ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

Archive for the ‘ลำดับ อนุกรม’ Category

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 7: อนุกรมอนันต์

อนุกรมอนันต์ :: ต้องรู้ก่อนว่ามีผลบวกอยู่จริงๆ

ในการบวกเลขที่มีไม่รู้จบ สิ่งที่อาจเกิดขึ้นได้ (และเกิดขึ้นบ่อยๆ) คือเราไม่สามารถหาผลบวกได้ ตัวอย่างง่ายๆเช่น 1+1+1+1+… ไปเรื่อยๆถามว่าได้เท่าไหร่ คำตอบคือ “หาค่าไม่ได้” เพราะค่าของมันเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ไม่รู้ว่าบวกไปสิ้นสุดเมื่อไหร่

เราสนใจผลบวกของอนุกรมอนันต์อยู่เหมือนกัน แต่ก่อนจะถามหาผลบวก จำเป็นต้องถามก่อนว่าอนุกรมนี้หาผลบวกได้จริงหรือเปล่า เพราะการหาผลบวกจำนวนเป็นอนันต์ตัวออกมาเป็นตัวเลขตัวหนึ่งได้นั้นไม่ใช่เรื่องที่เกิดขึ้นบ่อยๆ

 

ถึงตรงนี้หลายคนคงเกิดความรู้สึกแปลกๆ ว่าการบวกตัวเลขเพิ่มเข้ามาเรื่อยๆอย่างไม่จำกัดจำนวนตัว มันจะได้ผลบวกที่เป็นตัวเลขจำกัดได้ยังไงกัน ลองดูตัวอย่างแบบนี้ก่อนแล้วอาจจะรู้สึกดีขึ้น

 

สมมุติว่ามีเค้กหนึ่งชิ้น เป็นเค้กที่อร่อยมาก แต่จะกินให้หมดก็เสียดาย อยากเก็บไว้กินให้ได้หลายๆวัน วิธีหนึ่งที่ใช้ได้ก็คือ “กินทีละครึ่งของที่มีอยู่” วันแรกกินไปครึ่งชิ้นก็จะเหลืออีกครึ่ง วันที่สองกินครึ่งของครึ่งคือหนึ่งในสี่ วันที่สามกินหนึ่งในแปด … เราจะพบว่ามีเค้กเหลืออยู่ทุกวันเสมอ ไม่ว่าจะผ่านไปนานเท่าไหร่ (ถ้ามันไม่เน่าไปซะก่อน) เพราะเราจะแบ่งส่วนที่เหลือไว้ในวันถัดไปเสมอ

ตัวอย่างนี้ทำให้รู้ว่า \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... ไปเรื่อยๆนั้นมีค่าจำกัด แม้ว่าจะเป็นการบวกเลขจำนวนเป็นอนันต์ครั้ง แต่ผลบวกทั้งหมดนั้นมีค่าแค่ 1 เท่านั้นเอง สรุปแล้วอนุกรมอนันต์ก็สามารถบวกกันออกมาได้เป็นจำนวนจำกัดเหมือนกัน เพียงแต่เกิดสำหรับบางอนุกรมเท่านั้น

 

ผลบวกของอนุกรมอนันต์ เรียกว่า {S_\infty } คือใช้ตัว S แทนคำว่า Sum เหมือนเดิม แต่ห้อยเครื่องหมายอนันต์ไว้ {S_\infty } นี้ไม่ได้เขียนพร่ำเพรื่อ แต่ต้องรู้ซะก่อนว่ามันมีอยู่จริงๆ

 

อนุกรมอนันต์แบบไหนที่หา  {S_\infty } ได้

ตามความรู้สึกของเรา ถ้าจะบวกอะไรเป็นอนันต์ตัวแล้วได้ผลลัพธ์เป็นเลขตัวนึงที่ไม่เป็นอนันต์ ตัวท้ายๆของมันจะต้องมีค่าน้อยๆ และน้อยลงเรื่อยๆด้วย ภาษาคณิตศาสตร์ใช้คำว่าพจน์ท้ายๆของมันมีค่าน้อยลง “เร็วพอ” ที่จะทำให้อนุกรมลู่เข้า การถามว่าแบบไหนเร็วพออาจจะตอบยาก และถ้าจะตอบกันจริงๆก็เป็นเรื่องใหญ่ทีเดียว

เพื่อให้งานง่ายขึ้น เอาแค่ของที่เรารู้จักก็พอ

 

อนุกรมเลขคณิต หาผลบวกอนุกรมอนันต์ไม่ได้เลย ยกเว้น 0+0+0+…แค่อนุกรมเดียว เพราะโดยปกติลำดับอนันต์จะมีพจน์หลังๆที่ใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ (ใหญ่นี้หมายถึงทั้งบวกและลบ ขอให้ไกลจาก 0 มากๆ) แม้แต่ลำดับคงที่เช่น 1, 1, 1, … พอบวกเป็นอนุกรมแล้วก็จะมีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ทำให้หาผลบวกอนันต์ไม่ได้

 

อนุกรมเรขาคณิตมีอยู่สองกรณี เราจะเห็นว่าหน้าตาของลำดับเรขาคณิตขึ้นอยู่กับค่า r ถ้า r มากกว่า 1 ลำดับจะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ (หรือติดลบมากกว่า -1 ก็จะมีค่าใหญ่ขึ้นเหมือนกัน แต่พจน์จะเป็นบวก, ลบสลับกัน) แบบนี้อนุกรมอนันต์หาไม่ได้แน่ๆ

