพิกัดฉาก … จึงต้องถือว่ากระต่ายลอยสูงขึ้น ทั้งที่จริงๆอยู่ที่เดิม

รูปเรขาคณิตทั้งหลายในภาคตัดกรวยมีสมการอยู่บนแกน x และ y ปกติแล้วรูปจะมีจุดศูนย์กลางที่จุด (0,0) ถ้าเรายังไม่เลื่อนมันไปไหน เวลาจะเลื่อนรูป แทนที่จะไปสร้างสมการให้รูปนั้นๆขึ้นมาใหม่ เราก็จะเปลี่ยนแกนพิกัดฉากให้รูปแทน โดยการบวก/ลบค่าคงที่เข้าไปกับตัวแปร x, y

เช่นถ้าเปลี่ยน x ทุกตัวในสมการให้เป็น x+2 แกน x จะเลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย … เมื่อแกนเลื่อนไปทางขวา แต่รูปอยู่นิ่งๆ รูปซึ่งวัดเทียบกับแกนที่เปลี่ยนไปนี้จึงถอยมาทางซ้าย 2 หน่วย

ทำนองเดียวกัน ถ้าเปลี่ยน y ทุกตัวให้เป็น y-5 จะเป็นการเลื่อนแกน y ลงไปจากเดิม 5 หน่วย รูปที่อยู่ที่เดิมจะลอยขึ้น 5 หน่วยเมื่อวัดเทียบกับแกนใหม่ … พอเลื่อนแกนเสร็จเรียบร้อยก็เท่ากับเลื่อนรูปไปอยู่ในตำแหน่งใหม่ที่ต้องการแล้ว

เลื่อนแกนให้วงกลม

เมื่อเลื่อนวงกลมให้จุดศูนย์กลางไปปักอยู่ที่ (h, k) แทนที่จะเป็น (0, 0) สมการก็จะเปลี่ยนไปนิดหน่อย โดยเปลี่ยนจาก x, y ธรรมดาไปเป็น x-h และ y-k โจทย์ปัญหามักจะขยันกระจายสมการแบบเลื่อนแกนนี้ให้ยุ่งขึ้นกว่าเดิม กลายเป็น

 {x^2} + {y^2} + 2xh + 2yk + ({h^2} + {k^2} - {r^2}) = 0

วงเล็บที่ล้อมรอบสามพจน์สุดท้ายหมายความว่าเวลาแทนค่าด้วยตัวเลขแล้ว สามพจน์นี้จะหลอมรวมกันเป็นตัวเดียวไม่แยกให้เห็นว่าอะไรเป็นอะไร ที่แย่กว่านั้นคือภาคตัดกรวยแต่ละรูปก็จะมีสมการหน้าตาคล้ายๆกันนี้ ต่างกันที่สัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์และเครื่องหมายที่เชื่อมอยู่ ซึ่งเดี๋ยวตอนท้ายบทนี้เราจะมานั่งดูกันว่าสมการของแต่ละรูปมีอะไรให้สังเกตได้บ้าง

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

Tagged with:

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 5: นิยามภาคตัดกรวย

ภาคตัดกรวย

คำว่าภาคตัดกรวย ได้มาจากการ “ตัดกรวย” จริงๆ คือถ้ามีกรวยฐานกลม ปลายแหลม สองชิ้น นำมาต่อกันโดยหันกลายแหลมเข้าหากัน แล้วมีมีดหรือเลื่อยคมๆมาตัดกรวยนั้นให้เป็นหน้าตัดเรียบๆในแนวต่างๆกัน รูปที่ได้ก็จะมีหน้าตาต่างกันไป ซึ่งตัดให้ตายยังไงก็จะมีรูปร่างไม่เกิน 4 ประเภท สองชื่อที่น่าจะคุ้นเคยคือวงกลมและวงรี ส่วนอีกสองชื่ออาจได้ยินไม่บ่อยนัก คือพาราโบลา และไฮเพอร์โบลา

 

วงกลมนั้นหาดูได้ง่ายที่สุด ได้จากการตัดกรวยในแนวขนานกับฐาน เนื่องจากฐานกรวยเป็นวงกลม การตัดขนานกับฐานทำให้ได้รอยตัดกลมด้วย แต่ขนาดของวงกลมขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่ตัด ยิ่งอยู่ใกล้ยอดแหลม วงก็ยิ่งเล็ก

 

วงรีนั้นเหมือนกับการบีบวงกลมให้เบี้ยวไปเล็กน้อย ได้จากการตัดกรวยแบบเฉียงๆเล็กน้อย แต่ยังเฉียงไม่เท่าแนวสูงเอียงของผิวกรวยด้านข้าง ถ้าใครเคยตัดต้นกล้วยหรือเลื่อยท่อน้ำในแนวเฉียงๆ รอยตัดก็จะเป็นวงรีเหมือนกัน

 

