ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

Archive for the ‘คณิตศาสตร์’ Category

ยังอยู่นะครับ

ไม่ได้เข้ามาเขียนเพิ่มนานมากแล้ว เพราะว่างานรัดตัวพอสมควรเลยครับ ถ้ามีโอกาสจะหาเวลามาเติมให้เต็มเป็นบทๆไป

 

ช่วงนี้หันมาจับงานวีดิโอสื่อการสอนมากกว่าครับ เพราะใช้เวลาเตรียมน้อยกว่าบทความ  ตั้งใจทำวีดิโอให้เสร็จ แล้วค่อยเขียนบทความประกอบจนครบ  ดูตัวอย่างได้ในนี้ครับ

https://www.youtube.com/user/CoolCourseClip

หลังจากนี้ไปจะสิงสถิตอยู่ที่ Youtube ช่องนี้เป็นหลักนะครับ  จะพยายามทำเพิ่มอย่างสม่ำเสมอทุกวัน ^^

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์

ตรรกศาสตร์ – ตอนที่ 2: ค่าความจริง

ค่าความจริงของประพจน์

เนื่องจากประพจน์คือประโยค การจะเขียนประพจน์หนึ่งประพจน์อาจต้องใช้แรงกายเป็นอันมาก ประพจน์ที่ยาวๆย่อมเสียพลังงานเยอะ ซึ่งนักคณิตศาสตร์ไม่ชอบสิ่งนี้ จึงตกลงกันว่า “เราตั้งชื่อให้มันกันดีกว่า” ว่าแล้วก็ตกลงใช้ “ตัวแปร” มาช่วยให้เขียนสั้นลง เรียกว่า “ตัวแปรประพจน์” (Statement variable) เช่นเราอาจกำหนดให้ p เป็นตัวแปรแทนข้อความ “พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก” และให้ q แทนข้อความ “วันนี้ฝนตกที่วัดพระแก้ว” เจ้าตัวแปร p และ q นี้แหละเรียกว่าตัวแปรประพจน์

ที่จริงแล้วตัวแปรประพจน์ใช้เขียนเพื่อแทนข้อความยาวๆในประพจน์ แต่เนื่องจากประพจน์สามารถเป็นจริงหรือไม่ก็เป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เราจึงตกลงกันว่าตัวแปรประพจน์มีค่าที่เป็นไปได้อยู่ 2 ค่า เรียกว่า ค่าความจริง คือมีค่า จริง (True: T) กับ เท็จ (False: F) เท่านั้น และในการคำนวณต่อไป มักไม่ค่อยได้สนใจว่าตัวแปรหนึ่งๆนั้นแทนประพจน์อะไร จะสนใจแต่ค่าความจริงของมัน

เช่น p แทนข้อความ “พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก” แต่ค่าของตัวแปร p จะเป็น “จริง” (T)

และพอรู้ว่า p เป็น “จริง” ปุ๊บ ในระหว่างการคำนวณยาวๆ ก็มักไม่มีใครมาถามอีกแล้วว่า p แทนข้อความอะไร

คล้ายๆกับค่าตัวแปรที่ใช้ในระบบจำนวน เช่น x = 2, y = 5

ต่างกันที่ตัวแปรประพจน์ มีค่าให้แทนลงไปได้แค่สองค่าคือ T (จริง) กับ F (เท็จ) เท่านั้น

ถ้าเรียนตรรกศาสตร์ในวิชาวงจรดิจิตอล (ซึ่งชื่อว่าวิชา Boolean Algebra) ค่าของตัวแปรประพจน์ก็จะเป็น 1 กับ 0 แทนสถานะ “ไฟติด” กับ “ไฟดับ” ซึ่งก็คือจริงกับเท็จนั่นเอง และตลอดเรื่องตรรกศาสตร์ ผลลัพธ์จากการคำนวณใดๆทางตรรกศาสตร์ก็จะมีแค่ 2 ค่าคือ T กับ F ไม่มีอะไรมากไปกว่านั้น …ดูน่าจะง่ายกว่าตัวเลขซะอีก

หนึ่งประพจน์มีค่าความจริงหนึ่งค่า แล้วถ้าหลายประพจน์ล่ะ…

เชื่อว่าตอนเด็กๆ เราน่าจะเคยเรียนเลขกันแบบนี้

 โจทย์ : “แม่ค้ามีส้มอยู่ 10 กิโล ไปซื้อมาเพิ่มอีก 5 กิโล ทิ้งไว้ข้ามวันส้มเน่าไป 1 กิโล จากนั้นขายไป 8 กิโล สุดท้ายแล้วแม่ค้าเหลือส้มอยู่เท่าไร”

 ประโยคสัญลักษณ์ : 10 + 5 – 1 – 8 = ?

จากโจทย์ (ซึ่งเป็นประโยคภาษามนุษย์) ก่อนจะคิดเลขได้เราต้องทำเป็นประโยคสัญลักษณ์ก่อน ครูประถมสอนเราว่าการมีส้ม 10 กิโล ให้แทนด้วยเลข 10 เฉยๆ ถ้าซื้อเพิ่มแปลว่าเดี๋ยวจะมีมากขึ้น ให้ใส่เครื่องหมายบวก การเน่าไปในชีวิตจริงแปลว่าของมันหายไปจึงมีน้อยลง ให้ใส่เครื่องหมายลบ เป็นต้น พอแปลงทุกอย่างเป็นสัญลักษณ์แล้วจึงค่อยลงมือคิดเลข ในวิชาตรรกศาสตร์เราทำแบบเดียวกัน โดยเปลี่ยนจากตัวเลขเป็น ”ค่าความจริง” และเปลี่ยนจากเครื่องหมายบวก ลบ คูณ หารเป็น “ตัวเชื่อมประพจน์” ซึ่งตัวเชื่อมหลักๆที่ใช้กันคือ “และ (\wedge )” “…หรือ(\vee )” “ถ้า…แล้ว… (\to)” “ก็ต่อเมื่อ (\leftrightarrow )” และ “นิเสธ (~)”

ในเรื่องตรรกศาสตร์ ข้อความ (ประพจน์) หนึ่งๆมีค่าความจริงหนึ่งค่า เมื่อมีหลายๆประพจน์มาเชื่อมต่อกันก็จะได้เป็นประพจน์อันใหม่ (ในวิชาภาษาไทยจะเรียกว่าประโยคความรวม) ตรรกศาสตร์จะบอกว่าค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมเสร็จแล้วจะเป็นยังไง โดยตกลงกันไว้ในสิ่งที่เรียกว่า “ตารางค่าความจริง”

ตารางค่าความจริง

เป็นตารางที่บรรจุค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมกัน โดยแจกแจงค่าของตัวแปรทุกตัวให้ครบทุกค่าที่เป็นไปได้ (แต่ละตัวมีแค่ 2 ค่า จึงแจกแจงให้ครบได้) จะว่าไปตารางค่าความจริงก็คล้ายๆกับ “สูตรคูณ” คือเป็นเครื่องมือที่บอกว่า “ตัวนี้ทำไอ้นี่กับตัวนั้น แล้วได้อะไรออกมา” ต่างกันที่ว่าสูตรคูณนั้นให้ท่องตัวเลขแค่บางตัว (เพราะตัวเลขมีเยอะจนนับไม่หวาดไม่ไหว) ส่วนตารางค่าความจริงนั้นใส่ทุกค่าที่เป็นไปได้ เพราะมันมีอยู่นิดเดียว

ชอบมีคนถามว่าตารางนี้ “ต้องท่องไหม”

คงต้องตอบว่า จะไม่ท่องก็ได้ แต่ต้องจำให้ได้

แปลว่าจะท่องก็ได้ แต่มีวิธีจำให้เป็นธรรมชาติกว่าการท่อง โดยการแปลความหมายของตัวเชื่อมต่างๆตามที่เราใช้กันในชีวิตประจำวันนี้แหละ

เช่นการพูดว่า “ตอนนี้ฝนตก และแดดออก” ถ้าอยากได้ตารางค่าความจริงโดยไม่ต้องท่อง ก็นั่งพินิจพิเคราะห์ดูเอาเองว่า ประโยคนี้จะถูกเมื่อไหร่ จะผิดเมื่อไหร่ ตามความรู้สึกของเราแล้วมันถูกเมื่อ “ฝนต้องตก” และ “แดดต้องออก” ทั้งสองอย่างพร้อมๆกันเท่านั้น ถ้ามีแค่อย่างเดียวหรือไม่มีสักอย่าง มันจะผิด

ก็เลยได้ข้อสรุปว่า p \wedge q  จะจริงเมื่อ p จริงและ q จริงทั้งคู่เท่านั้น นอกนั้นจะเป็นเท็จ

ทำนองเดียวกัน ถ้าสั่งเด็กเสิร์ฟว่า “เอากาแฟหรือชามาก็ได้” แล้วเด็กเสิร์ฟยกชามาอย่างเดียว ก็ถือว่าทำถูกคำสั่งแล้ว หรือต่อให้ยกมาทั้งคู่เลยก็ถือว่าทำถูกคำสั่งเช่นกัน ดังนั้น p \vee q  จะเป็นจริงเมื่อ p กับ q มีตัวจริงอย่างน้อยหนึ่งตัว (จะเป็นจริงทั้งสองตัวเลยก็ได้)

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ตรรกศาสตร์

Tagged with:

ตรรกศาสตร์ – ตอนที่ 1: ประพจน์

ชีวิตมนุษย์เราประกอบด้วยส่วนที่เป็นเหตุผลและอารมณ์ความรู้สึก สมองคนเราแบ่งเป็นสองซีกคือซีกที่ใช้คิดคำนวณไตร่ตรองด้วยเหตุผล และซีกที่ใช้ประมวลผลเกี่ยวกับอารมณ์ความรู้สึก ถ้าจะพูดว่าสองซีกนั้นคือ “ศาสตร์” ซะซีกหนึ่งและ “ศิลป์” อีกซีกหนึ่งก็คงไม่ผิด