กรณีที่ r =1 ก็จะคือลำดับคงที่เหมือนในอนุกรมเลขคณิต ส่วน r = -1 จะได้ลำดับสลับ ทั้งคู่หาผลบวกอนันต์ไม่ได้เช่นกัน

มีกรณีเดียวที่จะหาค่าอนุกรมอนันต์ได้คือเมื่อ |r|<1 คืออยู่ระหว่าง -1 กับ 1 (เป็น 1 กับ -1 ก็ไม่ได้เพราะมันคือกรณีข้างบน)

 

สรุปแล้วมีแค่สองกรณี (ที่เรารู้จักในตอนนี้ แต่ที่จริงยังมีอีกมากมายที่เรายังไม่รู้จัก) ที่อนุกรมอนันต์จะหาค่าได้ นั่นคือเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี r อยู่ระหว่าง -1 กับ 1 หรือเป็นอนุกรมเลขคณิตที่มีแต่ 0 ทุกพจน์ แปลว่าถ้าเป็นกรณีอื่นๆสรุปได้เลยว่าผลบวกอนันต์หาค่าไม่ได้ ไม่ต้องเสียเวลาไปคำนวณมัน

 

ถามว่าผลบวกอนันต์จะเป็นเท่าไหร่ ก็กลับไปดูสูตรผลบวกย่อยของอนุกรมเรขาคณิต

{S_n} = \frac{{{a_1}({r^n} - 1)}}{{r - 1}}

        เมื่อ n มีค่ามากๆ (ลิมิตเข้าใกล้ infinity) {r^n} จะน้อยลงเรื่อยๆจนเป็น 0 จึงเหลือแค่

 {S_\infty } = \frac{{{a_1}( - 1)}}{{r - 1}} = \frac{{{a_1}}}{{1 - r}}

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ลำดับ อนุกรม

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 6: ผลบวกของอนุกรมจำกัด

ผลบวกย่อยของอนุกรมที่เราจะได้เจอมันบ่อยๆ

อนุกรมที่แต่ละพจน์หน้าตาเป็น “พหุนาม” เช่น \sum\limits_{i = 1}^{20} {3{i^2} - 2i + 1} ของแบบนี้ไม่ใช่ทั้งเลขคณิตและเรขาคณิต จึงใช้สูตรอะไรไม่ได้ตรงๆทันที ต้องรู้จักเครื่องมือบางอย่างเพิ่มสักหน่อยก่อน

สิ่งแรกที่ควรจะรู้คือ เครื่องหมาย \sum\limits_{}^{} {} สามารถกระจายซอกซอนไปตามพจน์ต่างๆได้ พูดให้ชัดคือกระจายไปในเครื่องหมายบวก ลบ และการคูณตัวค่าคงที่ได้ แต่ถ้าพจน์ที่คูณกันติดตัวแปรทุกพจน์ จะเอา \sum\limits_{}^{} {} กระจายเข้าไปในแต่ละตัวนั้นไม่ได้

สองอันแรกนั้นชัดเจน แต่การคูณด้วยค่าคงที่อาจเป็นคำที่ไม่คุ้นเท่าไหร่ ซึ่งข้อควรระวังอยู่ตรงนี้เอง ถ้าเรามี \sum\limits_{i = 1}^{10} {5i} เราสามารถเบียดแทรก \sum\limits_{}^{} {} เข้าไปข้างในได้เป็น 5\sum\limits_{i = 1}^{10} i หรือจะเรียกว่า “ดึงค่าคงที่ออกมา” ก็ได้

กลับกันถ้ามี \sum\limits_{i = 1}^{10} {(i - 1)(i + 1)} เราไม่สามารถทำเป็น \sum\limits_{i = 1}^{10} {(i - 1)} \sum\limits_{i = 1}^{10} {(i + 1)} ได้เพราะทั้ง (i-1) และ (i+1) ติดตัวแปรทั้งคู่ วิธีเดียวที่จะจัดการมันได้คือคูณหลายๆพจน์เหล่านั้นให้เสร็จซะก่อนแล้วจึงกระจาย \sum\limits_{}^{} {} เข้าไปในการบวก

เครื่องมืออีกชิ้นคือผลบวกอนุกรมที่ทุกพจน์ยกกำลังเดียวกัน เช่น \sum\limits_{}^{} i, \sum\limits_{}^{} {{i^2}}, \sum\limits_{}^{} {{i^3}}(หรือกำลังสูงกว่านี้ก็มี แต่ไม่ค่อยได้ใช้ และสูตรก็จำยาก)

\sum\limits_{i = 1}^{n} i  = \frac{n(n+1)}{2} จะเห็นว่าสูตรคุ้นๆ เพราะมันคืออนุกรมเลขคณิต 1+2+3+…+n นั่นเอง (พจน์แรกเป็น 1 พจน์สุดท้ายเป็น n)

\sum\limits_{i = 1}^{n} {{i^2}}  = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} อันนี้เป็นของใหม่ จะเห็นได้ว่าถ้าแต่ละพจน์ยกกำลังสอง ผลลัพธ์จะไม่ใช่การยกกำลังสองดื้อๆ แต่จะเปลี่ยนเป็นหน้าตาประหลาดๆไปจากเดิม

\sum\limits_{i = 1}^{n} {{i^3}}  = {\left({\frac{n(n+1)}{2}}\right)^2} ความบังเอิญที่แปลกก็คือ พอแต่ละพจน์ในอนุกรมยกกำลังสาม ผลรวมจะเท่ากับกำลังสองของตอนที่เป็นอนุกรมเลขคณิต (สูตรแรก)