พาราโบลาอาจหาดูได้ง่ายตามหลังคาบ้านสมัยนี้ เพราะเป็นรูปร่างของจานดาวเทียมเมื่อมองจากด้านข้าง หรือถ้าใครเคยแกะดูแผ่นสะท้อนแสงรอบๆหลอดไฟฉาย ผิวโค้งของมันก็สร้างขึ้นจากพาราโบลาเหมือนกัน พาราโบลาได้จากการตัดกรวยเฉียงขนานกับแนวสูงเอียงของผิวกรวยพอดีเป๊ะ ถ้ากรวยมีขนาดใหญ่ แขนของพาราโบลาก็จะงอกยาวไปได้เรื่อยๆ (ถ้ากรวยมีขนาดเป็นอนันต์ พาราโบลาก็จะต่อแขนไปได้ไม่สิ้นสุด) เพราะรอยตัดจะไม่หลุดไปจากกรวยซะที แต่จะผ่าเข้าไปในเนื้อกรวยที่กว้างขึ้นเรื่อยๆ

 

ไฮเพอร์โบลาเป็นเส้นโค้งๆสองเส้นที่คอดเข้าหากันตรงกลาง (แต่ไม่แตะกัน) ส่วนปลายของแต่ละเส้นบานออกจากกัน ไฮเพอร์โบลาหาดูได้ยากหน่อย อาจต้องไปเดินหาพนักงานกวาดถนนซึ่งใช้ไม้กวาดทางมะพร้าวอันใหญ่ๆที่ทำจากก้านใบของมะพร้าวจำนวนมากมามัดรวมกันแล้วบิดให้ปลายบานออก ถ้าดูจากด้านข้างก็จะเป็นรูปไฮเพอร์โบลา หรือตัวอย่างที่ใกล้ตัวกว่านั้นและอาจจะทำเองได้ โดยใช้ดินสอสักหนึ่งกำมือ นำหนังยางมามัดไว้ แล้วบิดกำดินสอให้เอียงไปทางเดียวกัน ก็จะมีหน้าตาคล้ายๆไม้กวาดทางมะพร้าว ไฮเพอร์โบลาได้จากการตัดกรวยในแนวที่ชันกว่าแนวสูงเอียงของผิวกรวย ทำให้ตัดไปโดนกรวยอีกอันหนึ่งซึ่งคว่ำหัวอยู่ด้วย รอยตัดจึงมีสองรอย เป็นเส้นโค้งๆคล้ายกับพาราโบลา แต่จะบานกว่า และทั้งสองเส้นวิ่งหนีห่างออกจากกัน

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

Tagged with:

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 4: เส้นตรงและการวัดระยะทาง

สมการเส้นตรง

ความชันเพียงอย่างเดียวยังไม่ได้บอกข้อมูลของเส้นตรงอย่างครบถ้วนนัก เพราะมันบอกเราแค่ว่าเส้นตรงนี้เอียงมากเอียงน้อยอย่างไร แต่ยังไม่ได้บอกว่าเส้นตรงนั้นอยู่ตรงไหน (นึกถึงบันไดของตึกที่มีหลายๆชั้น บันไดขึ้นชั้น 3 กับบันไดขึ้นชั้น 4 อาจจะเอียงเท่ากัน แต่พาดอยู่คนละชั้น) จึงต้องมีข้อมูลอื่นมาช่วยบอกตำแหน่งของเส้นตรงนั้นอีก

สมการเส้นตรงอย่างง่ายที่สุด บอกข้อมูลว่าเส้นตรงเส้นหนึ่งชันเท่าไร และอยู่ตรงไหนของแกนพิกัดฉากโดยบอกจุดตัดแกน y สมการแบบนี้หน้าตาเป็น

y = mx+c

ถ้ากำหนดสมการที่มีข้อมูลความชันและจุดตัดแกน y มาให้ เราจะวาดภาพคร่าวๆของเส้นตรงนั้นได้เลย โดยกำหนดจุดตัดแกน y และลากเส้นตรงให้มีความชันมากน้อยไปตามค่า m ซึ่งทั้งสองค่านี้เป็นข้อมูลที่มีความหมายที่เราเข้าใจได้ ไม่ต้องเอาไปประมวลผลต่อมากนัก

ยังมีสมการเส้นตรงที่นิยมกล่าวถึงกันอีกแบบหนึ่ง คือสมการหน้าตา Ax+By+C = 0 และยังมีรูปแบบนอกเหนือจากนี้ที่ต้องใช้ความรู้เรื่องตรีโกณมิติอีกด้วย ซึ่งแต่ละแบบนั้นแทนเส้นตรงเหมือนกัน จัดรูปสมการถ่ายเทกันไปมาได้ แต่มีประโยชน์ต่างกันในการให้ข้อมูลแก่คนอ่าน

ค่า A,B และ C ในสมการ Ax+By+C = 0 ไม่ได้ให้ข้อมูลอะไรแก่เราโดยตรงเหมือนกับความชันและจุดตัดแกนในสมการแบบแรก แต่ข้อดีคือเราจะใช้ค่า A,B,C นี้มาช่วยในการคำนวณระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรงและระยะห่างระหว่างเส้นตรงสองเส้น นอกจากนั้นสมการรูปนี้ยังใช้เขียนเส้นตรงในแนวดิ่ง (ขนานกับแกน y) ได้ด้วย ซึ่งเส้นตรงชนิดนี้จะไม่ตัดแกน y และมีความชันเป็นอนันต์ จึงเขียนด้วยสมการแบบแรกไม่ได้

