ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

Archive for the ‘เซต’ Category

เซต – ตอนที่ 7: แผนภาพ และการนับในเซตที่ยูเนียนกัน

แผนภาพเวนน์ ออยเลอร์

เซต (รวมทั้งสัญลักษณ์อื่นๆทางคณิตศาสตร์ด้วย) เป็นสิ่งนามธรรม เพราะกล่องที่แทนเซตนั้นไม่ได้มีอยู่จริงๆ เพื่อความง่ายในการคำนวณหรือเอาไปอธิบายให้ใครสักคนเข้าใจ ก็เลยมีคนตกลงวิธีการ “วาดรูป” เซตขึ้นมาให้มันดูเป็นรูปธรรมขึ้นหน่อย นักคณิตศาสตร์ที่ออกแบบวิธีการนี้ขี้นมาคือ เวนน์ และออยเลอร์

วิธีการก็คือ วาดเอกภพสัมพัทธ์เป็นกรอบใหญ่สุด โดยปกติจะวาดเป็นรูปสี่เหลี่ยม (แต่ไม่จำเป็น) เซตอื่นๆที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ให้วาดเป็นวง (จะกลมหรือไม่กลมก็ตามสะดวก) ซ้อนกันบ้าง ไม่ซ้อนกันบ้าง บางทีก็วาดให้วงหนึ่งอยู่ในอีกวงหนึ่ง ซึ่งแต่ละแบบมีความหมายต่างกัน

  • วาดสองวงให้ทับกันบางส่วน แปลว่าสองเซตนั้นมีส่วนที่ซ้ำกัน (Intersection ไม่เป็นเซตว่าง)
  • ถ้าวาดสองวงไม่ทับกันเลย แปลว่าสองเซตนั้นไม่มีสมาชิกร่วมกัน
  • ถ้าวาดวงหนึ่งให้อยู่ในอีกวงหนึ่ง แปลว่าเซตนั้นเป็น “สับเซต” ของวงที่ใหญ่กว่า

แผนภาพเวนน์ ออยเลอร์ไม่เกี่ยวว่าเซตที่วาดจะมีจำนวนสมาชิกอะไรบ้าง มีจำนวนมากหรือน้อยแค่ไหนก็ได้ ส่วนมากเราจะใช้แผนภาพช่วยในการคำนวณจำนวนสมาชิกของเซต หรือแสดงการเกี่ยวข้องกัน (เช่นทับกัน ไม่ทับกัน หรือเป็นสับเซต)

หลักการเพิ่มเข้าและตัดออก

ถ้าเรานับจำนวนคนที่เป็นนักเรียน กับคนที่เป็นพนักงานร้านสะดวกซื้อในจังหวัดฉะเชิงเทรา นับกลุ่มละครั้งแยกจากกันเราจะได้ตัวเลขออกมาสองตัว แต่ถ้านับอีกครั้งให้คนทั้งสองกลุ่มนี้อยู่รวมกัน เราจะได้จำนวนซึ่งน้อยกว่าผลบวกสองจำนวนแรก … ที่เป็นเช่นนี้ได้เพราะคนหนึ่งคนอาจมีได้หลายตำแหน่งหน้าที่ บางคนเป็นนักเรียนและเป็นพนักงานร้านสะดวกซื้อได้ด้วย (ทำงาน part time) คนที่อยู่ในทั้งสองกลุ่ม เวลาเรานับแยกจากกันก็จะถูกนับสองครั้ง แต่พอให้รวมกลุ่มก็จะถูกนับแค่ครั้งเดียว

การคำนวณหาจำนวนสมาชิกที่เกิดจากการ Union ของเซตตั้งแต่สองเซตขึ้นไป สามารถหาด้วยแผนภาพเวนน์ ออยเลอร์ก็ได้ หรือหากไม่ถนัดการวาดรูป ก็มีสูตรคำนวณด้วยเช่นกัน โดยความสัมพันธ์ของสูตรกับชิ้นส่วนต่างๆของเซตที่มีมาให้ สามารถจัดเป็นกลุ่มๆได้ว่าเป็นการ “เพิ่มเข้า” และ “ตัดออก” เมื่อจำนวนเซตที่เอามายูเนียนกันมีมากขึ้นเรื่อยๆ

เพื่อจะเข้าใจหลักการนี้ ให้นึกถึงกระดาษที่ตัดเป็นวงกลมสองแผ่น เอามาซ้อนกันเล็กน้อย บริเวณที่ซ้อนกันจะหนากว่าตรงอื่น (เพราะมีกระดาษสองชั้น ขณะที่ตรงอื่นมีชั้นเดียว) ถ้าถามว่ากระดาษที่ซ้อนกันแล้วนี้มีพื้นที่ที่ปรากฏให้เห็นจริงๆเท่าไหร่ จะเอาพื้นที่วงกลมสองวงบวกกันทันทีย่อมไม่ได้ เพราะมันมีพื้นที่ส่วนที่หายไปจากการซ้อนทับ การหาพื้นที่เฉพาะส่วนที่ปรากฏให้เห็นด้านบน ต้องบวกพื้นที่วงกลมสองวงเข้าด้วยกัน (เรียกว่าการเพิ่มเข้า) แล้วหักออกด้วยพื้นที่ของส่วนที่ซ้อนทับ (เรียกว่าการตัดออก) ถ้าเราตัดพื้นที่ที่ซ้อนทับกันออกจริงๆ แล้วเอามาวางต่อกันก็จะพบว่าทุกๆบริเวณมีความหนาเท่ากันแล้ว

เมื่อสองเซตมีสมาชิกซ้ำกัน การนับจำนวนสมาชิก ”ทั้งหมดที่มี” ของทั้งสองเซตเราจะไม่นับซ้ำ (แปลว่าสมาชิกที่ซ้ำกันในทั้งสองเซตถูกนับครั้งเดียว) ถ้าเรานำจำนวนสมาชิกในแต่ละเซตมาบวกกันเลยทันที คำตอบจะ “เกิน” (เพราะสมาชิกที่ซ้ำถูกนับสองครั้ง เหมือนกระดาษซ้อนกันสองชั้น) จึงจำเป็นต้องลบด้วยจำนวนสมาชิกที่ซ้ำออก

สรุปได้ว่า n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)

สองพจน์แรก คือ n(A) + n(B) เรียกว่าขั้นตอนการ “เพิ่มเข้า”

ส่วนการลบพจน์สุดท้าย - n(A \cap B) เรียกว่าขั้นตอนการ “ตัดออก”

