(สถิติ) ค่าคาดหวัง (Expected Value)

ค่าคาดหวัง :: Expected Value

เวลาเจอชื่อภาษาอังกฤษ หรือคำศัพท์อะไรก็ตามที่เราไม่คุ้นหู แล้วมีคนมาอธิบายให้ฟังจนเข้าใจเป็นครั้งแรก เราอาจจะใช้เวลาสักพักว่าก่อนจะยอมรับมัน แต่ก็จะไม่ค่อยมีอาการต่อต้านมากนัก

ศัพท์คำนี้ผมเรียนมันมาด้วยชื่อภาษาไทย ซึ่งเข้าใจว่าคนแปลเอามาจากศัพท์ต้นฉบับภาษาอังกฤษเป๊ะๆ บังเอิญคำว่า “คาดหวัง” มันมีความหมายบางอย่างที่เราใช้ไม่ตรงกับนิยามของคำคำนี้ในวิชาสถิติ มันเลยออกจะฟังขัดหูไปสักหน่อย และต้องการคำอธิบายดีๆว่ามันเกี่ยวกับ “ความคาดหวัง” ได้ยังไง

คาดหวังอะไร คาดหวังทำไม

ที่จริงคำว่า “ค่าคาดหวัง” ก็เป็นอีกเวอร์ชันนึงของการหา “ค่าเฉลี่ย” เพียงแต่เราสามารถใช้หลักการของค่าคาดหวังไปคำนวณอย่างอื่นที่พิเศษกว่าค่าเฉลี่ยธรรมดาๆได้อีก

มันเริ่มมาจากกรณีคล้ายๆแบบนี้…

สมมุติว่าเราไปเล่นเกมท้าพนันกับเพื่อน จะโยนลูกเต๋ากัน กติกาคือ : “ถ้าลูกเต๋าหงายหน้า 6 ขึ้นมา เพื่อนต้องให้ตังค์เรา 6 บาท แต่ถ้าหงายหน้าอื่น เราต้องจ่ายให้เพื่อน 1 บาท” แล้วเล่นไปเรื่อยๆจนกว่าจะเบื่อ เพื่อนก็จะนั่งตัดสินใจว่าจะเล่นดี ไม่เล่นดี คือคิดก่อนว่าถ้าเล่นไปสักพัก ใครจะได้กำไร ใครจะขาดทุน หรือเล่นแล้วเจ๊ากันทั้งสองคน

เพื่อนก็จะคิดว่า ถ้าเล่นไปสัก 6 ครั้ง แล้วลูกเต๋ามันหงายครบทุกหน้าเลย (มาจากสมมุติฐานว่าถ้าเล่นไปเรื่อยๆ ลูกเต๋ามันจะหงายครบทุกหน้า แต่ละหน้าเป็นจำนวนครั้งพอๆกัน) เพื่อนจะต้องจ่ายตังค์เรา 6 บาท (เพราะขึ้นหน้า 6 มาหนึ่งครั้ง) ในขณะที่เราต้องจ่ายเพื่อน 5 บาท (เพราะขึ้นหน้า 1-5 อย่างละครั้ง)… นี่แปลว่าเล่นแค่ 6 ตาเพื่อนก็มีแนวโน้มจะเสียตังค์ 1 บาทให้เราซะแล้ว คิดถัวเฉลี่ยแล้วเล่นหนึ่งตาเหมือนเสียตังค์ไป 1/6 บาทแน่ะ … เพราะอย่างนี้เพื่อนจึงตัดสินใจไม่เล่นเพราะเห็นว่ากติกาของเรามันเอาเปรียบไปหน่อย

จากเกมนี้ 1/6 บาทต่อหนึ่งตา เป็นปริมาณเงินที่เรา “คาดหวัง” ว่าจะได้จากการเล่นพนันเกมนี้กับเพื่อน อันที่จริงไม่มีตาไหนเลยที่เราจะได้เงิน 1/6 บาทพอดีเป๊ะ (เพราะมีแต่ได้ 6 บาทกับเสีย 1 บาท) แต่ถ้าเล่นไปนานๆสักร้อยๆพันๆครั้ง เราจะพบว่าปริมาณเงินที่เราได้รับในหนึ่งตา จะใกล้เคียง “ค่าคาดหวัง” มากขึ้นเรื่อยๆ