การวัดระยะทาง

เมื่อจุดที่อยู่คนละตำแหน่งถึงเป็นคนละจุดกัน เราจึงควรจะมีวิธีวัดว่าจุดสองจุด “ต่างกันเท่าไร” ความแตกต่างระหว่างจุดสองจุดเรียกว่า “ระยะทาง” หมายถึงถ้าเอาไม้บรรทัดไปทาบ จุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดไหนสักจุด แล้ววัดไปจนถึงอีกจุดหนึ่งแบบตรงๆ ไม่เลี้ยวไปไหน แล้วอ่านค่าออกมาว่าได้ตัวเลขเท่าไหร่

ในทางคณิตศาสตร์มีคำอีกคำหนึ่ง เรียกว่า Geodesic มีความหมายว่าเป็น “ความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดที่ใช้ในการเดินทางเปลี่ยนตำแหน่ง” ลองนึกภาพการเดินทางจากบ้านเราเองไปโรงเรียน บางครั้งเราไม่สามารถเดินทางเป็นเส้นตรงได้ ความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจึงอาจจะไม่ใช่ระยะทางตามแนวเส้นตรง แต่ต้องลัดเลาะไปตามทางเท้า หรือวิ่งตามถนนซึ่งเลี้ยวไปเลี้ยวมา ก็ต้องไปวัดระยะทางตามแนวที่คดไปคดมานั้น

แต่บนแผ่นระนาบเปล่าๆที่ไม่มีอะไรมาบัง เช่นระนาบ x-y ที่เราใช้กันอยู่ ไม่มีอะไรมาขวางให้สะดุดหรือเดินไม่ได้ Geodesic คือระยะทางตามแนวเส้นตรง ในเรขาคณิตวิเคราะห์การวัดระยะทางระหว่างของสองชิ้นใดๆก็ตามจะวัดตามแนวตรงเสมอ ของสองชิ้นที่ว่านี้คืออะไรก็ได้ที่เรากำลังจะไปรู้จักมัน ตั้งแต่จุด เส้นตรง วงกลม และรูปภาคตัดกรวยอื่นๆ อย่างไรก็ตามวิธีการวัดระยะทางระหว่างของสองชิ้นใหญ่ๆล้วนแต่เริ่มต้นจากการหาระยะทางระหว่างจุดสองจุดทั้งนั้น

เพื่อนของเราที่บอกว่าจะวัดระยะทางในแนวเส้นตรงได้ยังไงชื่อว่า “พิธากอรัส” สมัยมัธยมต้นเราเคยรู้ว่าทฤษฎีหรือ “สูตร” ของพิธากอรัสใช้หาความยาวด้านใดๆของสามเหลี่ยมมุมฉากเมื่อรู้ความยาวสองด้านที่เหลือ ความรู้เดียวกันนี้ประยุกต์มาใช้ในการคำนวณระยะทางด้วย เพราะระบบแกนพิกัดของเราทำมุม “ฉาก” กันอยู่แล้ว จึงมีมุมฉากให้เรียกใช้เมื่อไหร่ก็ได้ แค่มีเส้นตรงเส้นเดียวก็เหมือนกับมีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเกิดขึ้นมาทันที

จุดสองจุดที่อยู่ต่างที่กัน ไม่ตรงกันทั้งในแนวราบและแนวดิ่ง ค่า x จะต่างกัน และค่า y ก็จะต่างกันเช่นเดียวกัน ผลต่างของค่า x และค่า y นี่แหละที่สร้างด้านสองด้านของ “สามเหลี่ยมมุมฉาก” และเจ้าระยะทางระหว่างจุดสองจุดนั้นคือความยาว “ด้านตรงข้ามมุมฉาก” ของสามเหลี่ยมนี้ ทำให้เราได้สูตรการหาระยะทางระหว่างสองจุดออกมาแบบนี้

ระยะทางระหว่าง  \left( {{x_1},{y_1}} \right) กับ \left( {{x_2},{y_2}} \right) =  \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}}

ถ้าของที่จะวัดมีขนาด หมายถึงแต่ละรูปมีจุดมากกว่าหนึ่งจุด จะมีปัญหาว่าการวัดระยะทางจากรูปหนึ่งไปยังอีกรูปหนึ่ง จะวัดจากจุดไหนของรูปดี ตรงนี้มีข้อตกลงเพื่อให้การวัดต้องทำอย่างรัดกุมยิ่งขึ้น ว่าเราจะวัดระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างรูปสองรูป เพื่อว่ามันจะได้มีผลการวัดได้แค่ค่าเดียว

ถ้าบ้านเราอยู่ตรงด้านหน้าโรงเรียนเป๊ะๆ ห่างจากประตูหน้าโรงเรียนแค่ 20 เมตร แต่ดันเดินไปเข้าประตูอีกฝั่งหนึ่งซึ่งไกลกว่า แล้วจะมาโวยวายว่าบ้านเราอยู่ไกลจากโรงเรียนตั้ง 500 เมตร ก็คงไม่สมเหตุสมผลนัก ถ้าเราวัดระยะทางจากบ้านไปยังจุดอื่นๆของโรงเรียนได้ไกลกว่า 20 เมตรหมดเลย แปลว่าระยะทางที่ควรจะใช้บอกว่าบ้านอยู่ไกลจากโรงเรียนเท่าไหร่ ก็ควรจะเป็น 20 เมตร