ถ้ามีสามเซตหรือมากกว่านั้น ก็จะยังใช้วิธีนี้ได้อยู่ โดยการเพิ่มเข้าและตัดออกสลับกันไป การเพิ่มเข้าครั้งแรกสุดคือนำสมาชิกของทุกเซตรวมกัน ตัดออกด้วยสมาชิกที่ซ้ำกันในแต่ละคู่ของเซต เพิ่มเข้าอีกทีด้วยสมาชิกที่ซ้ำกันระหว่างสามเซต ตัดออกอีกครั้งด้วยสมาชิกที่ซ้ำกันระหว่างสี่เซต …ไปเรื่อยๆ จนสุดท้ายเป็นการเพิ่มเข้าหรือตัดออกด้วยสมาชิกของทุกเซตอินเตอร์เซคกัน

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เซต

เซต – ตอนที่ 6: การดำเนินการของเซต

การดำเนินการของเซต

คณิตศาสตร์ม.ปลายหลายๆบทจะมีสิ่งแปลกใหม่ที่ไม่เคยเห็นมาก่อนในม.ต้น อยู่เสมอ ทุกครั้งที่มีของใหม่ เราจะให้นิยามเสมอว่า “มันคืออะไร” หน้าตาเป็นยังไง เอาไว้ใช้ทำอะไร หรือเป็นตัวแทนของอะไร หลังจากรู้จักมันแล้วก็จะมี “การคำนวณ” ระหว่างกันเกิดขึ้น

ในเรื่องเซต วัตถุชิ้นใหม่ที่เสนอหน้าออกมาคือ “เซต” ซึ่งเรารู้แล้วว่าหน้าตาของมันคล้ายๆกล่องใส่ของ นักคณิตศาสตร์เขาตกลงกันแล้วว่า ถ้ามีกล่องตั้งแต่สองกล่องขึ้นไป เราจะมาคำนวณอะไรกันดีถึงจะมีประโยชน์และเอาไปใช้ในโลกของความจริงได้ ตกลงกันเรียบร้อยก็มาบัญญัติ “การคำนวณระหว่างเซต” ไว้แบบนี้

ตัวดำเนินการระหว่างเซตที่ใช้กันบ่อยๆมีอยู่ 4 ตัวคือ ยูเนียน อินเตอร์เซตชัน คอมพลีเมนต์ และการลบ

ยูเนียน : คือการเอาของมากองรวมกัน

อินเตอร์เซคชัน : คือการหยิบมาเฉพาะของที่ซ้ำกันระหว่าง 2 กอง ส่วนที่ซ้ำกันคือสับเซตที่ใหญ่ที่สุดทั้งสองเซตมีร่วมกัน (ลองไปคิดดูว่าจริงไหม)

คอมพลีเมนต์ : คือส่วนที่นอกเหนือไปจากของที่มี (คือเอามาแต่ตัวอื่นๆในเอกภพสัมพัทธ์ นอกเหนือจากเซตเดิม)

การลบ : คือการเลือกของที่มีในเซตหนึ่งแต่ไม่มีในอีกเซต

ที่จริงแล้ว “การลบ” เซตสามารถเขียนให้อยู่ในรูปอินเตอร์เซคชันและคอมพลีเมนต์ได้ (ซึ่งแปลว่ามีการดำเนินการแค่ 3 ชนิดแรกก็พอใช้แล้ว) แต่เนื่องจากเราใช้การลบเซตกันค่อนข้างบ่อย และมันมีความหมายบางอย่างที่น่าศึกษา ซึ่งต่างจากการลบของจำนวน จึงเขียนแยกออกมาเป็นการดำเนินการอีกตัวนึงโดยเฉพาะ

เรา “ดำเนินการ” กับเซตทำไม

พวกเราบางคนน่าจะเคยสั่งอาหารที่ไม่ใส่เครื่องปรุงบางอย่างกันมาบ้าง “เล็กต้มยำไม่งอก” เป็นตัวอย่างหนึ่งที่ได้ยินบ่อยๆ

ถ้าจะโยงเข้าหาเรื่องเซต ก็ต้องบอกว่าคนขายมี “เซต” ของส่วนผสมต่างๆที่เป็นมาตรฐานสำหรับทำอาหารแต่ละอย่างเอาไว้แล้ว เวลาไปสั่งเขาก็จะหยิบๆๆลวกๆๆ แล้วเอาทุกอย่างมาผสมกันในที่สุด เช่นเซตของเครื่องปรุงที่ใช้ใน “เส้นเล็กต้มยำ”

การเพิ่ม “ไม่งอก” เข้าไป เป็นการกำหนดเงื่อนไขของเซตให้เฉพาะเจาะจงมากขึ้น เรียกว่าเป็นสับเซตของเซตเดิม ก็จะได้เซตใหม่หน้าตาเป็น

{x | x เป็นเครื่องปรุงของเส้นเล็กต้มยำ และ x ไม่ใช่ถั่วงอก}

หรือจะมองว่าเป็นการ “ลบ” เอาสมาชิกบางตัวออกจากเซต (ถั่วงอก) ก็ได้เหมือนกัน เช่น

{x | x เป็นเครื่องปรุงเส้นเล็กต้มยำ}–{ถั่วงอก}

ถึงตรงนี้…มีใครเคยสั่ง “เส้นเล็กต้มยำ…ไม่ใส่มะม่วง” บ้างไหม

แม่ค้าคงจะมองหน้าแบบงงๆ อาจจะตอบอย่างสุภาพว่า “ไม่ได้ใส่มะม่วงอยู่แล้วนี่คะ” หรือผรุสวาทเป็นคำไม่สุภาพออกมาบ้างว่า “ก๋วยเตี๋ยวบ้าน _ เหรอ ใส่มะม่วงด้วย” แล้วก็ก้มหน้าก้มตาทำเส้นเล็กต้มยำที่เราสั่งไป

การลบเอา “มะม่วง” ออกจากเซตที่ไม่มีมะม่วง ย่อมไม่เกิดอะไรขึ้น เส้นเล็กต้มยำยังคงจะหน้าตาเหมือนที่มันเคยเป็น … มะม่วงที่เราพูดถึงตอนสั่งอาหารไม่ได้มาเกี่ยวอะไรด้วยเลย การดำเนินการที่ไปพาดพิงถึงสมาชิกที่ไม่มีอยู่ในเซตจึงไม่ทำให้เกิดอะไรขึ้นมา

เวลาดำเนินการหลายๆครั้ง …เราจะพบว่า

มันน่างงมากเลย … เพราะมันจะมีกองเซต ปะปนอยู่กับเครื่องหมาย และสิ่งที่เรามักจะเจอคือคำถามว่า …จะจัดการมันให้ดูง่ายขึ้นได้ยังไง

ถ้าเคยเรียนการจัดรูปสมการมาก่อน เรื่องเซตก็ทำแบบเดียวกัน…สิ่งที่เราใช้คือ “เอกลักษณ์” ของเซต คำว่าเอกลักษณ์หมายความว่ามีอะไรสองชิ้น ที่คุณสมบัติมันเหมือนกันทุกอย่าง เรียกว่าเป็นสิ่งเดียวกันนั่นแหละ (แต่ดันเขียนคนละแบบ) สามารถเอาไปแทนที่กันได้ … เช่นเอกลักษณ์ของพหุนาม (ม.ต้น) {\left( {X + Y} \right)^2} ={X^2} + 2XY + {Y^2} ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับ มีค่าเท่ากันเสมอไม่ว่า X, Y จะเป็นเลขอะไร ดังนั้นในเรื่องจำนวนจริง เราสามารถ “เอาไปใช้แทนที่” กันได้ทุกครั้ง

เซตก็จะมีเอกลักษณ์ของมันให้ใช้อยู่กลุ่มหนึ่ง เป็นเครื่องมือให้หยิบใช้ได้ แต่ถ้าถามว่าเมื่อไหร่จะหยิบใช้ตัวไหน ก็แล้วแต่จังหวะและโอกาส ถ้าจะตอบแบบที่เขาตอบๆกันก็ต้องบอกว่า ต้องทำโจทย์เยอะๆจนรู้ได้เองว่าเทคนิคไหนมันใช้ได้ เอกลักษณ์ของเซตเหล่านี้ ถ้าใช้ไปสักพักเราจะเข้าใจมันเองโดยไม่ต้องจำ และจะรู้ว่าเมื่อไหร่ควรหยิบตัวไหนมาใช้

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เซต

เซต – ตอนที่ 5: เพาเวอร์เซต

การเท่ากัน

เราจะพูดได้ว่าสมศักดิ์และสมศรีจัดกระเป๋าเหมือนกัน ถ้าสมศักดิ์และสมศรีมีของในกระเป๋าทุกชิ้น เหมือนกันหมด (ไม่มีอะไรที่คนหนึ่งมี แต่อีกคนไม่มี ถ้าเย็นนี้ทั้งสองคนสลับกระเป๋ากันกลับบ้านไปก็จะไม่มีใครรู้) ในเรื่องของเซตก็นิยามการเท่ากันในแบบนี้ คือเซตสองเซตจะเท่ากันเมื่อทั้งคู่มีสมาชิกเหมือนกันเด๊ะ

 

ถ้าเปรียบเทียบกับระบบจำนวน a กับ b จะเท่ากันเมื่อ a \le b และ b \le a พร้อมๆกัน หมายความว่าจำนวนทั้งสองไม่ได้มากหรือน้อยไปกว่ากัน มันจึงเท่ากัน

ในเรื่องเซตก็มีสมบัติคล้ายๆกันนี้คือ A = B เมื่อ A \subset B และ B \subset A พร้อมๆกัน หมายความว่าสมศักดิ์จัดกระเป๋าได้ไม่น้อยหน้าไปกว่าสมศรี และสมศรีก็จัดกระเป๋าได้ไม่น้อยกว่าสมศักดิ์ ผลก็คือกระเป๋าของทั้งสองคนมีของเหมือนๆกัน

 

 

เพาเวอร์เซต

อย่างที่บอกตั้งแต่แรก … เซตสามารถบรรจุเซตไว้ข้างในอีกชั้นหนึ่งได้ เพราะเซตสามารถใส่อะไรก็ได้ทั้งนั้น ถ้าเรามีเซตเดิมชื่อว่า A แล้วทำการหาสับเซตทุกตัวของ A เอาไว้ จากนั้นจับยัดลงไปในเซตเซตหนึ่ง เซตที่สร้างขึ้นใหม่นี้เรียกว่า “เซตกำลัง” หรือ “เพาเวอร์เซต”

ชื่อนี้มีที่มาเกี่ยวข้องกับคำว่า “ยกกำลัง” ซึ่งหมายถึงเลขยกกำลังที่เราใช้กันอยู่บ่อยๆ

สัญลักษณ์มาตรฐานของเพาเวอร์เซตของ A คือ P(A) แต่บางครั้งก็จะเขียนว่า 2^A เนื่องจากว่าถ้าเซต A มีสมาชิก n ตัว เพาเวอร์เซตจะมีจำนวนสมาชิกเป็น 2^n

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เซต

เซต – ตอนที่ 4: สับเซต

สับเซต เพาเวอร์เซต

สับเซตเป็นการ “จัดกลุ่มใหม่ให้เล็กลงไปจากกลุ่มเดิม”

Sub ในภาษาอังกฤษเป็น prefix แปลว่าย่อย เล็ก หรือเตี้ย ในเรื่องสับเซตนี้จะแปลว่าเล็กหรือย่อย หมายถึงเซตที่เล็กกว่า แต่ถ้าจะโมเมว่ามันเป็นภาษาไทยก็คงต้องบอกว่าเป็นการนำเซตที่มีอยู่มา “สับๆๆๆ” ให้เป็นชิ้นเล็กชิ้นน้อย ซึ่งก็น่าจะได้เหมือนกัน

ถ้านายสมศักดิ์มีกระเป๋าใบหนึ่ง เมื่อวานนี้ใส่สมุด 3 เล่ม ปากกา ดินสอ และยางลบไปโรงเรียน วันต่อมาเกิดรู้สึกว่ากระเป๋าหนักไป เลยจัดของซะใหม่ เอาสมุดใส่ไปแค่ 2 เล่ม พร้อมดินสอและยางลบเท่านั้น กระเป๋าของสมศักดิ์ในวันรุ่งขึ้นจึงเบาลง

เหตุการณ์อย่างเดียวกันนี้ถ้าเกิดขึ้นในเรื่องเซต เราจะเรียกว่าการเป็น “สับเซต” ซึ่งคือกรณีที่เซตหนึ่งบรรจุสมาชิกครอบคลุมทุกตัวที่อีกเซตหนึ่งมี ถ้าพูดเรื่องกระเป๋าสมศักดิ์ก็ต้องบอกว่า กระเป๋าของวันนี้ เป็นสับเซตของเมื่อวานนี้ เพราะว่าเอามาจัดซะใหม่ โดยหยิบของบางอย่างออกให้เหลือน้อยลง และไม่ได้ใส่อะไรลงไปเพิ่ม