ถ้าคุ้นกับคำว่า “ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก” มาก่อนแล้ว “ค่าคาดหวัง” ในตัวอย่างที่ดูกันไปข้างบนนี้ก็คือสิ่งเดียวกัน มันคือการเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนักระหว่างค่าตัวเลขที่เราต้องการเฉลี่ย กับความน่าจะเป็นที่จะเกิดค่านั้นๆขึ้น (ต้องการเฉลี่ยจำนวนเงิน 6 กับ -1 บาท โดยที่ 6 มีสิทธิ์จะเกิดขึ้นแค่ 1/6 ส่วน -1 มีสิทธิ์จะเกิดขึ้นได้ตั้ง 5/6) การใช้คำว่าค่าคาดหวัง เป็นการเรียกให้สั้นลงโดยไม่ต้องบอกว่าเอาไปถ่วงน้ำหนักกับอะไร (เพราะหมายถึงถ่วงน้ำหนักกับความน่าจะเป็นที่จะเกิดค่านั้นๆขึ้น โดยอัตโนมัติ)

(สถิติ) Central Limit Theorem

Central Limit Theorem (CLT)

สำหรับคนเรียน math เราจะเจอ theorem มากมายจนเคยชิน แต่คนที่ไม่ได้เรียนอาจจะไม่ค่อยคุ้นกับมัน คำว่า Theorem หรือทฤษฎีบท  (คำแปลภาษาไทย) เป็นข้อความที่บอกว่า “อะไรจริง อะไรไม่จริง” ถ้าอะไรสักอย่างมันจะจริง ต้องมีเงื่อนไขอะไรบ้าง เป็นต้น

ทฤษฎีนี้บอกว่า “ถ้าเรามีตัวแปรสุ่มอยู่ตัวหนึ่ง มีการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไหนก็ตาม ถ้าเราทำการทดลองคล้ายๆเดิม แต่เปลี่ยนให้ตัวแปรสุ่มเป็นค่าเฉลี่ยของการทดลองหลายๆครั้ง ตัวแปรสุ่มนี้จะค่อยๆมีการแจกแจงคล้ายๆการแจกแจงปกติมากขึ้นเรื่อยๆ และการกระจายค่าของตัวแปรสุ่มก็จะแคบลงเรื่อยๆ เมื่อเพิ่มจำนวนตัวอย่างต่อการทดลองสุ่มหนึ่งครั้ง”

ถ้าอ่านไม่รู้เรื่อง…

ขอเสนอ CLT เวอร์ชัน “มะม่วงกวน” ก็แล้วกัน ถ้าบ้านใครเป็นสวนผลไม้น่าจะนึกภาพตามได้ไม่ยากนัก

สมมุติว่าพ่อเราเก็บมะม่วงมา 500 กิโล มะม่วงเหล่านี้กำลังสุก และถ้าทิ้งไว้นานเกินไปมันจะเน่า หลังจากเอาไปขายบ้างแล้ว ปรากฏว่ายังเหลือมะม่วงอยู่ 200 กิโลด้วยกัน พ่อเลยตัดสินใจว่าจะเอามะม่วงมากวนเก็บไว้ไม่ให้เสียของ มะม่วงทั้งหมดที่มีอยู่นี้มีรสชาติแตกต่างกันสองเป็นพวกหลักๆ พวกนึงเปรี้ยวมาก อีกพวกนึงก็หวานจ๋อยจนไม่มีรสเปรี้ยวเลย พวกที่อมหวานอมเปรี้ยวกำลังอร่อยนั้นมีอยู่บ้างแต่ไม่มากนัก