ข้อตกลงนี้ทำให้การวัดระยะทางจาก “จุด” ไปยัง “เส้นตรง” ต้องวัดระยะทางที่สั้นที่สุด ซึ่งบังเอิญว่ามันคือระยะทาง “ในแนวตั้งฉาก” จากจุดไปถึงเส้นตรงเส้นนั้นด้วย ถ้าจุดมีพิกัด \left({{x_1},{y_1}}\right) และเส้นตรงมีสมการ Ax+By+C = 0 ระยะทางจากจุดไปถึงเส้นตรงหาได้จาก

d = \frac{{\left| {A{x_1} + B{y_1} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}}}}

ตัวเศษนั้นได้จากการนำพิกัดจุดลงไปแทนค่าในสมการเส้นตรง ใส่ค่าสัมบูรณ์เพื่อรับประกันว่าระยะทางจะมีค่าเป็นบวกแน่ๆ ข้อสังเกตคือถ้าจุดที่แทนค่านั้นอยู่บนเส้นตรง พจน์ที่เป็นตัวเศษจะเท่ากับ 0 ยิ่งจุดอยู่ห่างเส้นมากเท่าไหร่ พจน์นี้ก็จะยิ่งมีค่ามากขึ้นเท่านั้น

ถ้าจะวัดระยะทางระหว่างเส้นตรง 2 เส้น เราต้องการเส้นตรงสองเส้นที่ “ขนานกัน” ก่อน เพราะมันมีระยะห่างกันคงที่ จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเส้นทั้งสองไม่ขนานกัน เนื่องจากเส้นตรงมีความยาวต่อไปได้เรื่อยๆไม่สิ้นสุด ถ้าเส้นไม่ขนานกันเราจะพบว่าลากไปสักพักมันจะตัดกัน ทำให้มีระยะระหว่างกันเป็น 0 จึงไม่ต้องวัดระยะทางให้เสียเวลา

ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน ค่า A และ B จะเป็นชุดเดียวกันด้วย ซึ่งในตอนแรกอาจไม่เท่ากัน แต่จะเป็นอัตราส่วนเดียวกันจึงสามารถคูณค่าคงที่ปรับให้เท่ากันได้ เมื่อเท่ากันแล้วเส้นตรงทั้งสองจะมีสมการ L1 = Ax+By+C_1 และ L2 = Ax+By+C_2 และระยะทางระหว่างเส้นขนานคู่นี้จะเท่ากับ

d =  \frac{{\left| {{C_1} - {C_2}} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

Tagged with:

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 3: เส้นตรง

เส้นตรง ในฐานะเซตของจุด

 

อาจจะฟังดูแย่หน่อยที่นักคณิตศาสตร์ก็ “จนปัญญา” เหมือนกันที่จะหาคำมาอธิบายว่า “เส้นตรง” คืออะไร มันเป็นอย่างนั้นจริงๆ เราอาจจะคิดถึงคำอธิบายประมาณว่า “เซตของจุดที่เรียงตัวอยู่ในแนวเดียวกัน” …ซึ่งถ้าจะทำอย่างนั้นก็จะต้องรู้ก่อนว่า “แนวเดียวกัน” แปลว่าอะไร ทำไปทำมาเราก็เลี่ยงไม่ได้ที่จะต้องกลับมาใช้คำว่า “ตรง” คือวนกลับมาที่เดิม การพยายามอธิบายของพวกนี้จึงไม่ค่อยเกิดประโยชน์อะไร นอกจากทำให้เรื่องยืดยาวโดยใช่เหตุ … วิธีแก้ปัญหาแบบสั้นๆถูกนำมาใช้อีกครั้ง คือการสรุปว่า “ทุกคนรู้จักเส้นตรง ดังนั้นเราจะไม่ให้ความหมายมัน”

เรขาคณิตวิเคราะห์มีทางออกที่ง่ายกว่าอีกแล้ว โดยการบอกว่า …เราไม่ต้องรู้หรอกว่าเส้นตรง “คืออะไร” รู้แค่ว่าเส้นตรงมัน “หน้าตาเป็นยังไง“ ก็พอ

เส้นตรงหน้าตาเป็น “ความสัมพันธ์” บนเซตของจำนวนจริง (แปลว่าคือคู่อันดับ (x,y) ของจำนวนจริง แปลอีกทีว่าเป็น “เซตของจุด”) ซึ่งจุด (x,y) เหล่านั้นสอดคล้องกับสมการ

Ax + By + C = 0

โดยที่ A, B, C เป็นจำนวนจริง (คำว่าสอดคล้องกับสมการ แปลว่าแทนลงในสมการแล้วเป็นจริง)

เวลาสร้างรูปทั่วๆไปจากสมการ เราจะทำทีละจุด คือกำหนดค่า x เป็นตัวเลขอะไรก็ได้ตามใจชอบ แล้วแก้สมการหาค่า y ออกมา ก็จะได้พิกัดของจุด (x,y) ออกมาหนึ่งจุด เอาไปจิ้มลงในตำแหน่งนั้นๆบนแกนพิกัดฉาก ถ้าทำหลายๆครั้ง จุดก็เรียงตัวกันเป็นรูปบางอย่างออกมา