 

เราใช้เหตุผลกันเพื่อตัดสินว่า สิ่งนี้ถูก สิ่งนั้นผิด ความคิดนี้ถูก ความคิดนั้นผิด คำกล่าวนี้ถูก คำกล่าวนั้นผิด แต่บ่อยครั้งก็เห็นมีคนใช้อารมณ์มาตัดสินความถูกผิดกัน ซึ่งไม่น่าจะดีสักเท่าไหร่ การจะชี้ให้ได้ว่าสิ่งนี้ถูกหรือผิดกันแน่ ก็ต้องมีกฎเกณฑ์บางอย่างให้ยึดถือกันเป็นมาตรฐานก่อน จะได้ไม่ต้องมานั่งเถียงกันว่า “ความจริง” ของใครถูก และจะได้ไม่มีช่องว่างให้เกิดกรณี “สองมาตรฐาน” ขึ้นได้

 

กฎเกณฑ์เช่นว่านั้นเรียกว่า “ตรรกะ” ซึ่งเอาไว้ตัดสินความจริงหรือความเท็จของ “คำกล่าว” อันหนึ่งๆ อันที่จริงตรรกศาสตร์ไม่ได้ซับซ้อนอะไรเลย มันเป็นเรื่องของการตีความภาษาที่ใช้กันอยู่เป็นปกติให้มีความหมายรัดกุมขึ้นเท่านั้นเอง ภาษาของตรรกะก็คือภาษามนุษย์ดีๆนี่เอง (จะเป็นภาษาของชาติไหนก็ได้) เพียงแต่ตรรกะนั้นไม่ใช่ทั้งหมดของภาษา เป็นแค่เสี้ยวหนึ่งเท่านั้น ซึ่งอาจจะดูแข็งๆไปสักหน่อยเพราะถูกตัดมาใช้เฉพาะส่วนที่รัดกุมแน่นหนาเท่านั้น

 

ตกลงกันก่อน …

ตรรกศาสตร์นั้นเป็นสิ่งที่เชื่อม “ภาษา” กับ “คณิตศาสตร์” เข้าด้วยกัน เราจึงต้องมาตกลงกันก่อนว่า ตรรกศาสตร์ ในฐานะ “ภาษาคณิตศาสตร์” นั้นมีขอบเขตแค่ไหน

ภาษาทั้งหมดที่ใช้พูดๆกัน บางทีก็ไม่ได้มีความหมายชัดเจนนัก พูดประโยคหนึ่งอาจตีความได้หลายแบบ ดังนั้นประโยค วลี หรือคำทั่วๆไป คงใช้ในเรื่องตรรกศาสตร์ไม่ได้ทั้งหมด ในวิชาตรรกศาสตร์ เราจะเลือกเอาเฉพาะ “ประโยค” ที่บอกได้ว่าจริงหรือเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้น เรียกว่า “ประพจน์”

 

ที่บอกว่าจริงหรือเท็จเพียงอย่างเดียว แปลว่าถ้าประโยคไหน “กำกวม” ตรรกศาสตร์ก็จะไม่ยุ่งด้วยเลย ความกำกวมมีหลายลักษณะ อาจมีตั้งแต่แบบที่แปลได้สองความหมาย หรือไม่มีเกณฑ์อะไรมาตัดสินว่าถูกหรือผิด หรืออาจเป็นประโยคที่ “ผิดก็ไม่ได้ ถูกก็ไม่ได้” (ซึ่งเดี๋ยวจะยกตัวอย่างให้ดู) ก็เป็นได้

 

ตัวอย่างประพจน์ เช่น

พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก : บอกได้ว่าจริง

วันนี้ฝนตกที่วัดโสธร : ไปเช็คดูได้ว่าวันนี้มีฝนตกจริงไหม ถ้าตกก็เป็นจริง ถ้าไม่ตกก็เป็นเท็จ

นักเรียนบางคนไม่ต้องเรียนฟิสิกส์ : หามาให้ได้สักคนสิ (คนที่ไม่ได้เรียนวิทย์) สรุปว่าเป็นจริง

 

ตัวอย่างประโยคที่ไม่ใช่ประพจน์ เช่น

โอ๊ย!! ทำไมมันยากยังงี้ : เป็นคำอุทาน และเป็นความเห็นส่วนตัวว่า (อะไรบางอย่าง) มันยากมาก

มีใครมาหาที่หน้าประตูรึเปล่า : เป็นคำถาม บอกไม่ได้ว่าถามจริงๆหรือถามเท็จๆ

ฉันสวยที่สุดในโลก : ไม่มีเกณฑ์วัดความสวยที่ทุกคนเห็นตรงกัน คนส่องกระจกจะมองเห็นว่าตัวเองสวยกว่าคนอื่นเสมอ จึงไม่เป็นมาตรฐาน ทำให้บอกไม่ได้ว่าจริงหรือเท็จ

 

ส่วนประโยคเจ้าปัญหาที่บอกว่ามัน “ผิดก็ไม่ได้ ถูกก็ไม่ได้” หน้าตาเป็นแบบนี้

 

“ข้อความนี้เป็นเท็จ”

แว้บแรกที่อ่าน คงดูไม่มีอะไร แต่เมื่อเราเริ่มจับให้มั่นคั้นให้ตายว่ามันจริงหรือเท็จ ปัญหาจะค่อยๆโผล่ขึ้นมาทันที

ประโยคนี้เป็นจริงได้ไหม ถ้าเป็นจริงแปลว่าสิ่งที่ประโยคนี้บอก (ว่าตัวมันเองเป็นเท็จ) นั้นถูกต้อง เราจะได้ข้อสรุปว่า ข้อความนี้เป็นเท็จ

แล้วประโยคนี้เป็นเท็จได้ไหม ถ้าเท็จก็แปลว่าสิ่งที่ประโยคนี้บอกนั้นไม่จริง ข้อสรุปก็คือ ข้อความนี้เป็นจริง …งงไหมล่ะ

พูดให้ง่ายก็คือ ถ้าสมมุติว่ามันจริง คิดต่อสักนิดจะได้ข้อสรุปว่าตัวมันเป็นเท็จ แต่ถ้าสมมุติว่ามันเท็จ ก็จะได้ว่าตัวมันเป็นจริง …ข้อสมมุติกับข้อสรุปขัดแย้งกันทั้งสองกรณี ดังนั้นข้อความนี้ “เป็นเท็จก็ไม่ได้ เป็นจริงก็ไม่ได้” และไม่ถือว่าเป็นประพจน์ด้วยเช่นกัน

 

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, ตรรกศาสตร์

Tagged with:

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 8: วงรี

วงรี

ถ้าใครเคยไปพิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์ จะมีของเล่นชิ้นใหญ่อยู่ชิ้นหนึ่ง เรียกว่า “ห้องกระซิบ” ซึ่งจะหน้าตาเป็นโลหะโค้งๆสองชิ้นตั้งอยู่ห่างกัน ให้เราไปยืนพูดด้วยเสียงไม่ดังมากอยู่ตรงจุดที่เหมาะสม แล้วให้เพื่อนฟังอยู่ใกล้ๆแผ่นโค้งๆอีกแผ่นนึง เราจะได้ยินเสียงคนพูดได้ชัดเจน แม้ว่าจะอยู่ห่างกันเกินระยะที่คุยปกติ

หลักการของห้องกระซิบคือการใช้สมบัติของ “วงรี” ที่ว่า ผิวด้านในของวงรีจะสะท้อนแสง เสียง หรือคลื่นใดๆที่ออกจากจุดโฟกัสหนึ่งไปยังอีกจุดโฟกัสหนึ่ง (ต่างกับพาราโบลาที่สะท้อนจากแหล่งกำเนิดที่เป็นจุดออกไปเป็นแนวขนาน หรือสะท้อนรังสีขนานให้เป็นจุด)

เราวาดวงรีได้ง่ายๆ โดยการใช้วัสดุใกล้ๆตัว ขอแค่ตะปูหรือหมุดสองตัว กับเชือกหนึ่งเส้นก็สร้างวงรีได้แล้ว โดยไม่ต้องกะๆเอาให้มันรี วิธีวาดก็คือ ใช้เชือกที่มีอยู่ผูกปลายทั้งสองติดเข้ากับหมุดข้างละตัว ปักหมุดลงบนกระดาษให้เชือกหย่อนนิดหน่อย (หรือหย่อนมากก็ได้) แล้วใช้ปลายปากกาดึงเชือกให้ตึง รูดไปมาโดยให้เชือกตึงตลอดเวลา เมื่อรูดไปจนครบวงทั้งด้านบนและด้านล่างก็จะพบว่าได้วงรี

 

การวาดวงรีด้วยวิธีนี้ นำไปใช้สร้างนิยามของวงรีว่าคือ เซตของจุดที่เมื่อวัดระยะห่างจากจุดคงที่สองจุด (จะได้ระยะห่างสองค่า) เมื่อนำระยะห่างทั้งสองมาบวกกันจะได้ค่าคงที่

การสร้างสมการวงรีจึงตั้งต้นด้วยนิยาม ซึ่งมาจากการวัดระยะทางระหว่างจุดสองจุด แต่วัดสองรอบนำมาบวกกัน ถ้าสมมุติให้เชือกยาว 2a และจุดที่ปักหมุดลงบนกระดาษ เรียกว่าจุดโฟกัส ซึ่งมีสองจุดคือคือ (x1, y1) และ (x2, y2)

สำหรับรูปอย่างง่ายที่สุด เมื่อรูปวงรีวางตามแนวนอน และให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) ซึ่งจะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองพอดี ถ้าระยะโฟกัสยาวเท่ากับ c พิกัดจุดโฟกัสจะกลายเป็น (-c, 0) และ (c, 0) ตามลำดับ ซึ่งช่วยให้สมการรูปอย่างง่ายนั้นง่ายขึ้นได้อีกเยอะ สมการตั้งต้นของวงรีจะหน้าตาเป็นแบบนี้