ถ้าเซต M เป็นเซตของผู้ชายในประเทศไทย การระบุเงื่อนไขที่ยิบย่อยไปกว่านี้จะทำให้ได้เซตที่เล็กลง เป็นสับเซตของเซตเดิม เช่น เซตของชายไทยที่เกณฑ์ทหารแล้ว เซตของชายไทยที่แต่งงานแล้ว เซตของชายไทยที่สูงเกิน 170 เซนติเมตร ทั้งหมดนี้เป็นสับเซตของเซต M เพราะสมาชิกทุกตัวของเซตที่พูดถึงนั้นเป็นผู้ชายในประเทศไทยทั้งหมด จึงอยู่ในเซต M ถ้าต้องการเงื่อนไขที่เข้มงวดขึ้น เช่น ชายไทยที่เกณฑ์ทหารแล้ว และสูงเกิน 170 เซนติเมตรด้วย ก็จะได้เซตที่เล็กลงไปกว่าเดิมอีก เป็นสับเซตของเซตที่พูดถึงก่อนหน้านี้

ถ้า A ={1, 3, 5, 9}และ B ={1, 3, 5, 7, 9, 11}จะเห็นว่าใน A มีอะไรอยู่ B ก็จะมีสิ่งนั้นด้วยเสมอ แบบนี้เรียกว่า A เป็นสับเซตของ B เขียนได้ว่า A \subset B

นิยามก็คือ A จะเป็นสับเซตของ B เมื่อ ของแต่ละชิ้นใน A ล้วนไปปรากฎอยู่ใน B ทั้งหมด

ไม่มีของชิ้นไหนที่ A มีคนเดียว แต่ B ไม่มี

ถ้า C ={2, 4, 6}และ D ={2, 4, 7}จะเห็นว่า 6 อยู่ใน C แต่ไม่อยู่ใน D สรุปว่า C \not\subset D

ข้อสำคัญก็คือ การที่สิ่งใดสิ่งหนึ่งจะทำตัวเป็น “สับเซต” ได้ ตัวมันเองต้องเป็น “เซต” ก่อน แปลว่าเลข 2 เฉยๆไม่สามารถไปเป็นสับเซตของใครได้ ทำได้แค่เป็นสมาชิกเท่านั้น

สับเซตแท้

โดยความรู้สึกแล้ว การจัดกลุ่มย่อย (สับเซต) นั้นน่าจะต้องได้กลุ่มใหม่ที่เล็กกว่าเดิม ในเรื่องเซตหมายถึงสับเซตนั้นจะมีเงื่อนไขที่จำเพาะเจาะจงกว่าเซตเดิม แต่ด้วยนิยามของการเป็นสับเซตนั้นรวมกรณีที่เซตเท่ากันเอาไว้ด้วย (หมายถึงถ้า A = B ก็เรียกว่า  A \subset B ได้เหมือนกัน) ถ้าเมื่อไหร่ต้องการพูดถึงเฉพาะสับเซตที่เล็กกว่าเซตเดิมเท่านั้น เราจะใช้คำว่า “สับเซตแท้” (ไอ้ตัวที่เท่าเซตเดิมนั้นเป็นของไม่แท้)

ถ้าเทียบกับระบบจำนวน สับเซตก็เหมือนเครื่องหมาย \le ซึ่งอนุญาตให้มีการเท่ากันได้ ส่วนสับเซตแท้ก็คือเครื่องหมาย < นั่นเอง

เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต

ถามว่า กล่องเปล่า เป็น “ส่วนหนึ่ง” ของกล่องที่ใส่ของเต็มหรือเปล่า คำตอบคือ…ใช่ ดังนั้นเซตว่างจึงถือว่าเป็นสับเซตของทุกเซต

แม้แต่ “เซตว่าง เป็นสับเซตของ เซตว่าง” เองก็ยังเป็นจริงอยู่

แต่เซตว่างไม่เป็น “สับเซตแท้” ของตัวมันเอง เพราะมันเท่ากับตัวมันเอง

สับเซต และการเป็นสมาชิก :: เรื่องที่ต้องมีคนงงทุกครั้งไป

ถ้าเปรียบเทียบว่าเซตเป็นกล่อง สิ่งที่จะเป็นสมาชิกของเซตได้ก็คือสิ่งของที่อยู่ในกล่อง ส่วนอะไรที่จะเป็นสับเซต มันต้องเป็นเซตก่อน แปลว่าตัวสับเซตนั้นต้องเป็นกล่องซะเอง ซึ่งกล่องนั้นบรรจุ “แค่บางส่วน”ของกล่องที่ใหญ่กว่าเอาไว้

เพื่อให้ไม่งง คงต้องดูตัวอย่างกันหน่อยล่ะ

ให้ A = \{ 1,2,3\}  คือในกล่องนี้มีสิ่งของสามชิ้น ชื่อว่า 1, 2 และ 3

การจะบอกว่าเลข 1 มันไปเกี่ยวกับเซต A ยังไง สามารถเขียนได้สองแบบ

แบบแรก : 1 เป็นสมาชิกของเซต A เขียนว่า 1\in A หมายถึงเลข 1 เองนั้นมีสถานะเป็นสมาชิกตัวหนึ่งในเซต A

แบบที่สอง : เป็นสับเซตของเซต A เขียนว่า \{1\} \subset A หมายถึงกล่องที่บรรจุเลข 1 นั้นเป็นกล่องที่ถูกตัดมาจากบางส่วนของ A

แบบแรกนั้นตรงไปตรงมา ส่วนแบบที่สองเราต้องทำเลข 1 ให้กลายเป็นเซตซะก่อน โดยอยู่ดีๆจับใส่เซตซะดื้อๆเลย (ซึ่งทำได้) ทั้งสองแบบนี้ถูกทั้งคู่ และแปลงกลับไปกลับมาได้ ซึ่งแปลว่าถ้ามี 3\in A ความหมายจะเหมือนกับ \{3\} \subset A เป๊ะๆ

แต่การเขียนเป็นสับเซตมีข้อได้เปรียบนิดหน่อย ตรงที่สามารถแสดงความเป็นสมาชิกของสิ่งของหลายๆชิ้นได้พร้อมๆกัน เช่นแทนที่จะเขียนว่า 1\in A  และ 2\in A (ซึ่งต้องเขียนสองรอบ) เราสามารถเขียนครั้งเดียวได้เป็น  \{1,2\} \subset A

ข้อควรระวังก็คือ สิ่งที่เป็นเซต ก็ทำตัวเป็นสมาชิกได้ (แปลว่ากล่องสามารถทำตัวเป็นสิ่งของชิ้นหนึ่งได้เหมือนกัน) เช่น B = \{ \{ 1\} ,2,3\}ในกล่องที่ชื่อว่า B มีของสามชิ้นคือ{1}, 2 และ 3 กรณีนี้เลข 1 ไม่ได้เป็นสมาชิกของ B เพราะตัวที่เป็นสมาชิกคือ{1}ต่างหาก