การวาดเส้นตรงไม่ต้องใช้พลังเยอะขนาดนั้น เพราะเรารู้ว่าจุดสองจุดสามารถมีเส้นตรงผ่านได้เส้นเดียว ถ้าแก้สมการเพื่อหาจุดออกมาให้ได้สักสองจุดก็เพียงพอที่จะวาดเส้นตรง เพราะแค่เอาไม้บรรทัดมาทาบให้ผ่านจุดทั้งสองแล้วลากเส้น ก็จะได้เส้นตรงแล้ว

ความชัน

เส้นตรงในเรขาคณิตวิเคราะห์มีสมบัติบางอย่างเพิ่มเข้ามาเรียกว่า “ความชัน”

ความชันเป็นตัวเลขที่จะบอกเราได้ว่า ถ้าต้องการไต่ขึ้น(หรือลง)ไปตามเส้นตรงนี้ จะใช้ความพยายามมากน้อยขนาดไหน ถึงนึกไม่ออกให้คิดถึงเวลาขึ้นบันได ถ้าการก้าวแต่ละครั้งต้องยกขาสูง เราจะบอกว่าบันไดนี้ชันมาก แต่ถ้าต้องก้าวไปข้างหน้ายาวๆ กว่าที่บันไดจะยกตัวขึ้นหนึ่งขั้น เราก็จะบอกว่าบันไดมันไม่ค่อยชันเท่าไหร่ ยิ่งถึงเดินบนพื้นราบ ก็จะบอกว่ามัน “ไม่ชันเลย”

ความชันของเส้นตรงในทางเรขาคณิตนั้นนิยามเลียนแบบความหมายที่เราใช้กันอยู่ในชีวิตประจำวัน ถ้าสมมุติว่าเส้นตรงคือบันได ความชันคืออัตราส่วนระหว่างความสูงที่ต้องยกขาขี้นบันไดหนึ่งก้าว หารด้วยความยาวที่เราต้องยืดขาไปข้างหน้าเพื่อขึ้นบันไดขั้นนั้น

ถ้าเป็นเส้นตรงบนแกนพิกัดฉาก การหาความชันทำได้โดยสร้าง “สามเหลี่ยมมุมฉาก” ขึ้นมาก่อน โดยใช้เส้นตรงที่มีเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก จากนั้นความยาวด้านประกอบมุมฉากตามแนวนอนจะเรียกว่า \Delta x และความยาวในแนวตั้งจะเรียกว่า \Delta y  ซึ่งหมายถึงค่า x และค่า y ที่เปลี่ยนไปเวลาเดินก้าวขึ้นบันไดเอียงๆนี้ เมื่อนำ \Delta y และ \Delta x มาหารกันก็จะได้สิ่งที่เรียกว่าความชันของเส้นตรง

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

Tagged with:

เรขาคณิตวิเคราะห์ ตอนที่ 2: ว่าด้วยจุด

จุด

ตอนเด็กๆ การเขียนจุดคือการเอาดินสอจิ้มลงไปหนึ่งครั้งบนกระดาษ ออกแรงกดอย่างเดียวโดยไม่ต้องลากไปมา เราก็จะได้จุดตามต้องการ จะเล็กหรือใหญ่ขึ้นอยู่กับว่าออกแรงมากน้อยขนาดไหน หรือถ้าต้องการจุดใหญ่มากก็จะต้อง “ฝน” วงกลมเล็กๆให้เต็มวง ซึ่งอนุโลมเรียกว่าจุดได้

ที่ว่ามาคือวิธีเขียนจุดบนกระดาษ ไม่ได้บอกว่าจุดคืออะไร

แล้วจุดคืออะไรล่ะ ?

ในทางคณิตศาสตร์ ถ้าเราอุตริไปบอกว่าจุดคือ “สิ่งที่เขียนได้โดยวิธีการข้างต้น เริ่มจากการใช้ดินสอจิ้ม… ฯลฯ” เราจะพบว่าจุดของแต่ละคนหน้าตาไม่เหมือนกัน เล็กบ้าง ใหญ่บ้าง เบี้ยวๆ รีๆบ้างก็มี … หรือถ้าเปลี่ยนใหม่โดยบอกว่าจุดคือ “ตำแหน่งที่เส้นตรงสองเส้นตัดกัน” เราจะพบปัญหาว่าต้องไปอ้างถึงเส้นตรงต่อไปอีก ก็จะมีคำถามว่า “แล้วเส้นตรงคืออะไร” “ตัดกันแปลว่าอะไร” และ “ตำแหน่งคืออะไร” ทำไปทำมาก็จะพบว่าการนิยามจุดมันยากเหลือเกิน ต้องใช้ความรู้เกือบทั้งหมดที่เรามีเพื่ออธิบายของง่ายๆ …แค่จุด

นักคณิตศาสตร์แก้ปัญหาด้วยวิธีเดิม … คือตกลงกันว่า “จุด” เป็นสิ่งที่ไม่ต้องนิยาม คือเชื่อมั่นแน่นอนว่าทุกคนเข้าใจตรงกันว่าจุดคืออะไร ให้ใครมาชี้ก็ชี้ได้ว่าอันนี้ใช่จุด อันนั้นไม่ใช่จุด … จุดจึงเป็น “อนิยาม” ตั้งแต่นั้นมา

