ค่าความจริงของประพจน์
เนื่องจากประพจน์คือประโยค การจะเขียนประพจน์หนึ่งประพจน์อาจต้องใช้แรงกายเป็นอันมาก ประพจน์ที่ยาวๆย่อมเสียพลังงานเยอะ ซึ่งนักคณิตศาสตร์ไม่ชอบสิ่งนี้ จึงตกลงกันว่า “เราตั้งชื่อให้มันกันดีกว่า” ว่าแล้วก็ตกลงใช้ “ตัวแปร” มาช่วยให้เขียนสั้นลง เรียกว่า “ตัวแปรประพจน์” (Statement variable) เช่นเราอาจกำหนดให้ p เป็นตัวแปรแทนข้อความ “พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก” และให้ q แทนข้อความ “วันนี้ฝนตกที่วัดพระแก้ว” เจ้าตัวแปร p และ q นี้แหละเรียกว่าตัวแปรประพจน์
ที่จริงแล้วตัวแปรประพจน์ใช้เขียนเพื่อแทนข้อความยาวๆในประพจน์ แต่เนื่องจากประพจน์สามารถเป็นจริงหรือไม่ก็เป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เราจึงตกลงกันว่าตัวแปรประพจน์มีค่าที่เป็นไปได้อยู่ 2 ค่า เรียกว่า ค่าความจริง คือมีค่า จริง (True: T) กับ เท็จ (False: F) เท่านั้น และในการคำนวณต่อไป มักไม่ค่อยได้สนใจว่าตัวแปรหนึ่งๆนั้นแทนประพจน์อะไร จะสนใจแต่ค่าความจริงของมัน
เช่น p แทนข้อความ “พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก” แต่ค่าของตัวแปร p จะเป็น “จริง” (T)
และพอรู้ว่า p เป็น “จริง” ปุ๊บ ในระหว่างการคำนวณยาวๆ ก็มักไม่มีใครมาถามอีกแล้วว่า p แทนข้อความอะไร
คล้ายๆกับค่าตัวแปรที่ใช้ในระบบจำนวน เช่น x = 2, y = 5
ต่างกันที่ตัวแปรประพจน์ มีค่าให้แทนลงไปได้แค่สองค่าคือ T (จริง) กับ F (เท็จ) เท่านั้น
ถ้าเรียนตรรกศาสตร์ในวิชาวงจรดิจิตอล (ซึ่งชื่อว่าวิชา Boolean Algebra) ค่าของตัวแปรประพจน์ก็จะเป็น 1 กับ 0 แทนสถานะ “ไฟติด” กับ “ไฟดับ” ซึ่งก็คือจริงกับเท็จนั่นเอง และตลอดเรื่องตรรกศาสตร์ ผลลัพธ์จากการคำนวณใดๆทางตรรกศาสตร์ก็จะมีแค่ 2 ค่าคือ T กับ F ไม่มีอะไรมากไปกว่านั้น …ดูน่าจะง่ายกว่าตัวเลขซะอีก
หนึ่งประพจน์มีค่าความจริงหนึ่งค่า แล้วถ้าหลายประพจน์ล่ะ…
เชื่อว่าตอนเด็กๆ เราน่าจะเคยเรียนเลขกันแบบนี้
โจทย์ : “แม่ค้ามีส้มอยู่ 10 กิโล ไปซื้อมาเพิ่มอีก 5 กิโล ทิ้งไว้ข้ามวันส้มเน่าไป 1 กิโล จากนั้นขายไป 8 กิโล สุดท้ายแล้วแม่ค้าเหลือส้มอยู่เท่าไร”
ประโยคสัญลักษณ์ : 10 + 5 – 1 – 8 = ?
จากโจทย์ (ซึ่งเป็นประโยคภาษามนุษย์) ก่อนจะคิดเลขได้เราต้องทำเป็นประโยคสัญลักษณ์ก่อน ครูประถมสอนเราว่าการมีส้ม 10 กิโล ให้แทนด้วยเลข 10 เฉยๆ ถ้าซื้อเพิ่มแปลว่าเดี๋ยวจะมีมากขึ้น ให้ใส่เครื่องหมายบวก การเน่าไปในชีวิตจริงแปลว่าของมันหายไปจึงมีน้อยลง ให้ใส่เครื่องหมายลบ เป็นต้น พอแปลงทุกอย่างเป็นสัญลักษณ์แล้วจึงค่อยลงมือคิดเลข ในวิชาตรรกศาสตร์เราทำแบบเดียวกัน โดยเปลี่ยนจากตัวเลขเป็น ”ค่าความจริง” และเปลี่ยนจากเครื่องหมายบวก ลบ คูณ หารเป็น “ตัวเชื่อมประพจน์” ซึ่งตัวเชื่อมหลักๆที่ใช้กันคือ “และ (
ในเรื่องตรรกศาสตร์ ข้อความ (ประพจน์) หนึ่งๆมีค่าความจริงหนึ่งค่า เมื่อมีหลายๆประพจน์มาเชื่อมต่อกันก็จะได้เป็นประพจน์อันใหม่ (ในวิชาภาษาไทยจะเรียกว่าประโยคความรวม) ตรรกศาสตร์จะบอกว่าค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมเสร็จแล้วจะเป็นยังไง โดยตกลงกันไว้ในสิ่งที่เรียกว่า “ตารางค่าความจริง”
ตารางค่าความจริง
เป็นตารางที่บรรจุค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมกัน โดยแจกแจงค่าของตัวแปรทุกตัวให้ครบทุกค่าที่เป็นไปได้ (แต่ละตัวมีแค่ 2 ค่า จึงแจกแจงให้ครบได้) จะว่าไปตารางค่าความจริงก็คล้ายๆกับ “สูตรคูณ” คือเป็นเครื่องมือที่บอกว่า “ตัวนี้ทำไอ้นี่กับตัวนั้น แล้วได้อะไรออกมา” ต่างกันที่ว่าสูตรคูณนั้นให้ท่องตัวเลขแค่บางตัว (เพราะตัวเลขมีเยอะจนนับไม่หวาดไม่ไหว) ส่วนตารางค่าความจริงนั้นใส่ทุกค่าที่เป็นไปได้ เพราะมันมีอยู่นิดเดียว
ชอบมีคนถามว่าตารางนี้ “ต้องท่องไหม”
คงต้องตอบว่า จะไม่ท่องก็ได้ แต่ต้องจำให้ได้
แปลว่าจะท่องก็ได้ แต่มีวิธีจำให้เป็นธรรมชาติกว่าการท่อง โดยการแปลความหมายของตัวเชื่อมต่างๆตามที่เราใช้กันในชีวิตประจำวันนี้แหละ
เช่นการพูดว่า “ตอนนี้ฝนตก และแดดออก” ถ้าอยากได้ตารางค่าความจริงโดยไม่ต้องท่อง ก็นั่งพินิจพิเคราะห์ดูเอาเองว่า ประโยคนี้จะถูกเมื่อไหร่ จะผิดเมื่อไหร่ ตามความรู้สึกของเราแล้วมันถูกเมื่อ “ฝนต้องตก” และ “แดดต้องออก” ทั้งสองอย่างพร้อมๆกันเท่านั้น ถ้ามีแค่อย่างเดียวหรือไม่มีสักอย่าง มันจะผิด
ก็เลยได้ข้อสรุปว่า 
ทำนองเดียวกัน ถ้าสั่งเด็กเสิร์ฟว่า “เอากาแฟหรือชามาก็ได้” แล้วเด็กเสิร์ฟยกชามาอย่างเดียว ก็ถือว่าทำถูกคำสั่งแล้ว หรือต่อให้ยกมาทั้งคู่เลยก็ถือว่าทำถูกคำสั่งเช่นกัน ดังนั้น 
ที่ทางของคนมีปัญหา 
ใส่ความเห็น