แคลคูลัส – ตอนที่ 3: อนุพันธ์ | ที่ทางของคนมีปัญหา

ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

แคลคูลัส – ตอนที่ 3: อนุพันธ์

พฤศจิกายน 15, 2011

อนุพันธ์ :: ว่าด้วยลิมิต

แคลคูลัสเป็นวิชาอเนกประสงค์ เอาไปใช้กับอะไรก็ได้ ไม่เฉพาะหาอัตราเร็วหรืออัตราการเจริญเติบโต การคำนวณทางแคลคูลัสต้องการวัตถุดิบที่เป็น “ฟังก์ชันต่อเนื่อง” แปลว่าเป็นปริมาณอะไรก็ตามที่มีการเปลี่ยนแปลง และเป็นการเปลี่ยนแปลงแบบค่อยเป็นค่อยไป มีความต่อเนื่อง ไม่กระโดดเป็นขั้นๆ สามารถนำมาคำนวณเพื่อหาอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดจุดหนึ่งได้ทั้งนั้น

จากความหมายทางเรขาคณิต เรานิยามอนุพันธ์ว่าเป็น “ลิมิต” ของความชันกราฟรอบๆจุดจุดหนึ่ง สมมุติว่าต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่จุด x เราจะสร้างสูตรของอนุพันธ์โดยใช้ความชันกราฟดังนี้

จุดที่อยู่รอบๆจุด x หาได้โดยขยับไปข้างๆ x เป็นระยะ h ซึ่งมีค่าน้อยๆทางซ้ายหรือทางขวาก็ได้ จะได้จุดใหม่คือ x+h

ค่าของฟังก์ชันที่ตำแหน่ง x คือ f(x) และค่าของฟังก์ชันที่เปลี่ยนไปเมื่อเลื่อนจุดคือ f(x+h)

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยหาได้จากความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (x, f(x)), และ (x+h, f(x+h))

อัตราการเปลี่ยนแปลง (เฉลี่ย) = $\frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}$

อนุพันธ์ที่จุด x (เขียนว่า f’(x) หรือ $\frac{{dy}}{{dx}}$ เมื่อ y = f(x)) หาได้จากอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ว่านี้เมื่อบีบให้ h แคบลงๆเรื่อยๆจนกลายเป็น 0 จะได้ว่า

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}$

ค่าของ f’(x) ก็จะเป็นความชันกราฟของฟังก์ชัน f ที่จุด x จุดเดียว ไม่ใช่ความชันเฉลี่ยอีกต่อไป เพราะจุด x กับ x+h นั้นเลื่อนมาอยู่ติดกันแล้ว ถ้ามีฟังก์ชันความสูงของต้นไม้เมื่อเทียบกับเวลามาให้ เราก็สามารถหาได้ว่าตอนเที่ยงวันที่ 3 พอดีเป๊ะ ต้นไม้มีอัตราการเจริญเติบโตเท่าไหร่

อนุพันธ์ :: สูตร

ถ้ายกตัวอย่างฟังก์ชันมาสักตัวหนึ่งคือ $f(x) = {x^2}$ การหาอนุพันธ์ที่จุด x สักค่าหนึ่งเช่น x = 1 ทำได้โดยใช้นิยาม โดยการแทนค่า x และฟังก์ชันลงไปในสูตร

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}$

เราจะได้

$f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{(1 + h)}^2} - {1^2}}}{h}$

เมื่อกระจายกำลังสองและจัดการลบกันให้เสร็จเรียบร้อยจะกลายเป็น

$f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2h + {h^2}}}{h}$

จากเรื่องลิมิต การหาลิมิตที่ $h \to 0$ แปลว่าในขณะนั้น h ไม่เท่ากับ 0 แค่มีค่าอยู่รอบๆจุด 0 และในเมื่อมันไม่เท่ากับ 0 จึงสามารถใช้เป็นตัวหารได้ และถ้ามีเศษและส่วนที่หน้าตาเหมือนกัน ก็เอาไปตัดกันได้ จากบรรทัดบน เราจึงใช้ h ตัดกันจนเกือบหมด เหลือแค่

$f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2 + h = 2$

ก็จะได้ว่าลิมิตมีค่าเท่ากับ 2 แปลตามความหมายของอนุพันธ์ได้ว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน $f(x) = {x^2}$ ที่ตำแหน่ง x เป็น 1 นั้นมีค่าเท่ากับ 2 ส่วนความหมายแบบเรขาคณิตจะบอกว่า ความชันของกราฟ $y = {x^2}$ ที่จุด x = 1 มีค่า 2 หน่วย แต่เป็นความชันกราฟที่ผ่านจุด x = 1 จุดเดียว ไม่ใช่สองจุดแบบที่เคยทำกันในวิชาเรขาคณิต