แต่การให้ความหมายไม่ได้ ไม่ได้แปลว่าเราจะไม่ต้องเรียนมัน

กลับกัน มีเรื่องมากมายเกี่ยวกับจุดที่จะได้เรียนในวิชาคณิตศาสตร์ ยกเว้นเรื่องเดียวเท่านั้นแหละ คือคำถามว่า “จุดคืออะไร”

จุดในวิชาเรขาคณิต หน้าตาเป็น “คู่อันดับ” ซึ่งประกอบด้วยจำนวนจริงสองตัวเขียนเรียงกันในวงเล็บ คั่นด้วยลูกน้ำตรงกลาง หมายถึงพิกัดตามแนวแกน x และแกน y ตามลำดับ

ค่า x หรือเลขตัวแรกในคู่อันดับ บอกว่าจุดของเรานั้นอยู่ทางซ้ายหรือทางขวาของจุดกำเนิด (จุดที่แกน x และ y ตัดกัน) เป็นระยะทางเท่าไหร่ ส่วนค่า y ก็บอกว่าจุดของเราอยู่ด้านบนหรือด้านล่างของจุดกำเนิดเป็นระยะทางเท่าไหร่ เช่น (1,5) แปลว่าจุดนี้อยู่ทางขวาของจุดกำเนิด วัดไป 1 หน่วย และอยู่ด้านบนของจุดกำเนิด วัดขึ้นไปจากเมื่อกี้อีก 5 หน่วย

เหตุที่เราต้องใช้ตัวเลขถึงสองตัวในการเรียกจุดหนึ่งจุดเป็นเพราะ “จุดเดียวไม่พอใช้” ในระนาบ ถ้าบอกตัวเลขแค่ค่าเดียวเราจะบอกได้แต่ระยะทาง โดยไม่รู้ว่าต้องเดินอย่างไร ซึ่งการบอกเลขสองตัวให้เดินซ้าย – ขวา – ขึ้น – ลงนั้นเพียงพอต่อการใช้งานในระนาบ ก็เลยตกลงกันว่าให้ใช้คู่อันดับในการบอกตำแหน่งจุดหนึ่งจุด

ถึงจุดจะมีหน้าตาเป็นคู่อันดับ แต่จุด “ไม่ใช่” คู่อันดับนะ งงไหม…

การเรียกจุดด้วยคู่อันดับเป็นการบอก “คุณสมบัติ” อันหนึ่งของจุดหนึ่งจุด คือบอกว่าจุดนั้น “อยู่ตรงไหน” (ซึ่งก็ไม่ได้บอกว่าจุดคืออะไรอยู่ดี)

คู่อันดับยังถูกนำไปใช้ที่อื่น ซึ่งไม่ได้หมายความถึงจุดเลยก็มี เช่น ในเรื่องทฤษฎีจำนวน เราสามารถเขียน (A, B) หมายถึง “ตัวหารร่วมมากของ A และ B” ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันในวิชานั้น ทำให้ช่วยยืนยันได้ว่าจุดกับคู่อันดับไม่ใช่สิ่งเดียวกัน เราแค่ใช้คู่อันดับมาเป็นชื่อเรียกของจุดในวิชานี้เท่านั้นเอง

จุดกำเนิด

อันที่จริงแกน x และ y ก็คือเส้นจำนวนสองเส้นมาวางตั้งฉากกันโดยให้เลข 0 ของทั้งสองเส้นมาเจอกันพอดี ตรงจุดที่แกน x และ y ตัดกันเรียกว่าจุดกำเนิดจึงมีพิกัดเป็น (0,0)

จุดกำเนิดทำตัวเป็น “ศูนย์กลาง” และเป็น “มาตรฐาน” ให้จุดอื่นๆทั้งหมดบนระนาบนี้มาวัดค่าเปรียบเทียบกับมัน นั่นคือการจะบอกว่าอะไรอยู่ตรงไหนบนแกนพิกัดฉาก (บน ล่าง ซ้าย ขวา) ตำแหน่งของมันจะถูกวัดโดยเทียบกับจุดกำเนิดเสมอ

เดาเอาว่าทำไมมันถึงชื่อว่าจุดกำเนิด

มีสองคำอธิบายที่ฟังดูดีทั้งคู่ คำอธิบายชุดแรกคือ ในวิชาฟิสิกส์ จะยุ่งเกี่ยวกับสิ่งที่เรียกว่า “เวกเตอร์” ซึ่งวางอยู่บนแกนพิกัดฉากเหมือนกัน การเรียกเวกเตอร์ใช้สัญลักษณ์คล้ายๆการเรียกจุด เช่นเขียนว่า <1,5> แปลว่าเวกเตอร์ที่มีองค์ประกอบแนวนอน 1 หน่วย แนวตั้ง 5 หน่วย หรือเป็นเวกเตอร์ที่มี “หัวลูกศร” อยู่ที่จุด (1,5) และ “หาง” อยู่ที่ (0,0) โดยไม่จำเป็นต้องเขียนตำแหน่งหางให้เห็น การถือเอาจุด (0,0) เป็นหางนี้ถือเป็นมาตรฐาน แปลว่าจะสร้างเวกเตอร์ใดๆก็ตามจะมี “หาง” (หรือจุดที่เริ่มลากเส้น) จาก (0,0) ออกไปเสมอ ถ้าจะโยงเข้าเรื่องนี้ก็คงพูดได้ว่าจุด (0,0) เป็น “ที่เกิด” หรือ “จุดกำเนิด” ของเวกเตอร์ทั้งหลาย