 \sqrt{{{\left({x + c}\right)}^2}+{y^2}}+\sqrt{{{\left({x - c}\right)}^2}+{y^2}}  = 2a

        สมการที่ติดสแควร์รูทนั้นนักคณิตศาสตร์ไม่ค่อยชอบกัน จึงต้องทำให้ง่ายกว่านี้ โดยการย้ายสแควร์รูทไปไว้คนละข้างกันแล้วยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\sqrt{{{\left({x + c}\right)}^2}+{y^2}} = 2a - \sqrt{{{\left({x - c}\right)}^2} + {y^2}}

{x^2} + 2xc + {c^2} + {y^2} = 4{a^2}+4a\sqrt{{{\left({x - c}\right)}^2}+{y^2}}+{x^2}-2xc + {c^2}

 ตัดกันไปมาจะเหลือ

 xc = {a^2} + a\sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}}

xc - {a^2} = \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}}

 ยกกำลังสองทั้งสองข้างอีกที

 {c^2}{x^2} - 2xc + {a^4} = {a^2}\left( {{x^2} - 2xc + {c^2} + {y^2}} \right)

{a^4} - {a^2}{c^2} = \left( {{a^2} - {c^2}} \right){x^2} + {a^2}{y^2}

หารตลอดด้วยพจน์ซ้ายมือ จะได้

\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{a^2} - {c^2}}} = 1

เมื่อเหลือสูตรเล็กขนาดนี้แล้ว นักคณิตศาสตร์เปลี่ยนชื่อตัวแปรใหม่ได้สั้นลงไปอีก และมีความหมายมากขึ้น โดยให้ {b^2} = {a^2} - {c^2} ซึ่ง a เป็นครึ่งหนึ่งของความยาวรูป ส่วน b ตัวใหม่ที่เพิ่งตั้งขึ้นมานี้จะเป็นครึ่งหนึ่งของความกว้างรูป

 \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1

สมการวงรีจึงเสร็จสมบูรณ์ด้วยประการฉะนี้ ซึ่งอย่างที่บอกไปแล้วว่าสมการนี้สำหรับวงรีที่วางในแนวนอน ถ้าสลับตัวแปร x, y กัน วงรีจะเปลี่ยนเป็นแนวตั้ง (ถูกบีบทางด้านข้าง แทนที่จะบีบด้านบน-ล่าง)

a,b,c เจ้าปัญหา

a,b,c มีความหมายโดยตรงถึงอวัยวะต่างๆในรูปวงรี ความยากของการใช้ตัวแปรสามตัวนี้คือ เดี๋ยวมันจะมาโผล่หน้าให้ชมอีกครั้งในรูปไฮเพอร์โบลา และมีความหมายต่างจากที่กล่าวถึงในรูปวงรี (เพราะอวัยวะมันไม่เหมือนกัน)

ในการวาดวงรีด้วยมือ เนื่องจากเรากำหนดให้เชือกยาว 2a และจุดโฟกัสทั้งสองอยู่ห่างกัน 2c เมื่อขึงเชือกให้ตึงโดยปลายปากกาอยู่ในแนวกึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสพอดีเป๊ะ ถ้าลากเส้นเพิ่มนิดหน่อยจะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่เท่ากัน ค่าของ a และ c จะเป็นด้านทแยงและด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งตามลำดับ เหลืออีกด้านหนึ่งซึ่งจะยาวเท่ากับ b เราจึงได้ {b^2} = {a^2} - {c^2} ตามที่เขียนไว้ข้างบน ความหมายทางเรขาคณิตของมันก็คือ a เป็น “ครึ่งหนึ่งของความยาวรูป” และ b เป็น “ครึ่งหนึ่งของความกว้างรูป” ถ้าจะเทียบว่าวงรีคือวงกลมที่โดนบีบ a กับ b ก็คือค่ารัศมีนั่นเอง ต่างกันตรงที่รัศมีของวงรีนั้นไม่คงที่ จะสั้นสุดเท่ากับ b และยาวสุดเท่ากับ a

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

Tagged with:

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 7: พาราโบลา

พาราโบลา

เดี๋ยวนี้เราหางานศิลปะรูปพาราโบลาสวยๆดูได้ไม่ยาก ตามหลังคาบ้านหลายๆคนเริ่มเปลี่ยนจากเสาตรงๆโด่ๆมีก้างปลาอยู่ข้างบนมาเป็นจานกลมๆสีแดงบ้าง ดำบ้าง ขาวบ้าง และสีอื่นๆอีกหลากสี เอามารับสัญญาณผ่านดาวเทียม แทนที่จะใช้สัญญาณส่งจากภาคพื้นดิน ซึ่งใครๆก็โฆษณาว่าช่องมันเยอะกว่า และชัดกว่าดูจากเสาทีวีปกติ

จานดาวเทียม มีลักษณะเป็นรูป “พาราโบลอยด์” (Paraboloid) ได้จากการนำเส้นโค้งพาราโบลามาหมุนรอบตัวให้ครบวง นึกถึงเวลาเขาปั้นหม้อดินเผา จะมีการขึ้นรูปหม้อเป็นทรงต่างๆ ถ้าเรานำลวดที่เป็นเส้นโค้งพาราโบลาไปทาบเป็นแบบ ก็จะได้รูปพาราโบลอยด์ออกมา

เส้นโค้งพาราโบลา หรือรูปทรงพาราโบลอยด์ มีสมบัติพิเศษอยู่อย่างหนึ่งที่รู้จักกันดี นั่นคือความสามารถในการสะท้อนแสงหรือคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่เดินทางมาเป็นเส้นตรงให้มารวมกันที่จุดจุดเดียว ผลจากการสะท้อนมารวมกันทำให้แสงหรือคลื่นที่ว่านั้นมีความเข้มสูงขึ้นมาก ถ้าเป็นคลื่นที่เป็นสัญญาณภาพและเสียงของโทรทัศน์ ก็จะทำให้รับสัญญาณได้ชัดเจนกว่าการใช้เสาอากาศดักคลื่น แล้วปล่อยให้คลื่นบางส่วนผ่านเลยไปโดยเปล่าประโยชน์

ถ้าใครเคยใช้เครื่องดักฟังเสียง (เสียงที่ล่องลอยมาในอากาศ ไม่ใช่เสียงจากคู่สายโทรศัพท์) บางประเภท ก็จะมีแผ่นสะท้อนเสียงเป็นรูปพาราโบลอยด์เหมือนกัน ซึ่งใช้หลักการเดียวกับจานดาวเทียม

เราจะพบรูปทรงพาราโบลอยด์ได้ที่อื่นอีกเช่น “ไฟฉาย” แผ่นสะท้อนแสงสีเงินๆที่ล้อมรอบหลอดไฟอยู่จะมีรูปทรงพาราโบลอยด์เหมือนกัน เพราะหลอดไฟจะปล่อยแสงออกมาจากจุดจุดเดียวคือไส้หลอด แต่คนที่ใช้ไฟฉายต้องการความสว่างเฉพาะด้านหน้าไฟฉายเท่านั้น จึงต้องใช้แผ่นที่สะท้อนแสงด้านข้างรอบๆหลอดไฟให้พุ่งไปเสริมกับแสงทางด้านหน้า ทำให้ไฟสว่างมากขึ้น

แต่ถ้าที่บ้านใครไม่เคยมีไฟฉายใช้ ไม่มีเครื่องดักฟัง ไม่มีจานดาวเทียม แต่อยากเห็นพาราโบลา ก็แค่หาก้อนหินสักก้อนโยนเฉียงๆขึ้นไปในอากาศ มันก็จะวิ่งตามเส้นทางที่เป็นรูปพาราโบลาให้เห็น (เพียงแต่ไม่ทิ้งร่องรอยไว้ในอากาศ ต้องจับตาดูตอนมันวิ่งเท่านั้น) ก่อนจะตกลงมาถึงพื้นอีกครั้ง

สร้างรูปพาราโบลา

พาราโบลาสร้างยากกว่าวงกลมพอสมควร แค่นิยามก็เข้าใจยากกว่ามากแล้ว แต่สมการของรูปจะดูเป็นมิตรกว่า

การสร้างพาราโบลา ต้องใช้ของเริ่มต้น 2 ชิ้นวางไว้ก่อน จุดต่างๆบนพาราโบลาจะสร้างโดยวัดระยะทางเทียบกับของสองชิ้นนี้ทั้งหมด ของสองชิ้นที่ว่านั้นคือจุด 1 จุด เรียกว่าจุดโฟกัส (Focus) และเส้นตรง 1 เส้นเรียกว่าเส้น ไดเรกตริกซ์ (Directrix)

จุดทั้งหลายบนพาราโบลา คือจุดที่อยู่ห่างจากจุดโฟกัสและห่างจากเส้นไดเรกตริกซ์เป็นระยะทางเท่าๆกัน

แปลว่าจุด (x, y) จะอยู่บนรูปพาราโบลาของเราได้ ถ้าวัดระยะจากจุด (x, y) ไปถึงจุดโฟกัส (ได้ความยาวออกมาค่าหนึ่ง) และวัดระยะจากจุด (x, y) เดียวกันไปถึงเส้นไดเรกตริกซ์ (ได้ความยาวออกมาอีกค่าหนึ่ง) แล้วปรากฏว่าความยาวสองค่านี้เท่ากัน

จุดแรกที่ตรงตามเงื่อนไขนี้แน่ๆ คือจุดตรงกลางระหว่างจุดโฟกัสและเส้นไดเรกตริกซ์พอดี วัดไปทางหนึ่งก็จะเจอจุด วัดไปทางตรงกันข้ามก็จะเจอเส้น และรับประกันว่าระยะทางทั้งสองเท่ากันแน่ๆ เพราะจุดของเรามันอยู่ตรงกลาง

จุดอื่นๆที่ตรงตามเงื่อนไขเดียวกันนี้จะค่อยๆโค้งออกห่างจากเส้นไดเรกตริกซ์ กางออกไปทั้งสองข้าง มีลักษณะเหมือนอ้าปากงับจุดโฟกัสไว้ แขนทั้งสองข้างสามารถยาวไปได้เรื่อยๆไม่มีที่สิ้นสุด ยิ่งวิ่งไปไกลก็จะยิ่งชันมากขึ้น แต่ส่วนใหญ่เราจะเจอแต่รูปเล็กๆเพราะมักไม่มีที่กว้างๆให้วาดรูปใหญ่ๆ

การสร้างสมการของพาราโบลาจึงเริ่มจากการจับ “ระยะทาง” สองค่าที่วัดได้นี่มาเท่ากัน อันนึงเป็นระยะทางจากจุดถึงจุด อีกอันเป็นระยะทางจากจุดถึงเส้นตรง เราเริ่มต้นด้วยของง่ายก่อนคือสมมุติว่ารูปนี้เป็นพาราโบลาแนวตั้ง จุดยอดของรูปอยู่ที่ (0, 0) ซึ่งหมายถึงจุดโฟกัสต้องอยู่ที่ (0, c) และสมการเส้นไดเรกตริกซ์คือ y = -c (หรือจัดรูปใหม่ได้เป็น 0x+y+c = 0)

ระยะทางจากจุด (x, y) ถึง (0, c) = ระยะทางจากจุด (x, y) ถึงเส้นตรง y = -c

 \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - c} \right)}^2}}  = y + c

เหตุที่ฝั่งขวาไม่ต้องใช้สูตรการวัดระยะทางที่ยุ่งๆ ยาวๆ เพราะมันเป็นระยะทางในแนวดิ่ง ตรงๆ ไม่เอียง จึงวัดว่าค่า y ห่างกันเท่าไหร่ได้โดยตรง (จุดลอยสูงจากพื้น y หน่วย และเส้นอยู่ต่ำลงไปจากพื้นอีก c ทั้งสองจึงห่างกัน y+c)

ถอดสแควร์รูทออกมาแล้วจัดรูปสมการไปมาจะได้

 {x^2} = 4cy

        ดูง่ายกว่าสมการวงกลมเยอะเลย

สมการพาราโบลามีค่าคงที่อยู่หนึ่งตัว เช่นเดียวกับสมการวงกลม ในที่นี้คือค่า c เรียกว่าระยะโฟกัส เป็นระยะห่างระหว่างจุดยอดกับจุดโฟกัส การปรับค่า c ทำให้พาราโบลาหุบเข้าหรือบานออก ยิ่ง c มีค่ามากจะทำให้พาราโบลาบานมากขึ้น

สิ่งที่ต่างจากวงกลมคือ พาราโบลาเป็นรูปที่สมมาตรแกนเดียว การพลิกรูปหรือหมุนรูปจะทำให้ได้รูปใหม่ที่แตกต่างจากรูปเดิม ไม่เหมือนวงกลมที่จะพลิกจะหมุนยังไงก็ยังได้รูปเดิม ถ้าพาราโบลาถูกพลิกกลับหัว จุดยอดก็จะขึ้นไปอยู่ด้านบนสุดเหมือนตอนที่เราโยนหินขึ้นไปในอากาศ ถ้าจับตะแคงก็จะได้รูปคล้ายๆลำโพงที่หันหน้าออกข้างๆ อาจจะเป็นทางซ้ายหรือขวาก็ได้

การพลิกรูปโดยใช้สมการ ทำได้ง่ายมากโดยการเปลี่ยนค่า c ให้ติดลบ จะเห็นว่า {x^2}  มีค่าเป็นบวกเสมออยู่แล้ว ถ้า c ติดลบ y ก็จะติดลบตามไปด้วย การที่ y ติดลบแปลว่ากราฟไปห้อยต่องแต่งอยู่ด้านล่าง กลายเป็นพาราโบลา “คว่ำ”

ส่วนการตะแคงรูปทำได้โดยการ “สลับตัวแปร” คือทำให้แกน y กลายเป็นแกน x และแกน x กลายเป็นแกน y อะไรที่เคยตั้งก็จะกลายเป็นนอนไปหมด รูปที่เคยตั้งก็กลายเป็นรูปแนวนอน ค่า c เป็นบวกจะทำให้ได้พาราโบลาตะแคงขวา และ c เป็นลบก็จะได้พาราโบลาตะแคงซ้าย

สมการพาราโบลาเต็มยศ

        สมการพาราโบลาที่เลื่อนแกนและกระจายพจน์ให้ยุ่งๆแล้วจะหน้าตาเป็นแบบนี้

{x^2} - 2hx - 4cy + ({h^2} + 4ck) = 0 สำหรับพาราโบลาในแนวตั้ง

{y^2} - 2ky - 4cx + ({k^2} + 4ch) = 0 สำหรับพาราโบลาในแนวตะแคง

ทั้งสองแนวนี้ต่างกันแค่สลับ x กับ y เท่านั้นเอง

เดี๋ยวถ้าได้นั่งสังเกตสมการของรูปทั้ง 4 ชนิดพร้อมๆกันจะพบว่า สมการพาราโบลาจะพิเศษกว่าใครเพื่อนตรงที่มีพจน์กำลังสองแค่พจน์เดียว ในขณะที่รูปอื่นๆมีทั้ง {x^2} และ {y^2} กันทั้งนั้น

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

Tagged with:

เมทริกซ์ – ตอนที่ 2: บวก ลบ คูณ หาร

บวก – ลบ – คูณ

เพราะเมทริกซ์เกิดขึ้นมาเพื่อ “เลียนแบบ” ตัวเลข และทำในบางสิ่งที่ตัวเลขทำไม่ได้ สิ่งที่ต้องมีแน่ๆคือเราต้องนิยามการคำนวณต่างๆของเมทริกซ์ให้คล้ายกับของตัวเลขให้มากที่สุด และสอดคล้องกับการนำไปใช้ตามจุดประสงค์หลักที่มันเกิดมา :: เพื่อแก้ระบบสมการเป็นหลัก

 

การบวกและลบเมทริกซ์นั้นตรงไปตรงมา คือการนำสมาชิกในเมทริกซ์ที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันมาบวกลบกัน การบวกลบที่นิยามแบบนี้จึงบังคับไปในตัวว่า “มิติ” ของเมทริกซ์ที่นำมาบวกลบกันนั้นต้องเท่ากัน ไม่อย่างนั้นตัวใดตัวหนึ่งจะมี “บางตำแหน่ง” ที่อีกตัวไม่มี แล้วก็เลยไม่รู้จะเอาไปบวกลบกับใคร กฎข้อนี้เข้มงวดมาก จะหยวนๆให้กับเมทริกซ์สองตัวที่มิติใกล้เคียงกันก็ไม่ได้ ต้องเท่ากันเป๊ะๆเท่านั้น

 

สิ่งที่ซับซ้อนขึ้นมาหน่อยคือการคูณ หลายคนมักจะสงสัยว่าทำไมไม่นิยามการคูณเมทริกซ์ให้ง่ายๆ (คือคูณกันตัวต่อตัวไปเลย) เหมือนกับการบวกและลบ แต่กลายเป็นวิธีใหม่ที่ดูจำยากเหลือเกิน คำตอบตรงนี้ก็คือ เพื่อให้มันเหมาะสมต่อกระบวนการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (ซึ่งเดี๋ยวเราจะใช้คำตอบนี้ไปอีกหลายครั้งในเรื่องนี้)

ถ้าใครสันทัดจะจำ กฎสั้นๆของการคูณเมทริกซ์ที่เขานิยามไว้ คือ “เอาแต่ละแถว ไปคูณกับแต่ละหลัก ได้เป็นสมาชิกหนึ่งตัวของผลคูณ”

อธิบายได้ว่าแต่ละสมการในระบบจะมี “ค่าคงที่” คูณกับ “ตัวแปร” อยู่หลายคู่แล้วนำมาบวกกัน ขั้นตอนแรกของการแก้ระบบสมการด้วยเมทริกซ์คือพยายาม แยก ค่าคงที่และตัวแปรออกจากกัน (แต่ต้องแยกเพื่อให้คูณกันกลับมาได้ตัวเดิม) การคูณเมทริกซ์จึงประกอบด้วยสองขั้นตอนคือการคูณตัวต่อตัว (ซึ่งตั้งใจให้เป็นการคูณระหว่างชุดของค่าคงที่กับชุดของตัวแปร) และการนำผลคูณนั้นมาบวกกัน

 

แต่ต่อให้รู้ที่มาที่ไปว่าทำไมเราจึงคูณเมทริกซ์แบบนี้แล้ว ก็อาจจะยังไม่ช่วยให้หายงงเวลาลองไปนั่งคูณดูจริงๆ วิธีง่ายๆในการคูณเมทริกซ์ไม่ให้งงคือจัดรูปแบบการเขียนให้ดีกว่าเดิมสักหน่อย

วิธีการคือเขียนเมทริกซ์ตัวตั้งไว้บรรทัดปกติ แต่เขียนตัวคูณให้สูงขึ้นไปจากบรรทัดของตัวตั้ง เพื่อเว้นที่ว่างในบรรทัดปกติไว้เขียนผลคูณ เวลาคูณเราจะสามารถลากเส้นจากแต่ละแถวของตัวตั้ง มาตัดกับแต่ละหลักของตัวคูณในตำแหน่งที่ควรจะเป็นผลคูณ การทำแบบนี้ช่วยให้รู้ว่าต้องเอาแถวไหนมาคูณกับหลักไหน และพอคูณเสร็จแล้วต้องเขียนไว้ตรงไหน ความผิดพลาดก็จะลดลงได้

 