วิธีใช้เครื่องมือสองชิ้นร่วมกันก็คือ ให้กระจาย \sum\limits_{}^{} {} เข้าไปในแต่ละพจน์ของพหุนามที่บวกกันอยู่ แล้วดึงค่าคงที่ออกมาอยู่นอก \sum\limits_{}^{} {}ให้หมด พจน์ที่ติดตัวแปรก็จะอยู่ในรูปของ \sum\limits_{}^{} i, \sum\limits_{}^{} {{i^2}} หรือ \sum\limits_{}^{} {{i^3}} อย่างใดอย่างหนึ่ง แล้วก็แทนค่า n ลงในสูตรเป็นอันเสร็จพิธี

ตัวอย่างเช่น\sum\limits_{i = 1}^8 {3{i^3} - 5{i^2} + 2i + 4}  พอกระจายตามวิธีที่ว่าก็จะกลายเป็น

3\sum\limits_{i = 1}^{8} {{i^3}} - 5\sum\limits_{i = 1}^{8} {{i^2}} + 2\sum\limits_{i = 1}^{8} i + \sum\limits_{i = 1}^{8} 4

อาจจะดูน่ากลัวเพราะตัวมันใหญ่ขึ้น แต่พอแทนตัวเลขลงในสูตรแล้วจะได้คำตอบทันที

3{\left( {\frac{8(8 + 1)}{2}} \right)^2} - 5\left( {\frac{8(8 + 1)(2 \times 8 + 1)}{6}} \right) + 2\left( {\frac{8(8 + 1)}{2}} \right) + 8 \times 4

คิดเลขนิดหน่อยก็จะได้คำตอบเลย

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ลำดับ อนุกรม

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 5: เก้าส์กับการหาผลบวกย่อย

ผลบวกย่อย :: เรื่องของเกาส์

ลำดับอาจจะยาวไปได้เรื่อยๆ ลำดับบางชนิด ถ้าบวกเลขทุกตัวเข้าด้วยกัน เราจะไม่ได้อะไรเลย (หมายความว่าผลบวกจะเพิ่มขึ้นไปเรื่อยๆ ไม่เข้าใกล้ค่าใด) แต่ถ้าบวกแค่ไม่กี่ตัวแรกจะหาผลบวกได้แน่นอน (เพราะไม่ต้องสนใจหางยาวๆที่ตามมา) การบวกเลขตัวแรกๆในลำดับจะเรียกว่า “ผลบวกย่อย” ของลำดับ การนับ 1-100 อาจจะไม่ยากเท่าไหร่ แต่ถ้าถามว่า 1 ถึง 100 บวกกันได้เท่าไหร่อาจจะต้องใช้เวลาคิดสักหน่อย อาจจะคิดแบบ “ถึกๆ” หรือมีวิธีที่สวยกว่านั้นก็แล้วแต่

เมื่อหลายร้อยปีมาแล้ว ครูสั่งให้เด็กชายเกาส์และเพื่อนบวกเลข 1 ถึง 100 แล้วก็ออกไปนอกห้อง โดยหวังว่านักเรียนทั้งหมายจะใช้เวลานานจนหมดคาบในการบวกเลขชุดนี้

เด็กชายเกาส์คิดหาวิธีสวยๆในการบวกเลข 1 – 100 โดยสังเกตว่า ถ้านำตัวแรกไปบวกกับตัวสุดท้ายจะได้ 101, นำ 2 ไปบวก 99 ก็ได้ 101 , นำ 3 ไปบวก 98 ก็ได้ 101 เท่ากันหมด เมื่อสังเกตแบบนี้ก็นั่งนับว่ามันมีคู่ที่บวกกันได้ 101 อยู่ทั้งหมด 50 คู่ ตอนนั้นเด็กชายเกาส์รู้จักการคูณแล้ว ก็เลยนำ 101 คูณกับ 50 ได้ 5050 ได้คำตอบอย่างรวดเร็ว พอครูกลับมาก็พบว่าเด็กชายเกาส์ส่งคำตอบในขณะที่เพื่อนยังนั่งคิดอยู่

วิธีนี้ไม่ได้ใช้ได้เฉพาะ 1 ถึง 100 แต่ใช้ได้กับลำดับเลขคณิตทุกแบบที่เอามาบวกกันเป็นอนุกรม ถ้ารู้ว่าต้องบวกเลขกี่ตัว เอาตัวแรกมาบวกตัวสุดท้าย แล้วสังเกตว่ามีกี่คู่ แล้วนำมาคูณกันก็จะได้คำตอบ จึงเป็นที่มาของสูตรการหาผลบวกย่อยในอนุกรมเลขคณิต

 

ผลบวกย่อยของอนุกรมเลขคณิต

ผลบวกย่อย n พจน์แรก เขียนว่า S_n หรือ \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}}  มีค่าเท่ากับ {a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_n}  หมายถึงเอาพจน์ที่หนึ่ง สอง สาม สี่ ห้า … บวกกันไปเรื่อยๆจนถึงพจน์ที่อยากจะจบคือพจน์ที่ n เช่นว่าอยากจะบวก 3 พจน์ ก็จะเขียนว่า S_3 ซึ่งเท่ากับ {a_1}+{a_2}+{a_3}

{S_n} = \frac{n({a_1} + {a_n})}{2}

ถ้าแยกตามความหมายของมัน{a_1} + {a_n} คือพจน์แรกบวกพจน์สุดท้าย ซึ่งคู่อื่นๆที่บวกกันแล้วได้ค่าเท่ากันนี้มีอยู่หลายคู่ด้วยกัน ส่วน n/2 บอกว่ามีค่าเท่านี้อยู่กี่คู่ เมื่อนำมาคูณกันจึงได้ผลบวกของเลขทั้งหมด

เมื่อนำสูตรของลำดับเลขคณิตมาใส่ {a_n} = {a_1} + (n - 1)d เราจะได้

 {S_n} = \frac{{n({a_1} + {a_1} + (n - 1)d)}}{2} = \frac{{n(2{a_1} + (n - 1)d)}}{2}

ผลบวกย่อยของอนุกรมเรขาคณิต

เนื่องจากลำดับเรขาคณิตได้จากการคูณตัวเลขโปะเข้าไปเรื่อยๆ ระยะห่างระหว่างแต่ละพจน์จึงไม่เท่ากัน จะใช้วิธีเอาตัวแรกบวกตัวสุดท้ายแล้วนับว่ามีกี่คู่เหมือนเดิมไม่ได้ การหาวิธีสวยๆในการบวกจึงต้องแยบยลกว่านั้น

ผลบวกย่อยของอนุกรมเรขาคณิตหน้าตาเป็นแบบนี้

S_n= a1 + {a_1}r + {a_1}{r^2} + {a_1}{r^3} + ... + {a_1}{r^{n - 1}}

ถ้าคูณ r เพิ่มเข้าไปในทั้งสมการ เลขยกกำลัง r ทุกตัวจะเพิ่มขึ้นจากไม่มีเป็นมีขึ้นมา จากหนึ่งเป็นสอง จากสองเป็นสาม และเราจะได้ของแปลกๆบางอย่างขึ้นมาด้วย

rS_n= {a_1}r + {a_1}{r^2} + {a_1}{r^3} + ... + {a_1}{r^{n - 1}} + {a_1}{r^n}

ถ้านำ rS_n  กับ  S_n มาลบกัน พจน์ทั้งหลายที่เหมือนกัน (ซึ่งมีเพียบเลย) จะตัดกันหายไป เหลือแต่ตัวที่ไม่ได้ลบกับใคร หรือไม่มีใครมาลบ จะได้

 r{S_n} - {S_n} = {a_1}({r^n} - 1)

เมื่อดึง S_n ที่เป็นตัวร่วมออกมา แล้วย้ายพจน์อื่นๆไปไว้ข้างขวาให้หมด เราจะได้

{S_n} = \frac{{{a_1}({r^n} - 1)}}{{r - 1}}

ผลบวกย่อยของอนุกรมเลขคณิตและเรขาคณิตจึงหาได้ด้วยประการฉะนี้

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ลำดับ อนุกรม

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 4: อนุกรม

อนุกรม

เมื่อนำพจน์ต่างๆในลำดับมาบวกกันทั้งหมด ผลบวกนั้นจะเรียกว่าอนุกรม

จากเดิมที่มี “พจน์” มาเรียงๆกัน (a_n) ก็จะเปลี่ยนหน้าตาเป็น \sum\limits_{}^{} {{a_n}}แทน โดยตัว \sum\limits_{}^{} {} มีความหมายว่าสิ่งที่ตามหลังมานั้นมีหลายตัว ให้เอาทุกตัวมาบวกกัน

ด้วยความหมายนี้ ก่อนจะมีอนุกรม จึงต้องมีลำดับของสิ่งที่ “บวกกันได้” ซะก่อน คนเข้าคิวซื้อก๋วยเตี๋ยวอาจจะมีลำดับก็จริง แต่นำมาบวกกันไม่ได้จึงหาอนุกรมไม่ได้ กลับกัน วัตถุต่างๆทางคณิตศาสตร์ไม่ว่าจะเป็นฟังก์ชัน เมทริกซ์ เวกเตอร์ จำนวนเชิงซ้อน เหล่านี้สามารถหาผลบวกได้ เราจึงมีอนุกรมของสิ่งเหล่านี้ได้ด้วย ไม่จำกัดแค่เฉพาะจำนวนจริงอย่างเดียว

แอบรู้ก่อนสักนิดว่าจะไปเจออนุกรมที่ไหนอีก จะได้รู้ว่าเรียนไปทำไม

เรื่องอนุกรมนี้จะมาปรากฏตัวควบคู่กับวิชาแคลคูลัส ในชื่อว่า “อนุกรมเทย์เลอร์” ซึ่งเป็นอนุกรมของฟังก์ชัน (คือมีฟังก์ชันหลายๆตัวมาบวกกัน) ในแคลคูลัสจะมีการคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันและการหาผลรวมพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน (เรียกว่าดิฟ และอินทิเกรต) ซึ่งสำหรับบางฟังก์ชันสองค่าเหล่านี้ไม่สามารถหาออกมาเป็นสูตรที่สวยๆได้ เราจะใช้วิธีการกระจายฟังก์ชันให้เป็นอนุกรมเทย์เลอร์ (หน้าตาเป็นพหุนาม คือมี x ยกกำลังต่างๆมาบวกกันไปเรื่อยๆ) แล้วค่อยทำการดิฟหรืออินทิเกรตทีละพจน์ ซึ่งรับประกันว่าจะได้คำตอบแน่นอน

กลับมาที่อนุกรมของตัวเลขเหมือนเดิม

อนุกรมจำกัด & อนันต์

การนำเลขมาเรียงกันเป็นลำดับ อาจจะสิ้นสุดหรือมีต่อไปเรื่อยๆก็ได้ ถ้าสิ้นสุดเรียกว่าลำดับจำกัด ถ้ามีไปเรื่อยๆเรียกว่าลำดับอนันต์ พอจะนำมาบวกกันเป็นอนุกรม ชื่อเหล่านี้ก็ติดมาด้วยแบบตรงไปตรงมา ถ้านำลำดับจำกัดมาบวกกันก็จะได้อนุกรมจำกัด (คือมีเลขบวกกันอยู่ไม่กี่ตัว เดี๋ยวก็บวกกันได้จนครบ) ส่วนถ้านำลำดับอนันต์มาบวกกันก็จะได้อนุกรมอนันต์ (มีเลขให้บวกกันอยู่เป็นอนันต์ตัว)

อนุกรมจำกัด :: วิธีสวยๆในการบวก

การบวกเลขที่รู้แน่ๆว่ามีแค่ไม่กี่ตัว เราสามารถหาผลบวกได้แน่นอน ต่อให้มีสักหนึ่งล้านตัว ถ้ามีเครื่องคำนวณที่ดี หรือมีคนมาช่วยกันบวกเยอะๆ สักวันก็จะบวกสำเร็จ สิ่งที่น่าสนใจในการบวกที่ว่านี้คือ มีวิธีบวกที่ดีๆ ซึ่งจะช่วยให้เราหาผลบวกได้เร็วขึ้นไหม ถ้าหาวิธีที่ดีได้ เราอาจไม่ต้องบวกเลขทีละตัว แต่ใช้การคำนวณแค่ไม่กี่ขั้นตอนก็จะรู้ผลบวกทั้งหมดได้

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ลำดับ อนุกรม

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 3: ลู่เข้า

ลู่เข้า ลู่ออก :: ลำดับวิ่งไปหาเลขอะไร

การที่ลำดับมีพจน์เป็นอนันต์ทำให้มีสมบัติชนิดใหม่เพิ่มขึ้นมา นั่นคือพจน์ของลำดับสามารถมีค่าวิ่งเข้าไป “ใกล้ๆ” เลขบางตัวมากเท่าไหร่ก็ได้โดยที่แต่ละพจน์ของลำดับไม่จำเป็นต้องเท่ากับเลขตัวนั้น ซึ่งถ้าเป็นลำดับจำกัด จะไม่สามารถทำได้

เช่น 5, 4, 3, 2, 1 แล้วจบด้วนๆแค่นี้ เราจะไปบอกว่าพจน์ต่อไป (ถ้ามี) มันควรจะเป็น 0 ก็บอกไม่ได้ เพราะจริงๆแล้วมันไม่มี ถ้าลำดับจำกัดจะวิ่งไปจบที่ตรงไหน เลขตัวสุดท้ายของลำดับก็ต้องเป็นตัวนั้นเป๊ะๆ ไม่มีทางบ่ายเบี่ยงได้ ซึ่งในกรณีนี้เป็น 1

แต่ลำดับ 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, … นั้นเข้าไปใกล้ 0 ได้มากเท่าที่ต้องการ เช่นต้องการแนบชิดกับ 0 ไม่เกินหนึ่งในล้าน ก็ไล่ลำดับไปที่พจน์ที่ 7 เป็นต้นไป พจน์ถัดๆไปจากนี้จะห่างจาก 0 ไม่เกินหนึ่งในล้านทั้งหมด หรืออยากเข้าใกล้ไม่เกินหนึ่งในล้านล้าน ก็วิ่งไปให้เลยพจน์ที่ 13 ก็จะได้ตามต้องการ

สิ่งที่น่าสนใจคือ เราจะพบว่าในลำดับนี้ไม่มีตัวไหนเป็น 0 เลยสักตัว (มันจะมีติ่งที่เป็นเลข 1 ห้อยท้ายอยู่ไกลลิบๆเสมอ) การที่มันเข้าไปใกล้ 0 ได้มากเท่าที่เราอยากได้นี้ เราเรียกว่าลำดับ “ลู่เข้า” (Converge) ไปหาเลข 0 ตัวเลขที่ลำดับลู่เข้าไปหาเรียกว่า “ลิมิต” (Limit)

แปลว่าในการ “ลู่เข้า” นั้น ตัวเลขที่ลำดับวิ่งไปหา อาจจะไม่ใช่พจน์ไหนเลยในลำดับก็ได้ ดังตัวอย่างข้างบนที่วิ่งไปหา 0 หรือจะเป็นตัวเดียวกันก็ได้เช่นกัน เช่นลำดับ 5, 5, 5, … ทิ่วิ่งไปเป็นอนันต์พจน์ ก็เรียกว่า “ลู่เข้าหา” เลข 5 เหมือนกัน

ลำดับที่ไม่ลู่เข้า คือไม่วิ่งเข้าไปหาตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งบ้างเลย เรียกว่า “ลู่ออก” (DIverge) ลำดับนั้นอาจจะมีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงเรื่อยๆ หรือมีค่าสลับไปมาระหว่างเลขสองตัว ก็เรียกว่าเป็นการลู่ออกเหมือนกัน

ดูยังไงว่าลู่เข้า

เราอาจสังเกตการลู่เข้าโดยนั่งดูพจน์ต่างๆไปเรื่อยๆก็ได้ ถ้าคุ้นเคยกับมันมากพอแล้วก็จะทำให้เห็นแนวโน้มว่าลำดับมีสิทธิ์จะวิ่งไปหาอะไร

ข่าวร้ายก็คือการนั่งดูอาจเสียเวลาเปล่า เพราะบางลำดับกว่าจะลู่เข้าใช้เวลานานมาก (อาจจะไปเริ่มลู่เข้าสักพจน์ที่สองล้าน ก่อนหน้านั้นก็วิ่งสะเปะสะปะ เป็นต้น) หรือแย่กว่านั้นคืออาจจะไม่ลู่เข้าเลยก็ได้ วิธีที่ชัวร์กว่านั้นคือการพิจารณา “พจน์ทั่วไป” ของลำดับแต่ละชนิด