อีกคำอธิบายนึงคือ ถ้าเราได้เรียนการสร้างรูปภาคตัดกรวยในครึ่งหลังของบทนี้ จะพบว่าสมการรูป “อย่างง่าย” ของแต่ละรูปนั้นให้รูปที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) ทั้งนั้นเลย ก่อนที่เราจะเลื่อนแกนเพื่อเคลื่อนย้ายรูปไปอยู่ที่อื่น จึงน่าจะพูดได้ว่าจุด (0,0) เป็น “บ้านเก่า” หรือ “ที่เกิด” ของรูปเรขาคณิตอย่างง่ายได้เหมือนกัน

เซตของจุด

ในบทเรียนเรื่องเซต เราได้รู้ว่าเซตนั้นเป็นกล่องวิเศษ ใส่อะไรลงไปก็ได้ทั้งนั้น รวมถึงใส่ “จุด” ก็ได้ การสร้างรูปเรขาคณิต (รวมทั้งรูปทุกชนิดที่วางอยู่บนแกนพิกัดฉาก) ทำได้โดยการเรียงจุดจำนวนมากมายนับไม่หวาดไม่ไหวให้อยู่ติดๆกันจนดูแล้วกลายเป็นเส้นขึ้นมา เส้นที่ได้นี้จะเป็นรูปอะไรขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่บังคับให้จุดเรียงตัวกัน ซึ่งก็คือ “สมการ” นั่นเอง

ในเรื่อง “ความสัมพันธ์” เรานิยามว่าความสัมพันธ์คือเซตของคู่อันดับซึ่งสมาชิกตัวหน้าอยู่ในเซตหนึ่ง สมาชิกตัวหลังอยู่ในอีกเซต สมาชิกตัวหน้าและตัวหลังจะ “เกี่ยวดอง” กันด้วยอะไรบางอย่าง ซึ่งมักจะคือสมการนั่นเอง นั่งดูดีๆสักพักก็จะรู้ว่า “เซตของจุด” ซึ่งวาดเป็นรูปเรขาคณิตได้ในบทนี้…มันคือ “ความสัมพันธ์” ดีๆนี่เอง

ในบทเรขาคณิตวิเคราะห์จะไม่ค่อยได้ใส่ใจฐานะ “ความสัมพันธ์” ในบทก่อนหน้าสักเท่าไหร่ แต่จะข้ามขั้นไปเป็นการเชื่อมโยงระหว่างสมการกับรูปกราฟที่สมการนั้นให้ออกมา (ซึ่งที่จริงรูปนั้นคือกราฟของความสัมพันธ์นั่นแหละ) การคิดคำนวณก็จะวนอยู่กับเรื่องสมการ รูปที่วาดได้จากสมการ และสมบัติต่างๆของรูปเหล่านั้น เรขาคณิตวิเคราะห์บอกเราว่า ถ้ามีอย่างใดอย่างหนึ่งในสามอย่างนี้ เราสามารถหาอีกสองอย่างที่เหลือได้ เช่นให้ข้อมูลของรูปวงรีมาว่ากว้าง – ยาวเท่าไหร่ เราสามารถจะหาสมการวงรีได้โดยไม่ต้องวาดรูปเลย หรือถ้าให้สมการพาราโบลามา เราสามารถหาจุดยอด จุดโฟกัส ฯลฯ ได้โดยไม่ต้องวาดรูปอีกเช่นกัน

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

เรขาคณิตวิเคราะห์ ตอนที่ 1: แปลชื่อวิชา

เรขาคณิตวิเคราะห์

รู้จักเรขาคณิตกันซะก่อน…

 

เรขาคณิต มีชื่อภาษาอังกฤษว่า Geometry

ถ้าใครรู้รากศัพท์อังกฤษสักหน่อย จะพอแยกคำนี้ได้เป็น Geo + metry

 

Geo แปลว่า “โลก”

ส่วน metry แปลว่า “การวัด”

 

ดังนั้นถ้าเอารากศัพท์มารวมกันตรงๆ จะได้ความหมายของเรขาคณิตว่าคือ “การวัดโลก”

ซึ่งโดยกำเนิดของคำนี้แล้ว ไม่ได้ผิดไปจากความหมายของมันเลย

 

ความรู้เรื่องการหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม วงกลม ฯลฯ เหล่านี้ กำเนิดมาจากศาสตร์แขนงหนึ่งชื่อว่า การรังวัด แปลว่าการหารูปร่างและขนาดของที่ดินซึ่งรู้ขอบเขตที่แน่นอน ความรู้สำคัญที่ได้จากเรื่องการรังวัดก็คือ ที่ดินในความครอบครองของใครสักคนอาจมีรูปร่างแปลกๆอย่างไรก็ได้ (ขอให้เป็นเหลี่ยมๆ ไม่ใช่โค้งๆ) แต่รูปเหล่านั้นสามารถนำมาแตกย่อยเป็นรูปสามเหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมเล็กๆหลายๆรูปต่อกันได้เสมอ รูปร่างพื้นฐานจำพวกสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และหลายเหลี่ยม เหล่านี้เรารู้จักกันในนาม “รูปเรขาคณิต” ซึ่งแตกต่างจากรูปร่างอิสระอื่นๆตรงที่มันมีสูตรการคำนวณพื้นที่ที่แน่นอนและไม่ค่อยซับซ้อนเท่าไหร่