อินเวอร์สเมทริกซ์ :: การหารดีๆนี่เอง

สมัยประถมคงพอจำกันได้ว่าการหารจำนวนเต็มมันยากขนาดไหน พอเรียนม.ต้นก็มีการหารพหุนาม ซึ่งต้องใช้เครื่องไม้เครื่องมือแทบทั้งหมดที่เราเคยเรียนมาเกี่ยวกับพหุนาม พอมาถึงการหารเมทริกซ์เราก็จะรู้สึกคล้ายๆกันว่า “ทำไมมันยุ่งจังเลย” (ซึ่งก็เป็นความรู้สึกที่ถูกแล้ว) การหาอินเวอร์สซึ่งเทียบได้กับการหารเมทริกซ์นั้นใช้เครื่องไม้เครื่องมือที่ต้องยกเครื่องใหม่หมด แถมเครื่องมือเหล่านั้นก็แทบไม่ได้เอาไปใช้ที่อื่นอีกเลยด้วย

 

สมัยเรียนแก้สมการที่มีเครื่องหมายคูณ เช่น 5x = 15 เราต้องการให้เหลือ x ตัวเดียว พอเห็น 5 มากวนใจอยู่จึงต้องกำจัดมันทิ้งไป แต่ด้วยกฎของการแก้สมการที่บอกว่าจะทำอะไรต้องทำทั้งสองข้าง เราจึงเอา 5 ไปหารทั้งสองข้างของสมการ แล้วเราก็นั่งคิดเลขว่าเอา 15 ตั้ง หารด้วย 5 ได้อะไร …นั่งท่องสูตรคูณสักพักก็รู้ว่าได้ 3

หรือไม่อย่างนั้นเราจะใช้วิธีคูณก็ได้ แต่ต้องรู้ก่อนว่าอะไรคูณ 5 แล้วจะตัดกันหายไป (ได้ 1) นั่งคิดสักพักก็รู้ว่าคือ 1/5 ซึ่งเท่ากับ 0.2 (เรียกว่าอินเวอร์สการคูณของ 5) แล้วเอา 0.2 ไปคูณทั้งสองข้างของสมการ ก็จะได้คำตอบเดียวกัน

 

พอจะมาทำสิ่งเดียวกันกับสมการเมทริกซ์ เช่น AX = B เราก็น่าจะเอา A ไปหารทั้งสองข้างของสมการเหมือนกัน บังเอิญว่าวิธีการแบบเมทริกซ์ไม่มีขั้นตอนวิธีการหารที่จะเขียนออกมาได้ง่ายๆเหมือนการหารจำนวนหรือหารพหุนาม (คงจะมี แต่มันไม่ง่ายเลย … เราจึงไม่ต้องเรียนเรื่อง “การหารเมทริกซ์”) ก็เลยเลี่ยงมาใช้รวิธีคูณด้วยอินเวอร์สการคูณแทน ซึ่งทำง่ายกว่าการไปตะบี้ตะบันหาวิธีหารเป็นขั้นเป็นตอนออกมา

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เมทริกซ์

Tagged with:

เมทริกซ์ – ตอนที่ 1: รู้จักเมทริกซ์

การมี “ตัวแปร” เกิดขึ้นในคณิตศาสตร์ทำให้เกิดสิ่งที่เรียกว่า “สมการ” ทำให้ปัญหาหลายอย่างแก้ได้ง่ายขึ้นมาก และทำให้คณิตศาสตร์เจริญเติบโตขึ้น มีพัฒนาการออกมาเป็นแขนงต่างๆมากมาย การมีตัวแปรเพียงแค่ตัวเดียว (มักจะให้ชื่อว่า) ก็ทำให้เรามีพหุนาม เอ็กซ์โพเนนเชียล ตรีโกณมิติ ฯลฯ เกิดขึ้นจนเป็นอย่างที่เห็นทุกวันนี้ (ซึ่งบางคนบอกว่า ไม่น่าจะเกิดมาเล้ยยย…) พอเกิดมีขึ้นมาแล้ว ก็ทำให้มีคำถามตามมาว่า…แล้วถ้าสมการมีตัวแปรหลายตัวล่ะ

สมการที่มีตัวแปรหลายตัวนั้นมีจริงๆ ตัวอย่างง่ายๆเช่น x+y = 5 แต่สิ่งที่เกิดขึ้นคือ สมการนี้มีหลายคำตอบ เพราะมีค่า x, y ที่ทำให้สมการเป็นจริงได้อยู่หลายคู่ เช่น x = 1, y = 4 หรือ x = 3,  y = 2 ก็ใช้ได้ทั้งนั้น

นักคณิตศาสตร์กลับไปนั่งคิดว่า เมื่อไหร่สมการหลายตัวแปรจึงจะมีคำตอบได้ชุดเดียว (นั่นคือมี x แค่ตัวเดียว มี y แค่ตัวเดียว) คิดไปคิดมาก็พบว่าสมการหลายตัวแปรจะต้องมี “หลายสมการ” ที่ใช้ตัวแปรชุดเดียวกัน ซึ่งเรียกว่า “ระบบสมการ” จึงจะหาคำตอบที่แน่นอนได้เพียงชุดเดียว เช่น

หลักการก็คือ เมื่อเรามีหลายๆสมการที่ใช้ตัวแปรร่วมกัน ค่าของตัวแปรจะเริ่ม “ดิ้นไปไหนไม่ได้” มากขึ้นเรื่อยๆ จนในที่สุดก็จะมีค่าของ x, y ที่ทำให้สมการเป็นจริงทั้งคู่ได้แค่ชุดเดียว

ในมุมมองแบบเรขาคณิตวิเคราะห์ สมการเชิงเส้นสองตัวแปรก็คือเส้นตรงเส้นหนึ่ง (ลองเอา x+y=5 ไปวาดเส้นตรงดูก็ได้) ทุกๆจุดบนเส้นตรงคือคำตอบของสมการ เนื่องจากเส้นตรงประกอบตัวจุดมากมาย คำตอบของสมการเชิงเส้น(สมการเดียว) จึงมีเป็นอนันต์ การที่มีระบบสมการทำให้มีเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งเพิ่มขึ้น ถ้าเส้นที่เพิ่มมานี้ตัดกับเส้นเดิมที่จุดจุดเดียว จุดนั้นก็จะเป็นคำตอบของระบบสมการ เพราะมันอยู่บนเส้นตรงทั้งสองเส้น เป็นจุดที่ทำให้ทั้งสองสมการเป็นจริงพร้อมกัน

ในขณะที่สมการเชิงเส้น 3 ตัวแปรมีหน้าตาเป็น “ระนาบ” คือเป็นแผ่นๆเรียบๆ ระนาบสองแผ่นที่ตัดกันจะได้รอยตัดเป็นเส้นตรง และถ้ามีอีกแผ่นมาตัดเส้นตรงนั้น ก็จะได้จุดจุดเดียวเป็นคำตอบของระบบสมการเช่นเดียวกัน

วิธีหาคำตอบของระบบสมการมีหลายวิธี เริ่มตั้งแต่ง่ายที่สุดคือ “ลองจับสมการนึงแทนในอีกสมการนึง” ไปเรื่อยๆจนกว่าจะเหลือตัวแปรเดียวให้แก้ได้ ซึ่งวิธีนี้เร็วดีเมื่อมีสองสมการ สองตัวแปร แต่ถ้าระบบเริ่มใหญ่โตกว่านั้น สมการก็จะวุ่นวาย และคนคิดก็จะเหนื่อยขึ้น

เมทริกซ์เกิดมาเพื่อสิ่งนี้

ระบบสมการหลายตัวแปรไม่ใช่ของง่ายนัก ปัญหาก็คือหากได้เรียนคณิตศาสตร์ให้สูงๆขึ้นไป เราจะได้พบเจอเจ้าระบบสมการหลายตัวแปรนี้บ่อยมาก มีตั้งแต่การแก้ระบบสมการเชิงเส้นแบบตรงไปตรงมา (ให้สมการเชิงเส้นมาเลย) กับแบบที่ซับซ้อนกว่านั้นคือระบบสมการไม่ได้เป็นเชิงเส้น แต่ใช้การคำนวณแบบประมาณๆว่าเป็นเชิงเส้นได้

ด้วยเหตุผลบางอย่าง นักคณิตศาสตร์เลยจำเป็นต้องหาเครื่องมือไว้คอยจัดการกับมัน เครื่องมือชิ้นนี้เรียกว่า “เมทริกซ์”

เมทริกซ์ถูกสร้างขึ้นเพื่อ “เลียนแบบ” ระบบจำนวน ต่างกันที่ว่าเมทริกซ์หนึ่งตัวมีหน้าตาเป็นตารางสี่เหลี่ยม ประกอบด้วยจำนวนหลายจำนวนอยู่ในนั้น แต่ถึงหน้าตาจะต่างกันเล็กน้อย หัวใจก็ยังเหมือนกัน เพราะเดี๋ยวเราจะพบว่าเมทริกซ์สามารถนำไปบวก ลบ คูณ หาร ยกกำลังได้คล้ายๆกับจำนวนที่เราใช้ๆกันอยู่

x + y = 5

X – y = 1

จากตัวอย่างข้างบน เมทริกซ์ถูกนำมาใช้แบบนี้ (ขออนุญาตแอบทำให้ดูก่อน) เราจะเขียนฝั่งซ้ายของสมการ (ข้างที่มีตัวแปร x, y) เป็นผลคูณของเมทริกซ์ (เขียนยังไง…เดี๋ยวดูเรื่องการคูณเมทริกซ์) ใส่เครื่องหมาย = ตัวเดียวไว้ตรงกลาง และฝั่งขวาก็จะเขียนเป็นเมทริกซ์อีกตัวนึง จะได้หน้าตาอย่างนี้

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&{-1} \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 1 \end{array}} \right]

จากนั้น มอง ใหม่ว่าเมทริกซ์สองตัวทางซ้าย เป็นค่าคงที่ซะหนึ่งตัว (สมมุติว่าชื่อ A) เป็นตัวแปรหนึ่งตัว (สมมุติว่าชื่อ X) คูณกันแล้วได้ค่าคงที่ทางฝั่งขวามือ (สมมุติว่าชื่อ B) จากระบบสมการแรกที่มีสองบรรทัด ก็สามารถเขียนเป็นสมการใหม่ในบรรทัดเดียวได้ว่า