ถ้าลองทำตามกระบวนการข้างบนอีกครั้ง คราวนี้ไม่ได้แทนตัวเลข 1 ลงไป แต่ติดไว้เป็นตัว x อย่างนั้น เราจะพบว่า

$f'(x) = 2x$

แปลว่าความชันของกราฟ $y = {x^2}$

การหาอนุพันธ์สามารถใช้นิยาม (สูตรของ f’(x)) ทุกครั้งก็ได้ แต่ไม่ค่อยมีใครขยันคำนวณกัน เพราะต้องมานั่งหาลิมิตซึ่งเป็นเรื่องยุ่งพอสมควร วิธีที่ง่ายกว่าคือ คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ใช้บ่อยๆเก็บไว้ พอเจอที่ไหนอีกก็ใช้ค่าที่คำนวณไว้แล้วได้เลย

ฟังก์ชันค่าคงที่ อนุพันธ์ = 0 เพราะชื่อก็บอกอยู่แล้วว่าเป็นค่าคงที่ ไม่มีการเปลี่ยนแปลง

$\frac{{d(c)}}{{dx}} = 0$ เมื่อ c เป็นค่าคงที่

ฟังก์ชันเส้นตรง อนุพันธ์ = ความชันของเส้นตรง และมีค่าสม่ำเสมอเท่ากันทุกๆที่ เพราะเส้นตรงมีความชันเท่ากันทั้งเส้น

$\frac{{d(kx)}}{{dx}} = k$ เมื่อ k เป็นค่าคงที่

ฟังก์ชันอื่นๆที่ไม่ใช่ค่าคงที่หรือเส้นตรง อนุพันธ์จะเปลี่ยนไปเรื่อยๆขึ้นอยู่กับค่า x ไม่ได้เป็นตัวเลขเดี่ยวๆเหมือนสองชนิดแรก

ฟังก์ชันเอกนาม อนุพันธ์ = เลขชี้กำลังเดิม คูณกับฟังก์ชันเดิมที่ลงเลขชี้กำลังลงมาหนึ่ง

$\frac{{d({x^n})}}{{dx}} = n{x^{n - 1}}$

ถ้ามีหลายฟังก์ชันมาบวกลบกัน อนุพันธ์สามารถกระจายเข้าไปในการบวกลบนั้นได้ หรือถ้ามีค่าคงที่คูณอยู่กับฟังก์ชันอะไร ก็ดึงค่าคงที่นั้นออกมาก่อนที่จะหาอนุพันธ์ก็ได้ แต่ถ้าเป็นฟังก์ชันที่คูณหรือหารกันจะกระจายตรงๆไม่ได้ ต้องทำตามสูตรคำนวณของมัน

$\frac{{d(f(x) \pm g(x))}}{{dx}} = \frac{{d(f(x))}}{{dx}} \pm \frac{{d(g(x))}}{{dx}}$

$\frac{{d(kf(x))}}{{dx}} = k\frac{{d(f(x))}}{{dx}}$

เพื่อความกะทัดรัด ขอเขียนอนุพันธ์ด้วยเครื่องหมาย ‘ ก็แล้วกัน

$(f(x) \cdot g(x))' = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$

เราท่องกันว่า ดิฟผลคูณเท่ากับ หน้าดิฟหลังบวกหลังดิฟหน้า

$\left( {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right)' = \frac{{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}}{{{g^2}(x)}}$

เราท่องว่า ดิฟผลหารเท่ากับ ล่างดิฟบน ลบบนดิฟล่าง ส่วนล่างกำลังสอง

สูตรทั้งหมดที่ให้มานี้ครอบคลุมการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันพหุนามทุกแบบ และการคูณหารพหุนามเท่าที่จะเป็นไปได้ ที่จริงฟังก์ชันทุกชนิดที่เราเคยเรียนมา (expo, log, sin, cos, tan ฯลฯ) สามารถหาอนุพันธ์ได้หมดเลย ซึ่งก็จะมีสูตรคำนวณต่างกันไป แต่ในชั้นม.ปลาย แค่ฟังก์ชันพหุนามอย่างเดียวก็เยอะแล้ว จึงไม่มีฟังก์ชันอื่นโผล่มาให้เห็น

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, แคลคูลัส

ใส่ความเห็น

Tagged with:

ใส่ความเห็น ยกเลิกการตอบ

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

อีเมล (ต้องการ) (Address never made public)

ชื่อ (ต้องการ)

เว็บไซต์

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / เปลี่ยนแปลง )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / เปลี่ยนแปลง )

ยกเลิก

Connecting to %s

ที่ทางของคนมีปัญหา

ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก