เมทริกซ์ – ตอนที่ 1: รู้จักเมทริกซ์

การมี “ตัวแปร” เกิดขึ้นในคณิตศาสตร์ทำให้เกิดสิ่งที่เรียกว่า “สมการ” ทำให้ปัญหาหลายอย่างแก้ได้ง่ายขึ้นมาก และทำให้คณิตศาสตร์เจริญเติบโตขึ้น มีพัฒนาการออกมาเป็นแขนงต่างๆมากมาย การมีตัวแปรเพียงแค่ตัวเดียว (มักจะให้ชื่อว่า) ก็ทำให้เรามีพหุนาม เอ็กซ์โพเนนเชียล ตรีโกณมิติ ฯลฯ เกิดขึ้นจนเป็นอย่างที่เห็นทุกวันนี้ (ซึ่งบางคนบอกว่า ไม่น่าจะเกิดมาเล้ยยย…) พอเกิดมีขึ้นมาแล้ว ก็ทำให้มีคำถามตามมาว่า…แล้วถ้าสมการมีตัวแปรหลายตัวล่ะ

สมการที่มีตัวแปรหลายตัวนั้นมีจริงๆ ตัวอย่างง่ายๆเช่น x+y = 5 แต่สิ่งที่เกิดขึ้นคือ สมการนี้มีหลายคำตอบ เพราะมีค่า x, y ที่ทำให้สมการเป็นจริงได้อยู่หลายคู่ เช่น x = 1, y = 4 หรือ x = 3,  y = 2 ก็ใช้ได้ทั้งนั้น

นักคณิตศาสตร์กลับไปนั่งคิดว่า เมื่อไหร่สมการหลายตัวแปรจึงจะมีคำตอบได้ชุดเดียว (นั่นคือมี x แค่ตัวเดียว มี y แค่ตัวเดียว) คิดไปคิดมาก็พบว่าสมการหลายตัวแปรจะต้องมี “หลายสมการ” ที่ใช้ตัวแปรชุดเดียวกัน ซึ่งเรียกว่า “ระบบสมการ” จึงจะหาคำตอบที่แน่นอนได้เพียงชุดเดียว เช่น

หลักการก็คือ เมื่อเรามีหลายๆสมการที่ใช้ตัวแปรร่วมกัน ค่าของตัวแปรจะเริ่ม “ดิ้นไปไหนไม่ได้” มากขึ้นเรื่อยๆ จนในที่สุดก็จะมีค่าของ x, y ที่ทำให้สมการเป็นจริงทั้งคู่ได้แค่ชุดเดียว

ในมุมมองแบบเรขาคณิตวิเคราะห์ สมการเชิงเส้นสองตัวแปรก็คือเส้นตรงเส้นหนึ่ง (ลองเอา x+y=5 ไปวาดเส้นตรงดูก็ได้) ทุกๆจุดบนเส้นตรงคือคำตอบของสมการ เนื่องจากเส้นตรงประกอบตัวจุดมากมาย คำตอบของสมการเชิงเส้น(สมการเดียว) จึงมีเป็นอนันต์ การที่มีระบบสมการทำให้มีเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งเพิ่มขึ้น ถ้าเส้นที่เพิ่มมานี้ตัดกับเส้นเดิมที่จุดจุดเดียว จุดนั้นก็จะเป็นคำตอบของระบบสมการ เพราะมันอยู่บนเส้นตรงทั้งสองเส้น เป็นจุดที่ทำให้ทั้งสองสมการเป็นจริงพร้อมกัน

ในขณะที่สมการเชิงเส้น 3 ตัวแปรมีหน้าตาเป็น “ระนาบ” คือเป็นแผ่นๆเรียบๆ ระนาบสองแผ่นที่ตัดกันจะได้รอยตัดเป็นเส้นตรง และถ้ามีอีกแผ่นมาตัดเส้นตรงนั้น ก็จะได้จุดจุดเดียวเป็นคำตอบของระบบสมการเช่นเดียวกัน