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เซต

เซต – ตอนที่ 3: เอกภพสัมพัทธ์

เซตว่าง เอกภพสัมพัทธ์

ถ้าเซตไหนไม่มีสมาชิกเลยสักตัวเดียว เราเรียกมันว่า “เซตว่าง” ซึ่งก็เหมือนกับกล่องเปล่าๆ ไม่มีอะไรอยู่ข้างในนั่นเอง ตรงกันข้ามเราจะมี “เอกภพสัมพัทธ์” เป็นเซตที่บรรจุทุกอย่างเท่าที่จำเป็นเอาไว้ข้างใน จะทำอะไร พิจารณาอะไร ก็อยู่ภายใต้กรอบของเซตนี้

 

สำหรับเอกภพสัมพัทธ์ การบอกว่ามันบรรจุ “ทุกอย่าง” เอาไว้ข้างใน ไม่ได้หมายถึงว่ามันมีทุกอย่างในจักรวาลนี้ แต่แปลว่าในเรื่องหนึ่งๆ (เช่นโจทย์ข้อนึง หรือประโยคบอกเล่าประโยคหนึ่ง) เราจะมีขอบเขตที่ใหญ่พอสมควร ซึ่งบรรจุทุกอย่างเท่าที่จำเป็นต้องใช้ หรือเฉพาะเท่าที่เราสนใจจะไปยุ่งกับมัน

 

ตัวอย่างเช่น การพูดว่าต้นไม้ต้นนี้ใหญ่ที่สุด คงไม่ค่อยมีความหมายอะไรต่อคนฟังมากนัก เพื่อให้ชัดเจนขึ้นเราจำเป็นต้องบอกว่า “ใหญ่ที่สุด…ในไหน” เช่นในสวนหลังบ้านฉัน ในจังหวัดเชียงใหม่ ในทวีปเอเชีย หรือในจักรวาลนี้ เป็นต้น ดังนั้นถ้าพูดว่าต้นไม้ต้นนี้ใหญ่ที่สุดในประเทศไทย แปลว่าเรามีเซตของต้นไม้ทุกต้นในประเทศไทยอยู่ แล้วต้นไม้นี้ใหญ่ที่สุดเมื่อเทียบกับต้นอื่นๆในเซตนี้

แบบนี้เราก็จะเรียก เซตของต้นไม้ทุกต้นในประเทศไทย ว่าเป็นเอกภพสัมพัทธ์

แต่ถึงไม่บอกว่าจะยุ่งเกี่ยวกับต้นไม้ในขอบเขตขนาดไหน สำหรับกรณีต้นไม้นี้ ก็จะมีขอบเขตโดยปริยายของมันอยู่เช่น “เซตของต้นไม้ทุกต้น” เวลาพูดว่าต้องการต้นไม้ที่สูงที่สุดเฉยๆ จึงพอจะเข้าใจได้ว่าเอกภพสัมพัทธ์คือ “ของประเภทเดียวกันทั้งหมดที่มันมีอยู่”

 

ถ้าจะหาจำนวนที่มีค่ามากที่สุดในเซต{1, 3, 5, 67, 23, 12}ก็จะตอบว่า 67

กรณีนี้เซต{1, 3, 5, 67, 23, 12}ก็เรียกว่าเป็นเอกภพสัมพัทธ์ได้ (เห็นได้ชัดว่ามันไม่ได้บรรจุ “ทุกอย่าง” ไว้ซะหน่อย) เพราะบอกว่าขอบเขตการหาค่ามากที่สุดถูกจำกัดไว้เฉพาะในเซตนี้

ตรงนี้คือส่วนที่ต่างจากข้อที่แล้ว ถ้าเราพูดว่าอยากได้ “จำนวนที่มีค่ามากที่สุด” ขึ้นมาลอยๆ มันจะไม่มีความหมายใดๆ เพราะจำนวนสามารถโตไปได้เรื่อยๆ ไม่มีตัวที่มากที่สุด ต่างกับความสูงของต้นไม้ ซึ่งมีเป็นจำนวนจำกัด กรณีแบบนี้แหละที่เราต้องระบุให้แน่ชัดว่าเอกภพสัมพัทธ์ใหญ่แค่ไหน

 

ดังนั้น เอกภพสัมพัทธ์ คือเซตอะไรก็ได้ จะเล็กหรือใหญ่แค่ไหนก็ได้ แต่มีหน้าที่สำคัญคือเป็นตัวกำหนดขอบเขตของเรื่องที่เราจะพูดถึง ว่าอะไรเกี่ยว อะไรไม่เกี่ยวในเรื่องหนึ่งๆนั่นเอง

 

แม้แต่การเขียนเซตเอง ก็ใช้เอกภพสัมพัทธ์

การเขียนเซตคำตอบจากการแก้สมการต่างๆ เราจะต้องระบุเสมอว่า “จะเอาคำตอบจากในไหน” เพราะถ้าไม่ตกลงกันก่อนก็จะเกิดคำถามตามมา ในบางเซต สมการนี้จะมีคำตอบ แต่ในบางเซตก็ไม่มีคำตอบ เช่น

 \{ x \in R |x^2+5=0\}

เซตนี้บอกว่า ต้องการสมาชิก “ที่เป็นจำนวนจริงเท่านั้น” ซึ่งมีเงื่อนไขตามสมการ เราจะพบว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบอยู่ใน “เอกภพสัมพัทธ์” ที่เป็น R

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เซต

Tagged with:

เซต – ตอนที่ 2: นั่งนับเซต

สมาชิกในเซตไม่ต้องเขียนเรียงกัน ถ้าซ้ำกันให้เขียนแค่ตัวเดียว

นอกเรื่อง : ผมเคยงงกับคำว่า “ไม่ต้อง” กับ “ต้องไม่” อยู่พักนึง แต่พอมาแกะภาษาไทยดูอย่างใกล้ชิดก็พบว่ามันคนละอย่างกัน … “ไม่ต้อง” แปลว่า จะทำก็ได้ไม่ทำก็ได้ เช่นวันเสาร์เป็นวันหยุด นักเรียนไม่ต้องมาโรงเรียน (ใครจะมาก็ไม่ว่ากัน) ส่วน “ต้องไม่” แปลว่า ห้ามเด็ดขาด อย่ามาทำให้เห็นเลยเชียว เช่นบอกว่านักเรียนต้องไม่พกอาวุธมาโรงเรียน แปลว่าใครพกมานี่เป็นเรื่องเลยเชียว

 

กลับเข้าเรื่องของเราดีกว่า

 

ข้อตกลงอย่างหนึ่งที่ทำให้เซตมีประโยชน์มากก็คือ การไม่ต้องเรียงลำดับสมาชิกในเซต และการนับตัวที่ซ้ำกันว่าเป็นตัวเดียว

ทั้งสองข้อตกลงนี้มาจากความเข้าใจง่ายๆว่า สิ่งของชิ้นหนึ่งๆ จะมีที่อยู่ได้เพียงที่เดียวคือ “ข้างใน” หรือไม่ก็ “ข้างนอก” เซตที่กำหนดให้ การอยู่ข้างในนั้นไม่ได้บอกเลยว่าต้องอยู่ลำดับที่เท่าไหร่ จะอยู่ตัวแรก ตัวที่ห้า หรือตัวสุดท้ายก็ไม่ต่างกัน เพราะทุกตัวต่างก็ “อยู่ข้างใน” เหมือนกัน

แปลว่าเขียนเซต  A = {1, 3, 5}  ไม่ต่างกับการเขียนว่า A = {3, 5, 1}  หรือ {5, 3, 1} เลย

 

ส่วนเรื่องการเขียนตัวที่ซ้ำกันแค่ครั้งเดียว อธิบายได้ว่าสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ตัวหนึ่งๆ ไม่ว่าจะเขียนกี่ครั้งก็ตาม ถือว่าแต่ละตัวมีลักษณะไม่ต่างกัน มีค่าเท่ากันหมด และใช้แทนกันได้ ดังนั้นการเขียนหลายตัวกับการเขียนตัวเดียวจึงมีความหมายไม่ต่างกัน เช่น

{1, 2, 2, 2} กับ {1, 2} ไม่ต่างกันเลย แต่นิยมเขียนแบบหลัง (ออกจะเป็นข้อบังคับซะด้วยซ้ำ ว่าต้องเขียนแบบหลัง) เพื่อประโยชน์ในการนับจำนวนสมาชิกในเซตว่ามีกี่ตัวกันแน่ จะได้ไม่ต้องมีคำพูดต่อท้ายว่า “จงหาจำนวนสมาชิก(ที่ไม่ซ้ำกัน)ของเซต A”

 

เซตจำกัด เซตอนันต์

อย่างที่บอกว่าเซตเป็นกล่องวิเศษ จะใส่ของมากชิ้นหรือน้อยชิ้นก็ได้ ข้อดีอีกอย่างหนึ่งของมันคือ เซตสามารถใส่ของได้เป็นอนันต์ชิ้น โดยที่กล่องไม่ระเบิดแตกออกมา

 

ถ้าเซตใส่ของอยู่ไม่กี่ชิ้น เราจะเรียกว่า “เซตจำกัด” คำว่าไม่กี่ชิ้นนี้หมายถึง มีจำนวนที่แน่นอนอยู่ค่าหนึ่ง (ไม่จำเป็นต้องแปลว่าน้อยนะ) อาจไม่มีเลย (สังเกตว่าไม่มีเลยก็เรียกว่าจำกัดเหมือนกัน) มีชิ้นเดียว มีสิบชิ้น สองร้อยชิ้น หรืออาจเป็นสิบล้านชิ้นก็ได้ คำว่า “จำกัด” นี้แปลตรงๆว่า ถ้านับไปเรื่อยๆทีละชิ้น สักวันเราจะนับจนครบได้ ถ้าเยอะหน่อยอาจจะต้องช่วยกันนับหลายคนก็ไม่เป็นไร ซึ่งตรงข้ามกับ “เซตอนันต์” ซึ่งใส่ของอยู่เป็นจำนวนอนันต์ชิ้น แปลว่านั่งนับไปเรื่อยๆ นานแค่ไหนก็จะไม่หมดซะที

 

จำนวนสมาชิก

สำหรับเซตจำกัด เราสามารถ “นับ” จำนวนสมาชิกได้ คำว่าจำนวนสมาชิกนี้ตกลงกันไว้ดีแล้วว่าเป็น “จำนวนสมาชิกที่ไม่ซ้ำกัน” ซึ่งแปลว่าเซตที่เราจะนับนี้ มีสมาชิกที่แตกต่างกันอยู่ทั้งหมดกี่ตัว ข้อตกลงนี้ไม่ค่อยจำเป็นเท่าไหร่ เพราะเราไปตกลงกันตอนเขียนเซตแล้ว ว่าจะไม่เขียนสมาชิกซ้ำกันหลายๆตัว

เช่น A = {1, 2, 2, 2} = {1, 2} มีสมาชิก 2 ตัว

เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า n(A) = 2 (n มาจากคำว่า number of elements)

 

สำหรับเซตอนันต์ ซึ่งไม่สามารถนับจำนวนสมาชิกจนหมดได้ ถ้าอยากพูดถึงจำนวนสมาชิกเราจะบอกว่า n(A) =  (ซึ่งที่จริงไม่นิยมเขียนกัน) ถ้าเรียนคณิตศาสตร์สูงกว่านี้จะมีความรู้เพิ่มเติมอีกว่า อินฟินิตี้มีหลายแบบ (มีอย่างน้อยสองแบบ) คือแบบ countable (นับทีละตัวได้…แต่ไม่หมดซะที) กับแบบ uncountable (ไม่มีแม้แต่วิธีนับทีละตัว)

(เพิ่มเติม…)

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เซต

เซต – ตอนที่ 1.5: มีอะไรไม่ใช่เซตบ้าง

เล่าเรื่องลึกๆของเซตให้ฟังสักเรื่อง เผื่อว่าใครอยากรู้…

คำถามที่นำมาก่อนเลยคือ “เซตคืออะไร”

ความหมายทั่วไปคงพูดได้ไม่ยาก แต่ของง่ายมักกลายเป็นของยากเวลาเราต้องการทำให้มันถูกเป๊ะๆ เซตก็ประสบปัญหาเดียวกัน เพราะการอธิบายว่า “อะไรที่เหมือนๆกัน” ในทางคณิตศาสตร์เป็นยังไง มันเห็นๆกันอยู่ แต่พูดไม่ถูก สมัยก่อนนักคณิตศาสตร์ก็เลยตกลงกันว่า เราจะไม่พูดถึง “ความหมาย” ของเซต ซึ่งเขาจะเรียกมันว่าเป็น “อนิยาม” คือสิ่งที่ไม่ต้องการคำอธิบายก็แล้วกัน เพราะ “ทุกคนคงรู้” และเข้าใจตรงกัน

ฟังดูเข้าท่าดี และแก้ปัญหาได้ง่ายดีด้วย จนกระทั่งวันนึง…

มีคนถาม(กวนๆ)ว่า เซตนี้หน้าตาเป็นยังไง ช่วยเขียนสมาชิกของมันให้ดูหน่อย

A = \{ x|x \notin A\}

­­แปลเป็นภาษาพูดได้ว่า “A เป็นเซตที่ประกอบด้วยสมาชิก x ซึ่ง x จะต้องไม่อยู่ในเซต A” … เอาล่ะสิ

แปลเป็นภาษาคนอีกทีได้ว่า “อะไรที่จะอยู่ใน A ได้ จะต้องไม่อยู่ใน A” …???