เรขาคณิตอย่างง่าย ที่เราได้เรียนกันในสมัยประถมสืบมาจนถึงตอนนี้ เป็นเรขาคณิตบนระนาบ แปลว่าเป็นรูปร่างบนกระดาษหรือพื้นอะไรก็ตามที่แบนๆ เรียกว่าเรขาคณิตของ “ยูคลิด” เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ซึ่งเป็นคนรวบรวมและคิดค้นระเบียบวิธีคิดเกี่ยวกับ “รูปร่างบนแผ่นแบนๆ” ทั้งหลายไว้

 

ต่อมาเมื่อผู้คนเริ่มรู้ว่าโลกไม่ได้แบน แต่มีลักษณะเกือบๆกลม การวัดหรือคำนวณอะไรก็ตามบนผิวโลกต้องทำโดยถือว่ามันเป็นผิวโค้ง ซึ่งได้คำตอบไม่เท่ากับตอนที่คำนวณบนระนาบแบบๆ ก็เลยมีคนคิดวิธีคำนวณต่างๆขึ้นมาสำหรับรูปร่างบนผิวโค้ง ซึ่งผิวโค้งมีได้หลายแบบเช่นทรงกลม ทรงกรวย อานม้า ทรงกระบอก ฯลฯ การคำนวณก็จะแตกต่างกัน เกิดเป็นเรขาคณิตอีกสาขาใหญ่ๆสาขาหนึ่ง เรียกว่าเรขาคณิตนอกแบบยูคลิด (Non-Euclidean Geometry) ความหมายของมันก็เป็นไปตามชื่อ คือเป็นเรื่องเรขาคณิตในแบบอื่นๆที่ยูคลิดไม่ได้เขียนไว้

ถ้าสมมุติว่าเราต้องการวัดพื้นที่ของประเทศไทย ซึ่งกินพื้นที่มากพอสมควรบนโลกที่มีรูปทรงเป็นทรง(เกือบๆ)กลม เราก็จะต้องอาศัยความรู้เรื่อง Non-Euclidean Geometry ที่ว่ามานี้

 

เรขาคณิต + วิเคราะห์

ก่อนจะมีเรขาคณิตวิเคราะห์ เรามีสิ่งที่เรียกว่า Classical Geometry หรือเรขาคณิตแบบเก่า เป็นการศึกษาจุด เส้น และรูปร่างที่วาดขึ้นลอยๆ ไม่มีอะไรมาบอกว่า “รูปอยู่ตรงไหน” เช่นถ้าวาดวงกลมขึ้นมาหนึ่งวง จุดศูนย์กลางและเส้นรอบวงจะลอยๆอยู่ในกระดาษ ไม่มีอะไรมาบอกว่าตรงไหนด้านบน ล่าง ซ้าย ขวา จะพลิกจะหมุนรูปยังไงก็ยังถือว่าเป็นรูปเดิมอยู่ ถ้าลากส่วนของเส้นตรงขึ้นมาหนึ่งเส้นก็จะไม่มีสิ่งที่เรียกว่า “ความชัน” เพราะเราสามารถหมุนรูปเล่นได้ตามใจชอบ จะชันมากชันน้อยขึ้นอยู่กับว่าตะแคงไปอย่างไร

ส่วนเรขาคณิตแบบใหม่ก็คือวิชานี้นั่นเอง ซึ่งมีการเพิ่มสิ่งใหม่เรียกว่า “แกนพิกัดฉาก” ลงไปในรูป ทำให้เกิดการ “วิเคราะห์” เพิ่มขึ้นจากเดิมมากมาย แกนพิกัดฉากอย่างเดียว ทำให้จุดทุกจุดมี “ชื่อเรียก” ขึ้นมาได้ ไม่ว่าจุดนั้นจะอยู่บนรูปที่เราวาดหรือไม่ และยังทำให้รูปมีทิศทางกำกับไว้ ถ้าจะหมุนหรือพลิกรูปก็ต้องทำการเลื่อนจุดบนรูป ไม่ใช่หมุนกระดาษเอาเองเหมือนแบบเก่า

 

การวิเคราะห์เริ่มจริงจังเมื่อเราใช้สมการและเซตเข้ามาอธิบายจุด เส้น และรูปร่างต่างๆ จากเดิมที่รูปร่างทั้งหลายเกิดจากการวาดเท่านั้น กลายเป็นว่าไม่ต้องวาดรูปก็สร้างนั่นสร้างนี่และคำนวณได้มากมาย รูปทุกรูปจะมีหน้าตาเป็น “เซตของจุด” ที่มีเงื่อนไขตามสมการบางอย่าง เวลาเขียนก็เป็นที่เข้าใจกันว่า เขียนสมการอย่างเดียวหมายถึงรูปได้แล้ว และถ้ามีรูปก็สามารถแปลงกลับเป็นสมการได้เช่นกัน

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์