ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

เรขาคณิตวิเคราะห์ – ตอนที่ 4: เส้นตรงและการวัดระยะทาง

พฤศจิกายน 17, 2011

สมการเส้นตรง

ความชันเพียงอย่างเดียวยังไม่ได้บอกข้อมูลของเส้นตรงอย่างครบถ้วนนัก เพราะมันบอกเราแค่ว่าเส้นตรงนี้เอียงมากเอียงน้อยอย่างไร แต่ยังไม่ได้บอกว่าเส้นตรงนั้นอยู่ตรงไหน (นึกถึงบันไดของตึกที่มีหลายๆชั้น บันไดขึ้นชั้น 3 กับบันไดขึ้นชั้น 4 อาจจะเอียงเท่ากัน แต่พาดอยู่คนละชั้น) จึงต้องมีข้อมูลอื่นมาช่วยบอกตำแหน่งของเส้นตรงนั้นอีก

สมการเส้นตรงอย่างง่ายที่สุด บอกข้อมูลว่าเส้นตรงเส้นหนึ่งชันเท่าไร และอยู่ตรงไหนของแกนพิกัดฉากโดยบอกจุดตัดแกน y สมการแบบนี้หน้าตาเป็น

y = mx+c

ถ้ากำหนดสมการที่มีข้อมูลความชันและจุดตัดแกน y มาให้ เราจะวาดภาพคร่าวๆของเส้นตรงนั้นได้เลย โดยกำหนดจุดตัดแกน y และลากเส้นตรงให้มีความชันมากน้อยไปตามค่า m ซึ่งทั้งสองค่านี้เป็นข้อมูลที่มีความหมายที่เราเข้าใจได้ ไม่ต้องเอาไปประมวลผลต่อมากนัก

ยังมีสมการเส้นตรงที่นิยมกล่าวถึงกันอีกแบบหนึ่ง คือสมการหน้าตา Ax+By+C = 0 และยังมีรูปแบบนอกเหนือจากนี้ที่ต้องใช้ความรู้เรื่องตรีโกณมิติอีกด้วย ซึ่งแต่ละแบบนั้นแทนเส้นตรงเหมือนกัน จัดรูปสมการถ่ายเทกันไปมาได้ แต่มีประโยชน์ต่างกันในการให้ข้อมูลแก่คนอ่าน

ค่า A,B และ C ในสมการ Ax+By+C = 0 ไม่ได้ให้ข้อมูลอะไรแก่เราโดยตรงเหมือนกับความชันและจุดตัดแกนในสมการแบบแรก แต่ข้อดีคือเราจะใช้ค่า A,B,C นี้มาช่วยในการคำนวณระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรงและระยะห่างระหว่างเส้นตรงสองเส้น นอกจากนั้นสมการรูปนี้ยังใช้เขียนเส้นตรงในแนวดิ่ง (ขนานกับแกน y) ได้ด้วย ซึ่งเส้นตรงชนิดนี้จะไม่ตัดแกน y และมีความชันเป็นอนันต์ จึงเขียนด้วยสมการแบบแรกไม่ได้

การวัดระยะทาง

เมื่อจุดที่อยู่คนละตำแหน่งถึงเป็นคนละจุดกัน เราจึงควรจะมีวิธีวัดว่าจุดสองจุด “ต่างกันเท่าไร” ความแตกต่างระหว่างจุดสองจุดเรียกว่า “ระยะทาง” หมายถึงถ้าเอาไม้บรรทัดไปทาบ จุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดไหนสักจุด แล้ววัดไปจนถึงอีกจุดหนึ่งแบบตรงๆ ไม่เลี้ยวไปไหน แล้วอ่านค่าออกมาว่าได้ตัวเลขเท่าไหร่

ในทางคณิตศาสตร์มีคำอีกคำหนึ่ง เรียกว่า Geodesic มีความหมายว่าเป็น “ความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดที่ใช้ในการเดินทางเปลี่ยนตำแหน่ง” ลองนึกภาพการเดินทางจากบ้านเราเองไปโรงเรียน บางครั้งเราไม่สามารถเดินทางเป็นเส้นตรงได้ ความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจึงอาจจะไม่ใช่ระยะทางตามแนวเส้นตรง แต่ต้องลัดเลาะไปตามทางเท้า หรือวิ่งตามถนนซึ่งเลี้ยวไปเลี้ยวมา ก็ต้องไปวัดระยะทางตามแนวที่คดไปคดมานั้น

แต่บนแผ่นระนาบเปล่าๆที่ไม่มีอะไรมาบัง เช่นระนาบ x-y ที่เราใช้กันอยู่ ไม่มีอะไรมาขวางให้สะดุดหรือเดินไม่ได้ Geodesic คือระยะทางตามแนวเส้นตรง ในเรขาคณิตวิเคราะห์การวัดระยะทางระหว่างของสองชิ้นใดๆก็ตามจะวัดตามแนวตรงเสมอ ของสองชิ้นที่ว่านี้คืออะไรก็ได้ที่เรากำลังจะไปรู้จักมัน ตั้งแต่จุด เส้นตรง วงกลม และรูปภาคตัดกรวยอื่นๆ อย่างไรก็ตามวิธีการวัดระยะทางระหว่างของสองชิ้นใหญ่ๆล้วนแต่เริ่มต้นจากการหาระยะทางระหว่างจุดสองจุดทั้งนั้น

เพื่อนของเราที่บอกว่าจะวัดระยะทางในแนวเส้นตรงได้ยังไงชื่อว่า “พิธากอรัส” สมัยมัธยมต้นเราเคยรู้ว่าทฤษฎีหรือ “สูตร” ของพิธากอรัสใช้หาความยาวด้านใดๆของสามเหลี่ยมมุมฉากเมื่อรู้ความยาวสองด้านที่เหลือ ความรู้เดียวกันนี้ประยุกต์มาใช้ในการคำนวณระยะทางด้วย เพราะระบบแกนพิกัดของเราทำมุม “ฉาก” กันอยู่แล้ว จึงมีมุมฉากให้เรียกใช้เมื่อไหร่ก็ได้ แค่มีเส้นตรงเส้นเดียวก็เหมือนกับมีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเกิดขึ้นมาทันที

จุดสองจุดที่อยู่ต่างที่กัน ไม่ตรงกันทั้งในแนวราบและแนวดิ่ง ค่า x จะต่างกัน และค่า y ก็จะต่างกันเช่นเดียวกัน ผลต่างของค่า x และค่า y นี่แหละที่สร้างด้านสองด้านของ “สามเหลี่ยมมุมฉาก” และเจ้าระยะทางระหว่างจุดสองจุดนั้นคือความยาว “ด้านตรงข้ามมุมฉาก” ของสามเหลี่ยมนี้ ทำให้เราได้สูตรการหาระยะทางระหว่างสองจุดออกมาแบบนี้

ระยะทางระหว่าง  \left( {{x_1},{y_1}} \right) กับ \left( {{x_2},{y_2}} \right) =  \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}}

ถ้าของที่จะวัดมีขนาด หมายถึงแต่ละรูปมีจุดมากกว่าหนึ่งจุด จะมีปัญหาว่าการวัดระยะทางจากรูปหนึ่งไปยังอีกรูปหนึ่ง จะวัดจากจุดไหนของรูปดี ตรงนี้มีข้อตกลงเพื่อให้การวัดต้องทำอย่างรัดกุมยิ่งขึ้น ว่าเราจะวัดระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างรูปสองรูป เพื่อว่ามันจะได้มีผลการวัดได้แค่ค่าเดียว

ถ้าบ้านเราอยู่ตรงด้านหน้าโรงเรียนเป๊ะๆ ห่างจากประตูหน้าโรงเรียนแค่ 20 เมตร แต่ดันเดินไปเข้าประตูอีกฝั่งหนึ่งซึ่งไกลกว่า แล้วจะมาโวยวายว่าบ้านเราอยู่ไกลจากโรงเรียนตั้ง 500 เมตร ก็คงไม่สมเหตุสมผลนัก ถ้าเราวัดระยะทางจากบ้านไปยังจุดอื่นๆของโรงเรียนได้ไกลกว่า 20 เมตรหมดเลย แปลว่าระยะทางที่ควรจะใช้บอกว่าบ้านอยู่ไกลจากโรงเรียนเท่าไหร่ ก็ควรจะเป็น 20 เมตร

ข้อตกลงนี้ทำให้การวัดระยะทางจาก “จุด” ไปยัง “เส้นตรง” ต้องวัดระยะทางที่สั้นที่สุด ซึ่งบังเอิญว่ามันคือระยะทาง “ในแนวตั้งฉาก” จากจุดไปถึงเส้นตรงเส้นนั้นด้วย ถ้าจุดมีพิกัด \left({{x_1},{y_1}}\right) และเส้นตรงมีสมการ Ax+By+C = 0 ระยะทางจากจุดไปถึงเส้นตรงหาได้จาก

d = \frac{{\left| {A{x_1} + B{y_1} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}}}}

ตัวเศษนั้นได้จากการนำพิกัดจุดลงไปแทนค่าในสมการเส้นตรง ใส่ค่าสัมบูรณ์เพื่อรับประกันว่าระยะทางจะมีค่าเป็นบวกแน่ๆ ข้อสังเกตคือถ้าจุดที่แทนค่านั้นอยู่บนเส้นตรง พจน์ที่เป็นตัวเศษจะเท่ากับ 0 ยิ่งจุดอยู่ห่างเส้นมากเท่าไหร่ พจน์นี้ก็จะยิ่งมีค่ามากขึ้นเท่านั้น

ถ้าจะวัดระยะทางระหว่างเส้นตรง 2 เส้น เราต้องการเส้นตรงสองเส้นที่ “ขนานกัน” ก่อน เพราะมันมีระยะห่างกันคงที่ จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเส้นทั้งสองไม่ขนานกัน เนื่องจากเส้นตรงมีความยาวต่อไปได้เรื่อยๆไม่สิ้นสุด ถ้าเส้นไม่ขนานกันเราจะพบว่าลากไปสักพักมันจะตัดกัน ทำให้มีระยะระหว่างกันเป็น 0 จึงไม่ต้องวัดระยะทางให้เสียเวลา

ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน ค่า A และ B จะเป็นชุดเดียวกันด้วย ซึ่งในตอนแรกอาจไม่เท่ากัน แต่จะเป็นอัตราส่วนเดียวกันจึงสามารถคูณค่าคงที่ปรับให้เท่ากันได้ เมื่อเท่ากันแล้วเส้นตรงทั้งสองจะมีสมการ L1 = Ax+By+C_1 และ L2 = Ax+By+C_2 และระยะทางระหว่างเส้นขนานคู่นี้จะเท่ากับ

d =  \frac{{\left| {{C_1} - {C_2}} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์

ใส่ความเห็น

Tagged with:

ใส่ความเห็น