AX = B

        ซึ่งถ้าอยู่ในระบบจำนวน เราจะหาค่าของ X ได้ง่ายๆโดยย้าย A ไปหารทางฝั่งขวา

เมื่อเป็นเมทริกซ์ เราเกือบจะทำสิ่งเดียวกันเลย ต่างกันแค่ว่าการหารของเมทริกซ์ไม่ได้เรียกว่าการหารเท่านั้นเอง (แต่เรียกว่าการคูณด้วยอินเวอร์ส) ซึ่งวิธีนี้ทำให้การแก้สมการหลายตัวแปรที่ดูน่าจะแก้ยาก กลายเป็นการคูณหารธรรมดาในระบบเมทริกซ์ไปทันที

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เมทริกซ์

Tagged with:

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 6: วงกลม

นิยามรูปเรขาคณิตด้วย “ระยะทาง”

รูปร่างในภาคตัดกรวยทั้ง 4 ประเภทสามารถสร้างด้วยมือได้ เพราะการอ้างอิงระยะทาง เราสามารถออกแบบเครื่องมือวาดรูปที่เป็นไปตามนิยามของรูปต่างๆได้เลย การจำว่ารูปเหล่านี้วาดยังไง ด้วยเครื่องมือหน้าตาเป็นยังไง จะทำให้เราจำนิยามได้แม่นยำโดยไม่ต้องมาเสียเวลานั่งท่องมัน

วงกลม

วงกลมนั้นสร้างได้ง่ายๆด้วยวงเวียน ทุกคนรู้ดีมาตั้งแต่สมัยเด็กๆ

วงเวียนที่ดีนั้น ขาทั้งสองจะต้องไม่ขยับเข้าออกเวลาที่เรากำลังหมุน (ซึ่งส่วนใหญ่มันจะขยับกางออกเวลาเราออกแรง) และขาปลายแหลมที่ใช้ปักกับกระดาษก็ต้องไม่เลื่อนไปไหน ถ้าอย่างใดอย่างหนึ่งเคลื่อนไปจากเดิมจะทำให้วงไม่กลมทันที วงเวียนราคาแพงหน่อยจะมีกลไกล็อคความกว้างระหว่างสองขาได้ และปลายแหลมก็จะแหลมจริงๆ เผลอเอาไปจิ้มนิ้วแล้วได้เลือดแน่นอน

ทั้งสองอย่างนี้เป็นสิ่งจำเป็นมากสำหรับวงกลม จำเป็นขนาดว่าเขาเอามาสร้างเป็นนิยามของวงกลมเลยทีเดียว จุดตรงปลายแหลมที่ปักกับกระดาษเรียกว่าจุดศูนย์กลาง และระยะระหว่างขาทั้งสองเรียกว่ารัศมี แต่สิ่งที่เรียกว่าวงกลมนั้นคือเฉพาะตรงที่ปลายดินสอของวงเวียนลากลงไป ซึ่งเรียกว่าเส้นรอบวง จุดศูนย์กลางนั้นไม่นับว่าเป็น “อวัยวะ” ของวงกลม และพื้นที่ว่างๆข้างในวงกลมก็ไม่นับว่าเป็นส่วนที่เรียกว่าวงกลมเช่นกัน (ในเรื่องต่อๆไปเราจะพบว่ารูปต่างๆมีจุดโฟกัส แกนสมมาตร แกนชื่อนั้นชื่อนี้ ให้ระลึกไว้เสมอว่าบรรดาจุดและเส้นเหล่านั้นไม่ใช่ส่วนหนึ่งของรูป แต่เป็นเครื่องมือในการสร้างรูป หรือช่วยให้สร้างรูปได้ง่ายขึ้น ไม่ได้เป็น “ส่วนหนึ่งของรูป” แต่อย่างใด)

วงกลมในเรขาคณิตวิเคราะห์ไม่ได้แตกต่างไปจากเดิม เรายังคง “สร้าง” รูปวงกลมด้วยวิธีเดิมคือกำหนดจุดศูนย์กลาง แล้ว “ลากเส้น” โค้งๆให้อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะทางคงที่เท่ากับรัศมี

สิ่งที่เปลี่ยนไปคือเราไม่จำเป็นต้องใช้วงเวียน (สังเกตว่าโปรแกรมวาดกราฟสามารถวาดวงกลมได้โดยไม่ต้องเอาวงเวียนไปทิ่มบนจอภาพ) แต่เปลี่ยนการลากเส้นที่ใช้วัตถุจริงๆมาเป็นการ “หาจุด” ที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะทางเท่ากับรัศมี วงกลมจึงกลายเป็น “เซต” ของจุดที่มีเงื่อนไขบางอย่างไป (รวมทั้งรูปอื่นๆในเรขาคณิตวิเคราะห์ด้วย) ความเป็นเซตทำให้เราระบุเงื่อนไขที่เป็นคณิตศาสตร์ได้ ไม่จำเป็นต้องอ้างถึงวงเวียนหรือกระดาษอีกต่อไป

เนื่องจากเรามีเครื่องมือในการวัดระยะทาง (สูตรระยะทางระหว่างสองจุด) จึงหยิบมาใช้ในการสร้างวงกลมซะเลย

\sqrt {{x^2} + {y^2}} = r

        การจะมีวงกลมได้ ต้องมีจุดศูนย์กลางก่อน ในที่นี้คือจุดที่อยู่ตรงตำแหน่ง (0, 0) จุดที่จะอยู่บนเส้นรอบวงคือจุด (x, y) ซึ่งมีได้หลายจุด จุดเหล่านี้จะอยู่ห่างจาก (0, 0) เป็นระยะทาง r หน่วย สมการจึงหน้าตาเหมือนที่เห็นข้างบน ทีนี้สมการที่ติดสแควร์รูท หน้าตามันไม่สวยเท่าไหร่ จึงมีการปรับรูปร่างของสูตรให้สวยขึ้น กลายเป็น

 {x^2} + {y^2} = {r^2}

วงกลมเป็นรูปที่ไม่มีอวัยวะมากมายนัก ส่วนประกอบอื่นๆนอกเหนือจากเส้นรอบวงก็คือจุดศูนย์กลางแค่จุดเดียว จึงไม่ค่อยมีอะไรให้ต้องจำมาก… ซึ่งเป็นข่าวดี

วงกลมเป็นรูปง่ายๆแต่มีคุณสมบัติพิเศษหลายอย่าง เช่น ในบรรดารูปทั้งหลายที่มีเส้นรอบรูปยาวเท่ากัน วงกลมจะมีพื้นที่มากที่สุด (หรือกลับกันจะบอกว่า ถ้ากำหนดให้รูปต่างๆมีพื้นที่เท่ากัน วงกลมจะมีเส้นรอบรูปสั้นที่สุด)

ถ้าขยายมิติเพิ่มไปอีกเป็นรูป 3 มิติ ก็จะได้ว่าทรงกลมเป็นรูปที่มี “ปริมาตร” มากที่สุดในบรรดารูปที่มีพื้นที่ผิวเท่ากัน อีกทั้งของเหลวในธรรมชาติ ถ้าหยดให้ตกลงมาอย่างอิสระ มันจะไหลไปกองรวมกันเป็นทรงกลมในขณะที่มันตกลงมา เช่นเม็ดฝน

การสร้าง “ลูกเหล็ก” กลมๆ วิธีง่ายที่สุด (แต่เราอาจจะทำเล่นเองไม่ได้) ก็คือการหยดเหล็กร้อนๆเหลวๆให้ตกอย่างอิสระเป็นระยะทางยาวพอสมควร เหล็กก็จะทำตัวเหมือนหยดน้ำคือไหลมากองรวมกันเป็นทรงกลม แล้วก็ทำให้เย็นจนคงรูป ก่อนที่จะตกถึงพื้น

เส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับรัศมี ณ จุดสัมผัส

ถ้าเราตีลูกปิงปอง ตีกอล์ฟ เตะลูกบอล แทงลูกสนุกเกอร์ หรือดีดลูกแก้ว ขณะที่มือหรือไม้ที่ใช้ตีกำลังกระทบลูกกลมๆเหล่านี้ มีกฎในวิชาฟิสิกส์กลศาสตร์ (ซึ่งจริงๆเป็นคณิตศาสตร์) บอกว่าแรงที่เราตี แทง หรือดีดออกไปนั้นจะผ่านจุดศูนย์กลางของลูกกลมๆพวกนั้น

ตรงนี้คณิตศาสตร์บอกว่า ขณะที่เราส่งแรงจากมือหรือไม้ไปยังลูกกลมๆ เราได้ “สัมผัส” พื้นผิวของทรงกลมเป็นจุดเล็กๆ ถ้าลากเส้นรัศมีออกมาจากจุดศูนย์กลางของทรงกลมมายังจุดสัมผัสนั้น รัศมีเส้นนั้นจะอยู่ในแนวตั้งฉากกับมือเรา

ถ้าเราดันเกิดโรคจิต อยู่ดีๆเอามือไปตีหอยเม่นซึ่งมีขนแหลมๆรอบตัวเป็นรูปคล้ายๆทรงกลม ขนของมันก็จะทิ่มลงไปตรงๆในทิศที่เราใช้มือตีลงไป ซึ่งตั้งฉากกับฝ่ามือของเรานั่นเอง

การมีข้อมูลว่าเส้นตรงสองเส้นนี้ (คือเส้นสัมผัส กับรัศมี) นั้นตั้งฉากกัน มีประโยชน์ในการคำนวณบ่อยครั้ง เพราะเรารู้ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกัน ว่าความชันจะคูณกันได้ -1 การรู้ความชันของเส้นหนึ่ง จะทำให้คำนวณความชันของอีกเส้นได้