ถ้าเลข 1 อยู่ในเซต A แล้ว 1 จะไม่อยู่ในเซต A !!! … อะไรของมัน

หลังจากนั่งอึ้งๆไปสักพักเพื่อหาอะไรมาอธิบายมัน เราจะพบคำตอบว่า…

“A ไม่เป็นเซต”

ทีนี้เกิดปัญหาใหญ่เลยล่ะ เพราะมันมีอะไรบางอย่างที่ดูเหมือนจะเป็นเซต แต่ไม่เป็น ถ้าอย่างนั้นจะไปโมเมเหมาเอาว่าทุกคนจะเข้าใจตรงกันได้ไงว่าเซตคืออะไร …

จากเรื่องนี้ ทำให้นักคณิตศาสตร์ต้องไปรื้อระบบคิดกันใหม่หมดเลย ซึ่งคงอธิบายกันไม่จบในที่นี้ แต่สรุปสั้นๆก็คือ ในที่สุดแล้วเซตต้องการอะไรบางอย่างที่ “พื้นฐานกว่านั้น” มาให้ความหมายแก่มัน (แทนที่เซตจะเป็นวัตถุที่พื้นฐานที่สุด เราก็ไปศึกษาเพื่อหาอะไรที่พื้นฐานกว่านั้นอีก แล้วบอกว่าเซตเป็น “ชนิดหนึ่ง” ของไอ้ตัวเหล่านั้น) ไอ้เจ้าสิ่งที่พื้นฐานกว่าเซตซึ่งถูกสร้างขึ้นมาใหม่นี้ เรียกว่า “Category”

ใครสนใจลองไปถาม Google ว่า category theory คืออะไรดู

เตือนไว้ก่อนว่าอะไรที่เป็น “พื้นฐาน” ไม่จำเป็นต้องง่ายเสมอไป

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เซต

เซต – ตอนที่ 1: เซตคืออะไรบ้าง

เซต

มนุษย์เป็นสัตว์ที่อยู่ไม่สุข ชอบจัดหมวดหมู่ให้สิ่งนั้นสิ่งนี้อยู่เรื่อย ถ้าใครเรียนเคมีหรือชีวะมาแล้วก็จะได้เจอกับตารางธาตุ และเรื่องอนุกรมวิธาน (การจัดหมวดหมู่สิ่งมีชีวิต) แม้แต่วิชาอย่างอื่นที่ไม่เป็นวิทยาศาสตร์เช่นสังคม ภาษาไทย ก็ยังมีการจัด “ประเภท” เยอะแยะไปหมด มองไปทางไหนก็จะพบว่าคนเรากับการจัดหมวดหมู่นี่แทบจะแยกกันไม่ออกจริงๆ ลองดูตัวอย่าง

น้ำปลาตรากุ้งเขียว กับน้ำปลาตราแมลงเต่าทอง (สมมุติว่ามันมีจริงๆ) ยังไงซะก็เป็นน้ำปลาเหมือนกัน

ต้นกล้วยกับต้นมะขาม ดูยังไงก็ไม่คล้ายกัน แต่ครูวิทยาศาสตร์บอกว่ามันเป็น “ต้นไม้” เหมือนกัน ถ้าเรียนลึกไปกว่านั้นอีก ทั้งคู่ยังเป็น “พืชดอก” เหมือนกันด้วย

กุ้ง กับ กิ้งกือ อย่างแรกกินได้ แต่อย่างหลังคงไม่ค่อยมีใครกล้ากิน นักชีวะเขาบอกว่ามันอยู่ไฟลัมเดียวกัน บรื๋อออ…

ดาว 7 ดวงที่ดันมาเรียงตัวอยู่ใกล้ๆกัน ก็มีคนอุตริไปจับเป็นกลุ่มแล้วตั้งชื่อให้มันซะว่า ดาวลูกไก่

สมชายกับสมศรี เป็นนักเรียนชั้นม. 4/1 เหมือนกัน

อาจเป็นเพราะการจัดหมวดหมู่มีประโยชน์หลายอย่าง เช่นว่า เรียกใช้ หยิบใช้ง่ายดี เหมารวมได้ ไม่ต้องไปเสียเวลาใส่ใจกับหน่วยเล็กๆที่ปลีกย่อยในลักษณะบางอย่างที่ไม่ค่อยสำคัญ พอมันทำให้ชีวิตง่ายขึ้น คนเราก็มักชอบทำกัน

หลายคนบอกว่า วิทยาศาสตร์เกิดมาเพื่ออธิบายธรรมชาติ ส่วนคณิตศาสตร์เกิดมาเพื่ออธิบายวิทยาศาสตร์อีกทีนึง (เลยเรียกคณิตศาสตร์ว่า Queen of Science :: แม่ของวิทยาศาสตร์) สมัยที่เรายังเรียนแต่ตัวเลขอาจจะยังรู้สึกว่าคณิตศาสตร์ก็เป็นแค่เรื่องของตัวเลข ซึ่งมันเกี่ยวกับเราอยู่บ้างก็จริง แต่ก็ไม่ตลอดเวลาเท่าไหร่นัก แต่พอมาเจอเรื่องเซตเราจะพบว่า ยังไงชีวิตนี้ก็หนีเซตไม่พ้น เพราะเราจัดหมวดหมู่อยู่เกือบตลอดเวลา ยิ่งกว่าคิดเลขซะอีก

เซต… คืออะไรหว่า

เซต เป็นเครื่องมือชิ้นหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์คิดขึ้นมาใช้อธิบายความเป็น “พวกเดียวกัน” ของสิ่งต่างๆที่เดิมอาจจะกระจัดกระจายกันอยู่ นั่นคือ เป็นความพยายามที่จะบอกว่าอะไรเป็นพวกเดียวกัน อะไรต่างพวกกัน ถ้าไปเปิดดิกชันนารีดู จะพบคำแปลหนึ่งของ Set ว่า “ชุด” หรือ “กลุ่ม” ซึ่งน่าจะใกล้เคียงความหมายจริงๆมากที่สุด

มีข้อตกลงสำคัญๆในการที่สิ่งใดสิ่งหนึ่งจะเป็นเซต ดังนี้ :

เซตต้องทำตัวเหมือน “กล่อง” คือบรรจุสิ่งของได้ โดยที่สิ่งของอย่างใดอย่างหนึ่งจะมีที่อยู่ได้ที่เดียว คือ “ในกล่อง” หรือไม่ก็ “นอกกล่อง” เท่านั้น ไม่มีของชิ้นไหนที่อยู่ได้ทั้งในและนอกกล่องพร้อมๆกัน พูดง่ายๆคือ สิ่งของชิ้นไหนไปปรากฎอยู่ในกล่องแล้ว จะไม่ไปโผล่นอกกล่องอีก จะว่ามันเหมือน “คอก” ก็ได้ คือเป็นสิ่งที่แสดงขอบเขตได้อย่างชัดเจนว่า อะไรอยู่ในคอก อะไรอยู่นอกคอก

เซตเปรียบเหมือนกล่อง อะไรที่อยู่ในกล่องเรียกว่า “เป็นสมาชิก” ของเซต ใช้สัญลักษณ์ว่า \in

ส่วนอะไรที่ไม่ได้อยู่ในกล่อง เรียกว่า “ไม่เป็นสมาชิก” ใช้สัญลักษณ์ \notin

แปลว่าถ้ามีเซตชื่อว่า A และ 1 \in A จะหมายถึงว่า A เป็นกล่อง และมีเลข 1 อยู่ในกล่อง ซึ่งก็จะได้ข้อสรุปโดยอัตโนมัติว่า 1 จะไปโผล่อยู่นอกกล่องอีกไม่ได้เด็ดขาด

เมื่อไหร่ที่ใช้เครื่องหมาย “เป็นสมาชิก” (หรือไม่เป็นสมาชิกก็ตามแต่) ให้คิดเสมอว่าเรากำลังมีกล่องอยู่จริงๆ และสิ่งของที่เป็น(หรือไม่เป็น)สมาชิกนั้นก็เป็นสิ่งของที่มีตัวตนจริงๆ ถ้าทำได้แล้วต่อไปในการคำนวณต่างๆเกี่ยวกับเซต จะเห็นภาพได้ง่ายขึ้น

สัญลักษณ์ของเซต ใช้วงเล็บปีกกา { } เป็นสัญลักษณ์มาตรฐานที่ใช้กันทั่วโลก คือให้ถือเอาว่า “กล่อง” ถูกแทนด้วยเครื่องหมาย { } แล้วข้างในกล่องจะใส่อะไรไว้ก็ค่อยว่ากัน เช่น…

{1, 2, 3, 4, 5} เป็นเซตที่มีเลข 1, 2, 3, 4, 5 อยู่ข้างใน

{คณิต, ฟิสิกส์, เคมี} เป็นเซตของวิชาที่นายเขียวตั้งใจจะอ่านคืนนี้

{พม่า, ลาว, กัมพูชา, มาเลเซีย} เป็นเซตของประเทศที่อยู่ติดชายแดนไทย

จะเห็นว่าเซตนี้เป็นกล่องวิเศษ ใส่อะไรที่ใหญ่แค่ไหนก็ได้ ไม่จำเป็นต้องเป็นตัวเลขหรือสิ่งที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ก็ได้ ขอให้เขียนออกมาเป็นคำพูด (หรือใช้สัญลักษณ์แทน) ให้ได้ก็แล้วกัน

เซตเขียนได้หลายแบบ ที่นิยมเขียนกันมีอยู่ 2 แบบคือแบบ “บอกเงื่อนไข” กับแบบ “แจกแจงสมาชิก” แต่นิยมใช้ในโอกาสที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับว่าเมื่อไหร่แบบไหนจะใช้ง่ายกว่ากัน

การบอกเงื่อนไข ก็คือ การอธิบายลักษณะที่สิ่งของต่างๆในกล่อง(เซต)นั้นมีร่วมกัน โดยบอกเป็นคำพูด มักใช้ในกรณีที่ต้องการ “เหมารวม” ลักษณะอะไรสักอย่างหนึ่ง ไม่ต้องเสียเวลามานั่งไล่เขียนสมาชิกทีละตัว หรือเป็นไปได้ว่าสมาชิกอาจมีเยอะ (บางครั้งก็มีจำนวนนับไม่ถ้วน) ซึ่งเขียนแจกแจงให้ครบไม่ได้ จึงต้องเลี่ยงไปบอกว่ามันมีลักษณะยังไง แทนที่จะบอกไปตรงๆว่ามันมีอะไรบ้าง

สิ่งที่ต้องระวังในการบอกเงื่อนไขคือ คำพูดที่ใช้อธิบายเงื่อนไขนั้นต้อง “รัดกุม” อย่างยิ่ง แปลว่าให้คนสองคนไหนก็ตามในโลกนี้มาอ่านแล้วตีความ ต้องได้ความหมายตรงกัน แถไถไปเป็นอื่นไม่ได้

ส่วนการ แจกแจงสมาชิก ก็ตรงตัว คือการเขียน “สมาชิกทั้งหมดที่มี” ลงในกรอบของเซตภายในเครื่องหมาย { } แล้วคั่นแต่ละตัวด้วยลูกน้ำ ( , ) อนุโลมกันว่าถ้าสมาชิกมีเยอะ(จนขี้เกียจเขียน) หรือเยอะจนเขียนยังไงก็ไม่หมด ให้ละไว้ในฐานที่เข้าใจได้โดยเขียน “…” ต่อท้ายไว้ หมายถึงว่ายังมีตัวที่ต่อไปจากนี้ เช่น

{1, 2, 3, …, 10} แบบนี้ทุกคนน่าจะเข้าใจตรงกันว่าตัวที่ละไว้คือ 4, 5, 6 ไปเรื่อยๆจนถึง 10

{3, 3.5, 4, 4.5, 5, …} แบบนี้คนอ่านก็น่าจะเข้าใจว่าเพิ่มขึ้นทีละ 0.5 และไม่มีที่สิ้นสุด

ข้อควรระวังก็คือ ห้ามเขียนละเครื่องหมาย “จุด จุด จุด” ไว้ในฐานที่ไม่เข้าใจ เด็ดขาดเพราะจะเป็นการ “ไม่รัดกุม” เอาไปใช้ประโยชน์อะไรต่อก็ไม่ได้ เช่น

{1, 4, …, 67} คนที่มาอ่านต่อคงจะงงว่าเลขที่ไม่ได้เขียนให้ดูนั้น มีกี่ตัว และตัวต่อไปน่าจะเป็นอะไร การเขียนเซตแบบนี้ ถึงจะหน้าตาเป็นเซตก็จริง แต่เขาไม่ยอมรับกันเพราะมันไม่รัดกุม ตีความไปตามใจชอบได้หลายแบบ

เซตบางเซตเขียนได้เพียงแบบเดียว เช่น เซตอนันต์ที่สมาชิกเบียดเสียดกันอยู่อย่างแนบชิด เป็นต้นว่า {x | x คือจำนวนจริงระหว่าง 0 กับ 1} คงไม่สามารถแจกแจกสมาชิกได้แน่ๆ เพราะมีจำนวนจริงมากมายอยู่ระหว่าง 0 กับ 1

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เซต