เพื่อให้เชื่อได้ง่ายขึ้นว่าการกวนมะม่วงจะสำเร็จได้ สมมุติว่าพ่อมีหม้อวิเศษอยู่หนึ่งใบสำหรับกวนมะม่วง หม้อนี้ใบเล็กนิดเดียว แต่ขยายขนาดให้ใหญ่เท่าไหร่ก็ได้ ซึ่งถ้าพ่อมีแรงจะกวนมะม่วง 200 กิโลในครั้งเดียวให้หมด หม้อก็จะขยายใหญ่จนใส่มะม่วงได้ทั้งหมด

ถ้าพ่อกวนมะม่วงทีละ 2 กิโล (ซึ่งน้อยมาก) เป็นไปได้ว่าใน 2 กิโลนั้นจะมีแต่มะม่วงเปรี้ยวหมดเลย หรือหวานจ๋อยหมดเลย หรืออาจโชคดีมีมะม่วงเปรี้ยวบ้าง หวานบ้างมาผสมกันทำให้รสชาติดีขึ้น การกวนใส่หม้อทีละ 2 กิโล เราจะได้มะม่วงกวน 100 หม้อที่ยังมีเปรี้ยวเกิน มีหวานเกินไปบ้าง แต่ก็จะมีพวกที่หวานกำลังดีเพิ่มขึ้นมาจากตอนที่เก็บมา เพราะได้จากการผสมคลุกเคล้าระหว่างพวกที่เปรี้ยวเกินและหวานเกินไป

ถ้าพ่อเปลี่ยนเป็นกวนทีละ 20 กิโล สิ่งที่จะเป็นไปได้ยากขึ้น คือการที่แต่ละหม้อที่กวนจะมีแต่มะม่วงเปรี้ยวอย่างเดียว หรือหวานอย่างเดียว (นึกถึงเวลามีลูกปัดสองสี เทรวมกัน คลุกไปคลุกมาแล้วหยิบขึ้นมา 10 ลูก โอกาสจะได้สีเดียวกัน 10 ลูกเลยนี่เป็นไปได้ยากมาก ในขณะที่ถ้าหยิบแค่ 2 ลูก โอกาสจะได้สีเดียวกันมีมากกว่า) โอกาสที่เปรี้ยวจะเจอกับหวานก็มากขึ้น ทำให้มะม่วงแต่ละหม้อมีรสชาติใกล้เคียงกันมากกว่าตอนที่กวนครั้งละน้อยๆ

ยิ่งถ้าเพิ่มปริมาณมะม่วงที่จะกวนต่อหนึ่งหม้อ โอกาสที่มะม่วงเปรี้ยวเกินกับหวานเกิน จะมาเจอกันก็ยิ่งมีมากขึ้น จากเดิมที่กินมะม่วงทีละลูกแล้วไม่ค่อยอร่อย เราจะพบว่ามะม่วงกวนหม้อใหญ่ๆมันกลมกล่อมขึ้นกว่ากินทีละลูกมากนัก ถ้าเอาไปเขียนกราฟแจกแจกความถี่ไล่จากเปรี้ยวไปหวาน เราจะพบว่าตรงกลางๆมันจะสูงขึ้น กลายเป็นหน้าตาคล้ายๆการแจกแจงปกติ (จากเดิมที่กราฟจะสูงตรงริมๆสองข้าง) เป็นผลมาจากการผสมคลุกเคล้าจนได้ความหวานอมเปรี้ยวที่พอดีตรงกลาง

สุดท้ายถ้าพ่อมีแรงเทมะม่วง 200 กิโลลงไปกวนทีเดียวหมดเลย มะม่วงกวนทุกแผ่นก็จะมีรสชาติไม่ต่างกันเลย เพราะมันได้ผสมคลุกเคล้าไปเป็นเนื้อเดียวกันหมดแล้ว

นี่คือสิ่งที่ CLT ทำนายได้ (ซึ่งก็น่าจะตรงกับความรู้สึกของเรา) : ยิ่งกวนมะม่วงในแต่ละครั้งจำนวนมากขึ้น มะม่วงแต่ละหม้อยิ่งมีรสชาติใกล้เคียงกัน (มีการกระจายตัวน้อยลง) และการแจกแจงของรสชาติมะม่วงก็จะยิ่งคล้ายการแจกแจงปกติมากขึ้นตามไปด้วย

(สถิติ) การทดลองสุ่ม และตัวแปรสุ่ม

“สถิติ” เป็นวิชาที่ได้สอนบ่อยที่สุด ตั้งแต่สมัยเรียนปี 2 ซึ่งติวเพื่อนที่เรียนมาด้วยกัน ได้สอนน้องๆม.ปลาย และเด็กๆที่ต้องประสบชะตากรรมเดียวกับเราตอนปี 2-3  เมื่อจะต้องสอนแต่ละทีก็จะมานั่งระลึกว่า “ปีที่แล้วสอนยังไง” ก็เลยคิดว่าถ้าได้จดไว้เป็นเรื่องเป็นราว และคนอื่นได้อ่านด้วยก็น่าจะดีไม่น้อย

มีคำหนึ่งที่คน (ที่ถูกบังคับให้) เรียนสถิติมักไม่ค่อยเข้าใจคือคำว่า “ตัวแปรสุ่ม” (Random Variable) ซึ่งจะโผล่มาตอนที่เรากำลังจะเก็บข้อมูลให้อยู่ในรูปของตัวเลข เพื่อนำมาประมวลผลอย่างอื่นต่อไป

การทดลองสุ่ม และตัวแปรสุ่ม

เท่าที่เคยเรียนวิทยาศาสตร์มา การทดลองทางวิทยาศาสตร์ต้องสามารถทำซ้ำได้ และต้องให้ผลเหมือนเดิมในสภาวะควบคุมที่เหมือนเดิม ปกติแล้วเราจะทดลองอะไรก็ตามมากกว่าหนึ่งครั้ง เพื่อป้องกันความผิดพลาดที่อาจจะเกิดขึ้นในครั้งใดครั้งหนึ่ง เมื่อมีการทดลองก็ต้องมีการเก็บข้อมูลเพื่อเอามาประมวลผล  ซึ่งตอนนี้แหละที่ “ตัวแปรสุ่ม” จะโผล่มาหลอกหลอนเรา

หนังสือทั่วๆไปจะบอกว่า ตัวแปรสุ่ม คือ “ฟังก์ชัน” ที่แปลง “การทดลองสุ่ม” ให้กลายเป็นค่าตัวเลขซึ่งวัดอะไรบางอย่างที่เราอยากจะรู้ ใครห่างหายจากคำว่า “ฟังก์ชัน” มานานแล้วอาจจะนึกภาพไม่ออก ก็ให้คิดว่า ฟังก์ชันเป็น “เครื่องมือ” ที่สามารถทำงานบางอย่างได้ ถ้าเราเอา “วัตถุดิบ” ใส่เข้าไปก็จะได้ “ผลิตภัณฑ์” ออกมา ซึ่งผลิตภัณฑ์จะเป็นอะไรขึ้นอยู่กับว่าฟังก์ชันคืออะไร เช่นถ้าเรามีฟังก์ชัน “ต้ม” โดยเอาวัตถุดิบคือ “ไก่” ใส่ลงไปเราจะได้ผลิตภัณฑ์เป็น “ไก่ต้ม” แต่ถ้าฟังก์ชันคือ “ย่าง” โดยวัตถุดิบคือไก่เหมือนเดิม เราก็จะได้ “ไก่ย่าง” แทน

ทำไมต้องไปเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันให้ปวดหัวด้วยนะ ??

เพราะที่จริงแล้ว การทดลองเฉยๆมันไม่ได้บอกอะไรแก่เราเลย  ถ้าเอาตัวอย่างที่เป็นคณิตศาสตร์หน่อยก็มักจะนึกถึงการโยนลูกเต๋า (ซึ่งที่จริงไม่จำเป็นเลย) ถ้าจะมองให้เห็น “ตัวแปรสุ่ม” ที่แทรกอยู่ในการโยนลูกเต๋า ก็ลองคิดแบบนี้ดู :: การโยนลูกเต๋าเฉยๆนั้นเป็นการทำกริยาบางอย่างเท่านั้น ไม่ได้ให้ตัวเลขออกมาโดยตรง หมายถึงว่าบนลูกเต๋ามีตัวเลขก็จริง แต่การจะโยนลูกเต๋าเพื่อต้องการจะให้ได้ตัวเลขออกมา จำเป็นต้องมีคนไปสังเกตมัน …และคนสังเกตลูกเต๋านี่แหละที่เป็นคนใช้ “ตัวแปรสุ่ม” ในการอ่านค่าลูกเต๋าออกมาเป็นตัวเลข

ถ้าตัวแปรสุ่มคือ “ตัวเลขที่อยู่ด้านบนลูกเต๋า” สิ่งที่เอาใส่เข้าไปในตัวแปรสุ่มคือ “การโยนลูกเต๋า” และสิ่งที่ได้ออกมาจากตัวแปรสุ่มคือ “ค่าตัวเลขด้านบนลูกเต๋า”

หรือถ้าเราอุตริอยากได้ตัวแปรสุ่มที่เป็น “ตัวเลขที่อยู่ด้านล่างของลูกเต๋า” ก็หาได้เหมือนกัน สิ่งที่ใส่เข้าไปคือ “การโยนลูกเต๋า” เหมือนเดิม แต่สิ่งที่ได้ออกมานั้นเปลี่ยนเป็น “ค่าตัวเลขด้านล่างของลูกเต๋า” แทน

ถ้ายังไม่เข้าใจ …

สมมุติว่าการชวนเพื่อนไปนั่งดูบอลด้วยกันนัดหนึ่ง (แมนยูเตะกับลิเวอร์พูลก็แล้วกัน) เป็นการทดลองสุ่ม (ดูมีสาระมาก) ในการทดลองนี้เราอาจจะนั่งนับจำนวนลูกที่แมนยูเตะเข้าประตู ส่วนเพื่อนอาจจะนั่งนับจำนวนครั้งที่ลิเวอร์พูลได้ครอบครองลูก และเพื่อนอีกคนอาจจะนั่งนับจำนวนครั้งที่กรรมการเป่านกหวีดก็ได้

อินพุตของฟังก์ชันตัวแปรสุ่มของแต่ละคนนั้นเหมือนกัน คือ “การนั่งดูบอล” ทั้งสามคนนั่งดูด้วยกัน นัดเดียวกัน จอเดียวกัน เหมือนกันเป๊ะ แต่ตัวแปรสุ่มของแต่ละคนไม่เหมือนกัน ดังนั้นถ้าดูจบแล้วมาถามว่าแต่ละคนได้ “เลขอะไร” จากการแข่งนัดนี้บ้าง แต่ละคนก็จะให้เลขมาไม่เหมือนกัน … ซึ่งมันเป็นตัวบอกว่า เราอาจจะสังเกตอะไรที่แตกต่างกันก็ได้ จากการทดลองเดียวกัน จึงจำเป็นต้องตกลงกันให้ดีว่าตัวแปรสุ่มคืออะไร แต่ละคนจะได้เข้าใจตรงกัน

สรุป

เรื่องการทดลองสุ่มและตัวแปรสุ่มนี้ มีไว้เพื่อจะบอกว่าการทดลอง กับการได้ค่าตัวเลขมาจากการทดลองนั้น เป็นคนละขั้นตอนกัน การทดลองเฉยๆเป็นการทำกิจกรรมที่อาจจะมีหรือไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ก็ได้ แต่การสร้างตัวแปรสุ่มขึ้นมาใช้ “วัด” ผลการทดลองนั้นออกมาเป็นตัวเลข ซึ่งตัวแปรสุ่มจะเป็นอะไรก็แล้วแต่ว่าเราตั้งใจจะสังเกตอะไรจากการทดลองนั้น จึงต้องตกลงกันให้ชัดเจน (คือเลือกว่าจะใช้ตัวแปรสุ่มตัวไหน) แล้วจึงจะนำผลการทดลองมาผ่านกระบวนการ (ยุ่งๆ ยากๆ) ต่างๆทางคณิตศาสตร์เพื่อแปลผลบางอย่างออกมาได้