การเลื่อนแกน

เคยสงสัยว่าทำไมหนังสือเรียนเล่มหนึ่งถึงเอาเรื่องการเลื่อนแกนมาแทรกหลังจากวงกลมก่อนจะเป็นพาราโบลา มาคิดได้ทีหลังว่าถ้าอยากจะเลื่อนแกนเราต้องมีรูปอะไรบางอย่างให้เลื่อนก่อน ถ้าอยู่ดีๆเรียนการเลื่อนแกนขึ้นมาลอยๆก็ไม่รู้จะเลื่อนอะไร แต่ถ้าเรียนทีหลังก็จะไม่เข้าใจว่าสมการรูปทั่วไปของแต่ละรูปมันทำไมตัวใหญ่นัก ทั้งที่จริงมันมาจากความเข้าใจอันเดียวกัน

เวลานั่งรถไฟสวนกันสองขบวน ถ้ารถของเราเคลื่อนไปข้างหน้า เราอาจจะรู้สึกว่ารถของเราอยู่นิ่งในขณะที่รถอีกคันเคลื่อนเข้ามาหาก็ได้ กลับกันถ้ารถเราถอยหลัง เราอาจจะรู้สึกว่ารถอีกคันวิ่งหนีเราก็ได้เหมือนกัน … นี่คือหลักการเลื่อนแกน

ถ้าเรามีรูปกระต่ายอยู่ที่จุด (0,0) บนแกนพิกัดฉาก เราอยากให้กระต่ายลอยสูงขึ้นโดยที่ไม่ต้องการยกกระต่ายหนีไปไหน เราอาจะให้กระต่ายอยู่ที่เดิมก็ได้ แต่จับแกนพิกัดฉากทั้งอันให้เลื่อนลงมา (นึกภาพว่ามีกระดาษวาดรูปกระต่ายไว้ ด้านบนมีแผ่นใสซึ่งมีรูปแกนพิกัดฉากวางทับไว้อีกแผ่น จึงเลื่อนไปมาได้) กระต่ายซึ่งที่จริงอยู่นิ่งๆบนกระดาษ ก็จะลอยสูงขึ้นเมื่อเทียบกับแกนพิกัดฉาก พอดีว่าในเรขาคณิตวิเคราะห์เราวัดความสูงต่ำทั้งหมดเทียบกับแกนพิกัดฉาก … จึงต้องถือว่ากระต่ายลอยสูงขึ้น ทั้งที่จริงๆอยู่ที่เดิม

รูปเรขาคณิตทั้งหลายในภาคตัดกรวยมีสมการอยู่บนแกน x และ y ปกติแล้วรูปจะมีจุดศูนย์กลางที่จุด (0,0) ถ้าเรายังไม่เลื่อนมันไปไหน เวลาจะเลื่อนรูป แทนที่จะไปสร้างสมการให้รูปนั้นๆขึ้นมาใหม่ เราก็จะเปลี่ยนแกนพิกัดฉากให้รูปแทน โดยการบวก/ลบค่าคงที่เข้าไปกับตัวแปร x, y

เช่นถ้าเปลี่ยน x ทุกตัวในสมการให้เป็น x+2 แกน x จะเลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย … เมื่อแกนเลื่อนไปทางขวา แต่รูปอยู่นิ่งๆ รูปซึ่งวัดเทียบกับแกนที่เปลี่ยนไปนี้จึงถอยมาทางซ้าย 2 หน่วย

ทำนองเดียวกัน ถ้าเปลี่ยน y ทุกตัวให้เป็น y-5 จะเป็นการเลื่อนแกน y ลงไปจากเดิม 5 หน่วย รูปที่อยู่ที่เดิมจะลอยขึ้น 5 หน่วยเมื่อวัดเทียบกับแกนใหม่ … พอเลื่อนแกนเสร็จเรียบร้อยก็เท่ากับเลื่อนรูปไปอยู่ในตำแหน่งใหม่ที่ต้องการแล้ว

เลื่อนแกนให้วงกลม

เมื่อเลื่อนวงกลมให้จุดศูนย์กลางไปปักอยู่ที่ (h, k) แทนที่จะเป็น (0, 0) สมการก็จะเปลี่ยนไปนิดหน่อย โดยเปลี่ยนจาก x, y ธรรมดาไปเป็น x-h และ y-k โจทย์ปัญหามักจะขยันกระจายสมการแบบเลื่อนแกนนี้ให้ยุ่งขึ้นกว่าเดิม กลายเป็น

 {x^2} + {y^2} + 2xh + 2yk + ({h^2} + {k^2} - {r^2}) = 0

วงเล็บที่ล้อมรอบสามพจน์สุดท้ายหมายความว่าเวลาแทนค่าด้วยตัวเลขแล้ว สามพจน์นี้จะหลอมรวมกันเป็นตัวเดียวไม่แยกให้เห็นว่าอะไรเป็นอะไร ที่แย่กว่านั้นคือภาคตัดกรวยแต่ละรูปก็จะมีสมการหน้าตาคล้ายๆกันนี้ ต่างกันที่สัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์และเครื่องหมายที่เชื่อมอยู่ ซึ่งเดี๋ยวตอนท้ายบทนี้เราจะมานั่งดูกันว่าสมการของแต่ละรูปมีอะไรให้สังเกตได้บ้าง

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

Tagged with:

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 5: นิยามภาคตัดกรวย

ภาคตัดกรวย

คำว่าภาคตัดกรวย ได้มาจากการ “ตัดกรวย” จริงๆ คือถ้ามีกรวยฐานกลม ปลายแหลม สองชิ้น นำมาต่อกันโดยหันกลายแหลมเข้าหากัน แล้วมีมีดหรือเลื่อยคมๆมาตัดกรวยนั้นให้เป็นหน้าตัดเรียบๆในแนวต่างๆกัน รูปที่ได้ก็จะมีหน้าตาต่างกันไป ซึ่งตัดให้ตายยังไงก็จะมีรูปร่างไม่เกิน 4 ประเภท สองชื่อที่น่าจะคุ้นเคยคือวงกลมและวงรี ส่วนอีกสองชื่ออาจได้ยินไม่บ่อยนัก คือพาราโบลา และไฮเพอร์โบลา

 

วงกลมนั้นหาดูได้ง่ายที่สุด ได้จากการตัดกรวยในแนวขนานกับฐาน เนื่องจากฐานกรวยเป็นวงกลม การตัดขนานกับฐานทำให้ได้รอยตัดกลมด้วย แต่ขนาดของวงกลมขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่ตัด ยิ่งอยู่ใกล้ยอดแหลม วงก็ยิ่งเล็ก

 

วงรีนั้นเหมือนกับการบีบวงกลมให้เบี้ยวไปเล็กน้อย ได้จากการตัดกรวยแบบเฉียงๆเล็กน้อย แต่ยังเฉียงไม่เท่าแนวสูงเอียงของผิวกรวยด้านข้าง ถ้าใครเคยตัดต้นกล้วยหรือเลื่อยท่อน้ำในแนวเฉียงๆ รอยตัดก็จะเป็นวงรีเหมือนกัน

 

พาราโบลาอาจหาดูได้ง่ายตามหลังคาบ้านสมัยนี้ เพราะเป็นรูปร่างของจานดาวเทียมเมื่อมองจากด้านข้าง หรือถ้าใครเคยแกะดูแผ่นสะท้อนแสงรอบๆหลอดไฟฉาย ผิวโค้งของมันก็สร้างขึ้นจากพาราโบลาเหมือนกัน พาราโบลาได้จากการตัดกรวยเฉียงขนานกับแนวสูงเอียงของผิวกรวยพอดีเป๊ะ ถ้ากรวยมีขนาดใหญ่ แขนของพาราโบลาก็จะงอกยาวไปได้เรื่อยๆ (ถ้ากรวยมีขนาดเป็นอนันต์ พาราโบลาก็จะต่อแขนไปได้ไม่สิ้นสุด) เพราะรอยตัดจะไม่หลุดไปจากกรวยซะที แต่จะผ่าเข้าไปในเนื้อกรวยที่กว้างขึ้นเรื่อยๆ

 

ไฮเพอร์โบลาเป็นเส้นโค้งๆสองเส้นที่คอดเข้าหากันตรงกลาง (แต่ไม่แตะกัน) ส่วนปลายของแต่ละเส้นบานออกจากกัน ไฮเพอร์โบลาหาดูได้ยากหน่อย อาจต้องไปเดินหาพนักงานกวาดถนนซึ่งใช้ไม้กวาดทางมะพร้าวอันใหญ่ๆที่ทำจากก้านใบของมะพร้าวจำนวนมากมามัดรวมกันแล้วบิดให้ปลายบานออก ถ้าดูจากด้านข้างก็จะเป็นรูปไฮเพอร์โบลา หรือตัวอย่างที่ใกล้ตัวกว่านั้นและอาจจะทำเองได้ โดยใช้ดินสอสักหนึ่งกำมือ นำหนังยางมามัดไว้ แล้วบิดกำดินสอให้เอียงไปทางเดียวกัน ก็จะมีหน้าตาคล้ายๆไม้กวาดทางมะพร้าว ไฮเพอร์โบลาได้จากการตัดกรวยในแนวที่ชันกว่าแนวสูงเอียงของผิวกรวย ทำให้ตัดไปโดนกรวยอีกอันหนึ่งซึ่งคว่ำหัวอยู่ด้วย รอยตัดจึงมีสองรอย เป็นเส้นโค้งๆคล้ายกับพาราโบลา แต่จะบานกว่า และทั้งสองเส้นวิ่งหนีห่างออกจากกัน

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

Tagged with:

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 4: เส้นตรงและการวัดระยะทาง

สมการเส้นตรง

ความชันเพียงอย่างเดียวยังไม่ได้บอกข้อมูลของเส้นตรงอย่างครบถ้วนนัก เพราะมันบอกเราแค่ว่าเส้นตรงนี้เอียงมากเอียงน้อยอย่างไร แต่ยังไม่ได้บอกว่าเส้นตรงนั้นอยู่ตรงไหน (นึกถึงบันไดของตึกที่มีหลายๆชั้น บันไดขึ้นชั้น 3 กับบันไดขึ้นชั้น 4 อาจจะเอียงเท่ากัน แต่พาดอยู่คนละชั้น) จึงต้องมีข้อมูลอื่นมาช่วยบอกตำแหน่งของเส้นตรงนั้นอีก