วิธีหาคำตอบของระบบสมการมีหลายวิธี เริ่มตั้งแต่ง่ายที่สุดคือ “ลองจับสมการนึงแทนในอีกสมการนึง” ไปเรื่อยๆจนกว่าจะเหลือตัวแปรเดียวให้แก้ได้ ซึ่งวิธีนี้เร็วดีเมื่อมีสองสมการ สองตัวแปร แต่ถ้าระบบเริ่มใหญ่โตกว่านั้น สมการก็จะวุ่นวาย และคนคิดก็จะเหนื่อยขึ้น

เมทริกซ์เกิดมาเพื่อสิ่งนี้

ระบบสมการหลายตัวแปรไม่ใช่ของง่ายนัก ปัญหาก็คือหากได้เรียนคณิตศาสตร์ให้สูงๆขึ้นไป เราจะได้พบเจอเจ้าระบบสมการหลายตัวแปรนี้บ่อยมาก มีตั้งแต่การแก้ระบบสมการเชิงเส้นแบบตรงไปตรงมา (ให้สมการเชิงเส้นมาเลย) กับแบบที่ซับซ้อนกว่านั้นคือระบบสมการไม่ได้เป็นเชิงเส้น แต่ใช้การคำนวณแบบประมาณๆว่าเป็นเชิงเส้นได้

ด้วยเหตุผลบางอย่าง นักคณิตศาสตร์เลยจำเป็นต้องหาเครื่องมือไว้คอยจัดการกับมัน เครื่องมือชิ้นนี้เรียกว่า “เมทริกซ์”

เมทริกซ์ถูกสร้างขึ้นเพื่อ “เลียนแบบ” ระบบจำนวน ต่างกันที่ว่าเมทริกซ์หนึ่งตัวมีหน้าตาเป็นตารางสี่เหลี่ยม ประกอบด้วยจำนวนหลายจำนวนอยู่ในนั้น แต่ถึงหน้าตาจะต่างกันเล็กน้อย หัวใจก็ยังเหมือนกัน เพราะเดี๋ยวเราจะพบว่าเมทริกซ์สามารถนำไปบวก ลบ คูณ หาร ยกกำลังได้คล้ายๆกับจำนวนที่เราใช้ๆกันอยู่

x + y = 5

X – y = 1

จากตัวอย่างข้างบน เมทริกซ์ถูกนำมาใช้แบบนี้ (ขออนุญาตแอบทำให้ดูก่อน) เราจะเขียนฝั่งซ้ายของสมการ (ข้างที่มีตัวแปร x, y) เป็นผลคูณของเมทริกซ์ (เขียนยังไง…เดี๋ยวดูเรื่องการคูณเมทริกซ์) ใส่เครื่องหมาย = ตัวเดียวไว้ตรงกลาง และฝั่งขวาก็จะเขียนเป็นเมทริกซ์อีกตัวนึง จะได้หน้าตาอย่างนี้

=

จากนั้น มอง ใหม่ว่าเมทริกซ์สองตัวทางซ้าย เป็นค่าคงที่ซะหนึ่งตัว (สมมุติว่าชื่อ A) เป็นตัวแปรหนึ่งตัว (สมมุติว่าชื่อ X) คูณกันแล้วได้ค่าคงที่ทางฝั่งขวามือ (สมมุติว่าชื่อ B) จากระบบสมการแรกที่มีสองบรรทัด ก็สามารถเขียนเป็นสมการใหม่ในบรรทัดเดียวได้ว่า

AX = B

        ซึ่งถ้าอยู่ในระบบจำนวน เราจะหาค่าของ X ได้ง่ายๆโดยย้าย A ไปหารทางฝั่งขวา

เมื่อเป็นเมทริกซ์ เราเกือบจะทำสิ่งเดียวกันเลย ต่างกันแค่ว่าการหารของเมทริกซ์ไม่ได้เรียกว่าการหารเท่านั้นเอง (แต่เรียกว่าการคูณด้วยอินเวอร์ส) ซึ่งวิธีนี้ทำให้การแก้สมการหลายตัวแปรที่ดูน่าจะแก้ยาก กลายเป็นการคูณหารธรรมดาในระบบเมทริกซ์ไปทันที