มีกฎอยู่บ้างเหมือนกัน ที่จะเอาไว้พิจารณาได้ว่าลำดับหน้าตาแบบไหนลู่เข้าหรือลู่ออก

ลำดับเลขคณิต จะลู่เข้ากรณีเดียวคือเมื่อ d = 0 หมายถึงเป็นลำดับคงที่ ถ้ามีการเพิ่มหรือลดค่า อย่างใดอย่างหนึ่ง (d ไม่เป็น 0) มันจะเพิ่มหรือลดไปเรื่อยๆไม่สิ้นสุด จึงไม่เข้าหาค่าใดเลย

ลำดับเรขาคณิต แบ่งเป็น 4 กรณี

  • r \le -1 จะได้ลำดับสลับระหว่างค่าบวกและลบไปเรื่อยๆ …ซึ่งลู่ออก
  • \left| r \right| < 1 ลำดับลู่เข้าหา 0 เพราะพจน์ถัดๆไปจะมีค่าลดลงเรื่อยๆ แม้ตอนที่ r ติดลบจะกลายเป็นลำดับสลับ แต่ก็เป็นการสลับที่เข้าใกล้ 0
  •  r = 1 ลำดับลู่เข้า เพราะกลายเป็นลำดับที่คงที่ มีค่าเท่าเดิมตลอด
  • r > 1 ลำดับลู่ออก เพราะมีค่าเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว

มีลำดับพิสดารอยู่ชนิดหนึ่ง ได้จากการนำ “พหุนาม” สองตัวมาหารกัน เราอาจคุ้นเคยกับพหุนามที่มีตัวแปรเป็น x พอมาใส่ n ซึ่งเป็นค่าไม่ต่อเนื่องก็จะได้กราฟเป็นจุดๆ แทนที่จะเป็นเส้นโค้งๆ

ตัวอย่างลำดับที่เป็นผลหารของพหุนาม ได้แก่

{a_n} = \frac{{{n^2} - 1}}{{3{n^2} + n - 5}}

{a_n} = \frac{{{n^3} - 3n}}{{4{n^2} + 2n + 1}}

{a_n} = \frac{{1 - n}}{{{n^2}}}

ลิมิตของลำดับผลหารพหุนาม มีอยู่สามกรณีที่ต่างกัน

  • ดีกรีของพหุนามตัวตั้งกับตัวหารมีค่าเท่ากัน ลำดับจะลู่เข้า ลิมิตหาได้จากสัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสูงสุดหารกัน
  • ดีกรีของตัวบนมากกว่าตัวล่าง ลำดับจะลู่ออก ซึ่งมีค่าเข้าสู่ infinity หรือ – infinity ขึ้นอยู่กับลำดับมีค่าเป็นบวกหรือลบ
  • ดีกรีของตัวล่างมากกว่าตัวบน ลำดับจะลู่เข้า และมีลิมิตอยู่ค่าเดียวคือ 0

สามกรณีที่ว่ามานี้เป็นผลสรุปจากการคำนวณสั้นๆ ไม่ใช่กฎที่ต้องจำ วิธีทำก็คือ ให้ดูว่า n กำลังสูงสุดเป็นเท่าไร (อาจจะอยู่ข้างบนหรือข้างล่างของเศษส่วนก็ได้) นำ n ยกกำลังสูงสุดนั้นไปหารทุกๆพจน์ ทั้งเศษและส่วน ถ้าพจน์ไหนตัดกันก็ตัดไปได้เลย (ไม่ต้องกลัวว่า n = 0 เพราะเป็นการพิจารณาลิมิตเมื่อ n มีค่ามากๆอยู่แล้ว) เราจะเหลือบางพจน์เป็นจำนวนเฉยๆ บางพจน์เป็นเศษส่วนซึ่งเป็นจำนวนหารด้วยตัวแปร n พจน์ไหนที่เหลือเป็นเศษส่วนที่มี n อยู่ข้างล่าง เราสรุปได้ไม่ยากว่าเมื่อ n มากขึ้นพจน์เหล่านั้นจะเข้าใกล้ 0 สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือพจน์ที่เป็นจำนวนเปล่าๆไม่ได้หารด้วยอะไร เมื่อนำจำนวนเหล่านั้นมาหารกันก็จะได้ลิมิตของทั้งลำดับ

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ลำดับ อนุกรม

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 2: ลำดับต่างๆ

ลำดับเลขคณิต

เป็นลำดับของจำนวนที่แต่ละคู่มี “ผลต่าง” คงที่ เมื่อนำพจน์ปัจจุบันลบด้วยพจน์ก่อนหน้าจะได้ค่าคงที่ เรียกว่า “ผลต่างร่วม” ซึ่งหมายถึงเป็นผลต่างระหว่างสองพจน์ที่อยู่ติดกัน และทุกคู่ในลำดับใช้ผลต่างนี้ร่วมกันหมด ใช้สัญลักษณ์ว่า d ย่อมาจาก common difference

 

ลำดับเลขคณิตเริ่มจากพจน์แรกเป็นจำนวนอะไรก็ได้ และกำหนดไว้ก่อนว่าจะ “ก้าวทีละเท่าไหร่” (ซึ่งก็คือผลต่างร่วมนั่นเอง) จากนั้นก็บวกเพิ่มไปเรื่อยๆด้วยค่าคงที่ตัวเดิม จะบวกไปสักพักแล้วหยุด หรือบวกไปเรื่อยๆไม่รู้จบก็ได้

 

พจน์แรกคือ a1 ไม่ได้บวกอะไร

พจน์ที่สองคือ a1 + d

พจน์ที่สามก็เพิ่มไปอีก d กลายเป็น a1 + d

พจน์ที่ n จึงได้ a1 + (n-1)d เป็นพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

 

ถ้านำพจน์ต่างๆของลำดับเลขคณิตไปวาดกราฟ จะได้จุดที่เรียงกันในแนวเส้นตรง (เป็นจุดๆแยกจากกัน ไม่ได้เป็นเส้นต่อเนื่อง) ถ้าลากเชื่อมกันก็จะได้เส้นตรงความชันเท่ากับ d

 

ลำดับเรขาคณิต

เป็นลำดับของจำนวนที่แต่ละคู่มี “ผลหารคงที่” หมายถึงเมื่อนำพจน์ปัจจุบันหารด้วยพจน์ก่อนหน้าจะได้ค่าคงที่ (คล้ายลำดับเลขคณิต แต่เปลี่ยนจากลบเป็นหาร) เรียกว่า “อัตราส่วนร่วม” ใช้อักษรย่อว่า r มาจากคำว่า common ratio

 

ลำดับเรขาคณิตเริ่มสร้างจากจำนวนเริ่มต้นตัวเดียวเช่นกัน แต่แทนที่จะบวกเพิ่มทีละเท่าๆกัน ก็จะใช้การคูณด้วยอัตราส่วนร่วม จะคูณเป็นจำนวนจำกัดครั้ง หรือคูณไปเรื่อยๆก็ตามใจ พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตมีสมการเป็น an = a1rn-1

 

มีลำดับบางชนิดที่เป็นทั้งเลขคณิตและเรขาคณิต ได้แก่ลำดับที่เป็นค่าคงที่ เช่น 5, 5, 5, … เป็นเลขคณิตที่มี d = 0 และเป็นเรขาคณิตที่มี r =1

 

การสังเกตว่าลำดับที่ให้มาเป็นเลขคณิตหรือเรขาคณิต ถ้าให้มาแบบแจกแจงเป็นตัวๆ ก็ลองนำแต่ละพจน์ที่อยู่ติดกันแต่ละคู่มา ”ลบ” หรือ ”หาร” กัน ถ้าผลลบเท่ากันตลอดก็เป็นเลขคณิต ถ้าผลหารเท่ากันตลอดก็จะเป็นเรขาคณิต ถ้าไม่มีอะไรเท่ากันตลอดสักอย่าง ก็ไม่ใช่อะไรเลยในสองอย่างนี้ (ยังคงเป็นลำดับอยู่ แต่อาจจะไม่มีชื่อ หรือเป็นลำดับที่เราไม่รู้จัก)

 

ลำดับฮาร์โมนิก

คือลำดับที่เป็นส่วนกลับของลำดับเลขคณิต ถ้าให้ลำดับเลขคณิตมาแล้วกลับเอาทุกตัวไปไว้ข้างล่างของเศษส่วนหมดเลย ก็จะได้ลำดับฮาร์โมนิก เนื่องจากลำดับเลขคณิตมีค่าโตขึ้นเรื่อยๆ (ไม่ว่าจะเป็นทางบวกหรือลบ) เมื่อกลับเศษเป็นส่วน หารกันแล้วจะได้ค่าเข้าใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆเมื่อ n เพิ่มจนมีค่ามากๆ

ในบทเรียนนี้ไม่ได้สนใจการคำนวณของลำดับฮาร์โมนิกมากนัก แต่ใช้ประโยชน์เวลาหาลิมิตของลำดับชนิดอื่น โดยจัดรูปให้กลายเป็นลำดับฮาร์โมนิก แล้วสรุปว่ามีลิมิตเข้าใกล้ 0

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ลำดับ อนุกรม

ลำดับ อนุกรม – ตอนที่ 1: ลำดับคือฟังก์ชัน

ลำดับ อนุกรม

 

วิชาคณิตศาสตร์ม.ปลายมีการนำเอาตัวเลขมาเรียงๆกันหลายแบบ แต่ละแบบหน้าตาต่างกันนิดหน่อย และเอาไปใช้ประโยชน์ต่างกัน

–          เซต :: ใช้แบ่งพวก

–          เมทริกซ์ :: ใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้น

–          คู่อันดับ :: ใช้บอกตำแหน่งในแกนพิกัดฉาก

–          เวกเตอร์ :: ใช้บอกขนาด – ทิศทาง

–          ลำดับ :: ใช้เรียงความเป็นก่อน – หลัง

 

ลำดับต่างกับเซตตรงที่สมาชิกในลำดับมีตำแหน่งก่อนหลังที่แน่นอน ห้ามสลับ ซึ่งเป็นธรรมชาติของการเรียงลำดับอยู่แล้ว เราอาจจะบอกว่าเมทริกซ์หรือคู่อันดับก็ห้ามสลับตำแหน่งเหมือนกัน แต่ลำดับต่างกับเมทริกซ์หรือคู่อันดับตรงที่ลำดับสามารถเรียงต่อกันไปยืดยาวเท่าไหร่ก็ได้ อาจจะสิ้นสุดหรือไม่สิ้นสุดก็ได้ ในขณะที่เมทริกซ์หรือคู่อันดับมีขนาดที่แน่นอน

 

เราจะเจอของที่หน้าตาเป็นลำดับได้เยอะมากในชีวิตประจำวัน เช่นการใส่เลขที่ให้นักเรียนในห้อง การรับบัตรคิวเวลาไปโรงพยาบาล หรือการตีตรา Serial Number บนสินค้าซึ่งใช้บอกว่าผลิตเป็นลำดับที่เท่าไหร่และใครซื้อสินค้าชิ้นนี้ไปบ้าง จะเห็นว่าลำดับคือการ “จับคู่” ระหว่างตัวเลขกับบางสิ่งบางอย่าง อาจเป็นคน สัตว์ สิ่งของ หรือสิ่งที่นามธรรมอย่างจำนวนก็ได้

 

ในบทนี้เราจะเน้นเรื่องลำดับที่เป็น “จำนวน” หมายถึงการนำจำนวนมาเรียงต่อกันเป็นแถว เนื่องจากมีอะไรให้ศึกษามากกว่าลำดับที่เป็นของอย่างอื่น

 

ลำดับคือฟังก์ชัน

ถึงเราจะเห็นลำดับที่เขียนโดยการเอา “จำนวนมาเรียงต่อกันเฉยๆ“ อยู่บ่อยครั้ง แต่ถ้าจะพูดให้ถูกเป๊ะๆแล้วลำดับคือฟังก์ชันชนิดหนึ่ง เนื่องจากเป็นการจับคู่ระหว่างจำนวนนับ (1, 2, 3, …) กับสิ่งของ การจับคู่นั้นมองได้ว่าเป็น “คู่อันดับ” และเซตของคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหน้าไม่ซ้ำกันเรียกว่าฟังก์ชัน

ถ้าลำดับของเราคือ ปลาทู ปลาวาฬ ปลาเค็ม ปลากระป๋อง ซึ่งเมื่อนำไปวางเรียงกันในตู้เย็นแล้วสวยงามดี แม่จึงกำชับว่าห้ามสลับที่กันเด็ดขาด ฟังก์ชันที่เกิดขึ้นก็คือ

f ={(1, ปลาทู), (2, ปลาวาฬ), (3, ปลาเค็ม), (4, ปลากระป๋อง)}

ถึงเราจะสลับที่คู่อันดับในเซตข้างบน ก็ยังสามารถเรียงลำดับได้อยู่ดี เพราะในคู่อันดับมีตัวเลขกำกับอยู่ เราอาจเรียงลำดับปลาทั้ง 4 ชนิดไม่ได้โดยตรง แต่ถ้าใส่เลขลำดับให้มันแล้ว (เลขนี้เรียกว่า index หรือดัชนี) ต่อให้สลับกันจนมั่วยังไง ก็เรียงกลับมาให้เหมือนเดิมได้

 

จากฟังก์ชันข้างบน ด้วยวิธีการของฟังก์ชันเราจะเขียนได้ว่า f(1) = ปลาทู, f(3) = ปลาเค็ม ในเรื่องลำดับมีวิธีเขียนให้แตกต่างจากนั้นโดยใช้สัญลักษณ์ตัว a ห้อยท้ายตัวตัวเลขดัชนี เช่น a1 = ปลาทู , a3 = ปลาเค็ม

ลำดับเขียนได้สองแบบ เหมือนกับเซต คือแบบแจกแจงสมาชิก กับเขียนพจน์ทั่วไป

 

แบบแจกแจงสมาชิกคือการเขียนพจน์ a1 ,a2 ,a3 , … เรียงต่อกันไปจนหมดหรือจนกว่าจะพอใจ การเขียนแจกแจงนี้สามารถละตัวหลังๆได้เมื่อลำดับมีรูปแบบที่คนอ่านสามารถเดาได้ว่าตัวต่อไปคืออะไร ถ้าเลขเรียงกันมั่วๆ เช่น 35, -10, 28, 6, … แบบนี้จำเป็นต้องเขียนให้ครบ เพราะคนอ่านเดาตัวถัดไปไม่ออกแน่ๆ

ส่วนการเขียนพจน์ทั่วไปคือการเขียน “สูตร” ให้แทนค่า n ลงไปในสูตรแล้วจะได้ค่าของพจน์ที่ n ออกมาโดยไม่ต้องแจกแจงให้ดูทุกตัว พจน์ทั่วไปทำให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างแต่ละพจน์ได้ง่ายโดยไม่ต้องสังเกตเอาเอง แต่ก็อาจจะดูยากว่าพจน์ต่างๆมี “แนวโน้ม” พุ่งไปทางไหน

 

เรียนเสร็จแล้วต้องรู้อะไรบ้าง

เราศึกษาลำดับของ “จำนวน” กันเป็นหลัก เพราะลำดับของอย่างอื่นไม่สามารถนำมาคำนวณได้ หรือไม่ก็ยากเกินไป (ที่จริงเรามีลำดับของเซต ฟังก์ชัน เมทริกซ์ ฯลฯ ได้ทุกอย่างเลย ซึ่งยังคงยากไปหน่อยในระดับนี้) มีอยู่สามสี่ประเด็นที่เราสนใจเป็นพิเศษในการศึกษาลำดับของจำนวน

–          ค่าของแต่ละพจน์ และความสัมพันธ์กับ “พจน์ทั่วไป” ของมัน

–          ลำดับวิ่งไปหาเลขอะไร  … เรียกว่า “ลิมิต”

–          จำนวนในลำดับรวมกันได้เท่าไหร่ … เรียกว่า “อนุกรม”

 

มีลำดับดังๆอยู่สองสามแบบที่เราควรจะรู้จัก

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ลำดับ อนุกรม