สมการเส้นตรงอย่างง่ายที่สุด บอกข้อมูลว่าเส้นตรงเส้นหนึ่งชันเท่าไร และอยู่ตรงไหนของแกนพิกัดฉากโดยบอกจุดตัดแกน y สมการแบบนี้หน้าตาเป็น

y = mx+c

ถ้ากำหนดสมการที่มีข้อมูลความชันและจุดตัดแกน y มาให้ เราจะวาดภาพคร่าวๆของเส้นตรงนั้นได้เลย โดยกำหนดจุดตัดแกน y และลากเส้นตรงให้มีความชันมากน้อยไปตามค่า m ซึ่งทั้งสองค่านี้เป็นข้อมูลที่มีความหมายที่เราเข้าใจได้ ไม่ต้องเอาไปประมวลผลต่อมากนัก

ยังมีสมการเส้นตรงที่นิยมกล่าวถึงกันอีกแบบหนึ่ง คือสมการหน้าตา Ax+By+C = 0 และยังมีรูปแบบนอกเหนือจากนี้ที่ต้องใช้ความรู้เรื่องตรีโกณมิติอีกด้วย ซึ่งแต่ละแบบนั้นแทนเส้นตรงเหมือนกัน จัดรูปสมการถ่ายเทกันไปมาได้ แต่มีประโยชน์ต่างกันในการให้ข้อมูลแก่คนอ่าน

ค่า A,B และ C ในสมการ Ax+By+C = 0 ไม่ได้ให้ข้อมูลอะไรแก่เราโดยตรงเหมือนกับความชันและจุดตัดแกนในสมการแบบแรก แต่ข้อดีคือเราจะใช้ค่า A,B,C นี้มาช่วยในการคำนวณระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรงและระยะห่างระหว่างเส้นตรงสองเส้น นอกจากนั้นสมการรูปนี้ยังใช้เขียนเส้นตรงในแนวดิ่ง (ขนานกับแกน y) ได้ด้วย ซึ่งเส้นตรงชนิดนี้จะไม่ตัดแกน y และมีความชันเป็นอนันต์ จึงเขียนด้วยสมการแบบแรกไม่ได้

การวัดระยะทาง

เมื่อจุดที่อยู่คนละตำแหน่งถึงเป็นคนละจุดกัน เราจึงควรจะมีวิธีวัดว่าจุดสองจุด “ต่างกันเท่าไร” ความแตกต่างระหว่างจุดสองจุดเรียกว่า “ระยะทาง” หมายถึงถ้าเอาไม้บรรทัดไปทาบ จุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดไหนสักจุด แล้ววัดไปจนถึงอีกจุดหนึ่งแบบตรงๆ ไม่เลี้ยวไปไหน แล้วอ่านค่าออกมาว่าได้ตัวเลขเท่าไหร่

ในทางคณิตศาสตร์มีคำอีกคำหนึ่ง เรียกว่า Geodesic มีความหมายว่าเป็น “ความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดที่ใช้ในการเดินทางเปลี่ยนตำแหน่ง” ลองนึกภาพการเดินทางจากบ้านเราเองไปโรงเรียน บางครั้งเราไม่สามารถเดินทางเป็นเส้นตรงได้ ความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจึงอาจจะไม่ใช่ระยะทางตามแนวเส้นตรง แต่ต้องลัดเลาะไปตามทางเท้า หรือวิ่งตามถนนซึ่งเลี้ยวไปเลี้ยวมา ก็ต้องไปวัดระยะทางตามแนวที่คดไปคดมานั้น

แต่บนแผ่นระนาบเปล่าๆที่ไม่มีอะไรมาบัง เช่นระนาบ x-y ที่เราใช้กันอยู่ ไม่มีอะไรมาขวางให้สะดุดหรือเดินไม่ได้ Geodesic คือระยะทางตามแนวเส้นตรง ในเรขาคณิตวิเคราะห์การวัดระยะทางระหว่างของสองชิ้นใดๆก็ตามจะวัดตามแนวตรงเสมอ ของสองชิ้นที่ว่านี้คืออะไรก็ได้ที่เรากำลังจะไปรู้จักมัน ตั้งแต่จุด เส้นตรง วงกลม และรูปภาคตัดกรวยอื่นๆ อย่างไรก็ตามวิธีการวัดระยะทางระหว่างของสองชิ้นใหญ่ๆล้วนแต่เริ่มต้นจากการหาระยะทางระหว่างจุดสองจุดทั้งนั้น

เพื่อนของเราที่บอกว่าจะวัดระยะทางในแนวเส้นตรงได้ยังไงชื่อว่า “พิธากอรัส” สมัยมัธยมต้นเราเคยรู้ว่าทฤษฎีหรือ “สูตร” ของพิธากอรัสใช้หาความยาวด้านใดๆของสามเหลี่ยมมุมฉากเมื่อรู้ความยาวสองด้านที่เหลือ ความรู้เดียวกันนี้ประยุกต์มาใช้ในการคำนวณระยะทางด้วย เพราะระบบแกนพิกัดของเราทำมุม “ฉาก” กันอยู่แล้ว จึงมีมุมฉากให้เรียกใช้เมื่อไหร่ก็ได้ แค่มีเส้นตรงเส้นเดียวก็เหมือนกับมีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเกิดขึ้นมาทันที

จุดสองจุดที่อยู่ต่างที่กัน ไม่ตรงกันทั้งในแนวราบและแนวดิ่ง ค่า x จะต่างกัน และค่า y ก็จะต่างกันเช่นเดียวกัน ผลต่างของค่า x และค่า y นี่แหละที่สร้างด้านสองด้านของ “สามเหลี่ยมมุมฉาก” และเจ้าระยะทางระหว่างจุดสองจุดนั้นคือความยาว “ด้านตรงข้ามมุมฉาก” ของสามเหลี่ยมนี้ ทำให้เราได้สูตรการหาระยะทางระหว่างสองจุดออกมาแบบนี้

ระยะทางระหว่าง  \left( {{x_1},{y_1}} \right) กับ \left( {{x_2},{y_2}} \right) =  \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}}

ถ้าของที่จะวัดมีขนาด หมายถึงแต่ละรูปมีจุดมากกว่าหนึ่งจุด จะมีปัญหาว่าการวัดระยะทางจากรูปหนึ่งไปยังอีกรูปหนึ่ง จะวัดจากจุดไหนของรูปดี ตรงนี้มีข้อตกลงเพื่อให้การวัดต้องทำอย่างรัดกุมยิ่งขึ้น ว่าเราจะวัดระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างรูปสองรูป เพื่อว่ามันจะได้มีผลการวัดได้แค่ค่าเดียว

ถ้าบ้านเราอยู่ตรงด้านหน้าโรงเรียนเป๊ะๆ ห่างจากประตูหน้าโรงเรียนแค่ 20 เมตร แต่ดันเดินไปเข้าประตูอีกฝั่งหนึ่งซึ่งไกลกว่า แล้วจะมาโวยวายว่าบ้านเราอยู่ไกลจากโรงเรียนตั้ง 500 เมตร ก็คงไม่สมเหตุสมผลนัก ถ้าเราวัดระยะทางจากบ้านไปยังจุดอื่นๆของโรงเรียนได้ไกลกว่า 20 เมตรหมดเลย แปลว่าระยะทางที่ควรจะใช้บอกว่าบ้านอยู่ไกลจากโรงเรียนเท่าไหร่ ก็ควรจะเป็น 20 เมตร

ข้อตกลงนี้ทำให้การวัดระยะทางจาก “จุด” ไปยัง “เส้นตรง” ต้องวัดระยะทางที่สั้นที่สุด ซึ่งบังเอิญว่ามันคือระยะทาง “ในแนวตั้งฉาก” จากจุดไปถึงเส้นตรงเส้นนั้นด้วย ถ้าจุดมีพิกัด \left({{x_1},{y_1}}\right) และเส้นตรงมีสมการ Ax+By+C = 0 ระยะทางจากจุดไปถึงเส้นตรงหาได้จาก

d = \frac{{\left| {A{x_1} + B{y_1} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}}}}

ตัวเศษนั้นได้จากการนำพิกัดจุดลงไปแทนค่าในสมการเส้นตรง ใส่ค่าสัมบูรณ์เพื่อรับประกันว่าระยะทางจะมีค่าเป็นบวกแน่ๆ ข้อสังเกตคือถ้าจุดที่แทนค่านั้นอยู่บนเส้นตรง พจน์ที่เป็นตัวเศษจะเท่ากับ 0 ยิ่งจุดอยู่ห่างเส้นมากเท่าไหร่ พจน์นี้ก็จะยิ่งมีค่ามากขึ้นเท่านั้น

ถ้าจะวัดระยะทางระหว่างเส้นตรง 2 เส้น เราต้องการเส้นตรงสองเส้นที่ “ขนานกัน” ก่อน เพราะมันมีระยะห่างกันคงที่ จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเส้นทั้งสองไม่ขนานกัน เนื่องจากเส้นตรงมีความยาวต่อไปได้เรื่อยๆไม่สิ้นสุด ถ้าเส้นไม่ขนานกันเราจะพบว่าลากไปสักพักมันจะตัดกัน ทำให้มีระยะระหว่างกันเป็น 0 จึงไม่ต้องวัดระยะทางให้เสียเวลา

ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน ค่า A และ B จะเป็นชุดเดียวกันด้วย ซึ่งในตอนแรกอาจไม่เท่ากัน แต่จะเป็นอัตราส่วนเดียวกันจึงสามารถคูณค่าคงที่ปรับให้เท่ากันได้ เมื่อเท่ากันแล้วเส้นตรงทั้งสองจะมีสมการ L1 = Ax+By+C_1 และ L2 = Ax+By+C_2 และระยะทางระหว่างเส้นขนานคู่นี้จะเท่ากับ

d =  \frac{{\left| {{C_1} - {C_2}} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

Tagged with: