ลิมิต ความต่อเนื่อง – ตอนที่ 1: ลิมิตกับปากเหว

ลิมิตของลำดับ เป็นการหาว่าเวลาลำดับวิ่งไปสักพักแล้วมันมีค่าเข้าใกล้เลขอะไร เราเฝ้าดู “หางๆ” ของลำดับว่ามีแนวโน้มอย่างไร ถ้าหางมันนิ่งๆไม่ส่ายไปมาก็จะบอกว่าลำดับนั้นมีลิมิต

 

ในเรื่องลิมิตและความต่อเนื่อง จะพูดถึงลิมิตของ “ฟังก์ชัน” แทนที่จะเป็นลำดับ

 

เมื่อเราวาดฟังก์ชันเป็นกราฟบนแกนพิกัดฉาก จะได้เส้นโค้งไปคดมา ขึ้นบ้าง ลงบ้างแล้วแต่ค่าของฟังก์ชัน หรือบางทีก็วิ่งขึ้นสวรรค์บ้าง ลงนรกบ้าง บางครั้งเส้นกราฟของฟังก์ชันก็ “ขาดตอน” อาจจะขาดหายไปเป็นแถบๆ หรือไม่ก็หายไปแค่จุดเดียว

 

ลองนึกภาพการปั่นจักรยานขึ้นภูเขา ถ้าตรงทางขึ้นนั้นเป็นทางกระโดด คือปั่นอยู่ดีๆแล้วพื้นกลายเป็นทางชันตั้งฉากขวางอยู่เราจะปั่นไม่ได้ หรือถ้าปั่นๆอยู่แล้วทางข้างหน้ามันกลายเป็นหน้าผา แบบนี้เราคงไม่กล้าปั่นลงไปเหมือนกัน

แต่ถ้าเส้นทางที่ปั่นอยู่นั้นเป็นทางลาดขึ้นไป มีอุปสรรคแค่นิดหน่อยคือมีเหวลึกๆแคบๆขวางอยู่ เราแค่เอาไม้หรืออะไรสักอย่างมาวางพาดแล้วก็ข้ามไปได้ แบบนี้ก็จะเหมือนฟังก์ชันที่ขาดตอนแค่บางจุด ซึ่งเป็นกรณีที่เราสนใจ

 

เข้าไปใกล้ๆปากเหว

 

สมมุติว่าเหวนั้นอยู่ตรงพิกัด a ตามแผนที่ (คือมองจากข้างบนลงมา มีพิกัดตามแกน x เท่ากับ a) ส่วนถ้ามองจากด้านข้าง ปากเหวนั้นอยู่สูงจากพื้นขึ้นไป L เราจะไม่สามารถไปยืนอยู่ที่ความสูง L ได้พอดีเป๊ะๆ (ซึ่งอยู่เหนือพิกัด a พอดี) เพราะว่าเราจะตกลงไปในเหว

สิ่งที่พอจะทำได้คือ ไปยืนใกล้ๆปากเหว ถ้าเราอยากอยู่ใกล้ๆความสูง L มากๆ ก็แค่เดินเข้าไปใกล้พิกัด a ให้มากขึ้นอีกนิด ถ้าจะอยู่เตี้ยกว่า L นิดหน่อยก็อยู่ทางซ้ายของพิกัด a แต่ถ้าอยากอยู่สูงกว่า L ก็กระโดดข้ามเหวไปอยู่ทางฝั่งขวา

 

ถ้าความสูงของภูเขาที่เป็นทางลาดขึ้นไปนั้นเป็นฟังก์ชัน f ภาษาคณิตศาสตร์ใช้คำว่า ลิมิตของฟังก์ชัน f มีค่าเท่ากับ L เมื่อ x เข้าใกล้ a  หมายความว่าถ้าเดินป้วนเปี้ยนอยู่แถวๆจุด a ค่าของฟังก์ชันจะไปหนีไปจาก L มากนัก และยิ่งเข้าไปใกล้ๆ a มากเท่าไหร่ ค่าฟังก์ชันก็จะยิ่งใกล้ L มากขึ้นตามไปด้วย เขียนเป็นสัญลักษณ์ว่า

 

เราจะพบว่า แม้ที่จุด a เป๊ะๆจะเป็นเหว (เปรียบเทียบว่าไม่มีค่าฟังก์ชันที่จุดนั้น) เราก็ยังถือว่า “ลิมิต” มีค่าเท่ากับ L การพูดถึงลิมิตที่จุดใดๆจะยึดถือไว้เสมอว่า

 

“จะไม่ไปยุ่งกับจุดนั้นๆโดยตรง จะยุ่งก็แต่แนวโน้มของค่าฟังก์ชันรอบๆจุดนั้นอย่างเดียว”

 

ประโยคนี้ข้างบนนี้แปลว่า ไม่ว่า f(a) จะเท่ากับ L หรือเท่ากับเลขอื่นใด หรือแม้แต่หาค่าไม่ได้เลยก็ตาม ถ้ารอบๆจุด a ยังมีแนวโน้มพุ่งไปหา L ลิมิตของฟังก์ชันก็จะถือว่ามีค่าเป็น L อยู่ดี