ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

Posts tagged ‘เปลี่ยนตัวแปร’

แคลคูลัส – ตอนที่ 4: กฎลูกโซ่

กฎลูกโซ่

เราสามารถสร้างฟังก์ชันจากการนำสองฟังก์ชันมาซ้อนกันได้ การซ้อนไม่ได้แปลว่าวางทับกัน แต่เป็นการ “ยัดไส้” นำฟังก์ชันหนึ่งไปใส่ไว้ในอีกตัวหนึ่ง เรียกว่า “ฟังก์ชันประกอบ” หรือ Composite Function ตัวอย่างฟังก์ชันประกอบเช่น f(x) = {(2x - 1)^5} เราสามารถแยกได้ว่ามีการดำเนินการสองขั้นตอน คือ 2x-1 กับ ยกกำลัง 5

ถ้าจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ วิธีตรงๆคือการกระจายกำลัง 5 ออกมาเป็นพนุนามตัวโตๆก่อน แล้วหาอนุพันธ์ไล่เรียงกันไปทีละพจน์ แค่คิดว่าจะกระจายกำลัง 5 ก็เสียเวลามากแล้ว ถ้าหัวใสขึ้นมาอีกนิดนึงก็สามารถแยกกำลัง 5 เป็นกำลัง 2 และ 3 คูณกันอยู่ แล้วใช้สูตรดิฟผลคูณเข้ามาช่วยจัดการก็ได้เหมือนกัน

วิธีที่เร็วที่สุด สามารถทำได้โดยไม่ต้องคูณกระจายกันแม้แต่น้อย เรียกว่า “กฎลูกโซ่” เพราะถ้ามีฟังก์ชันซ้อนกันหลายๆชั้น เวลาหาอนุพันธ์ด้วยวิธีนี้จะออกมาเป็นหลายๆพจน์คูณต่อหางยาวไปเรื่อยๆคล้ายๆโซ่

หลักการของกฎลูกโซ่คือ ต้องแยกให้ออกว่าฟังก์ชันที่ซ้อนกันอยู่นั้น ฟังก์ชันอะไรอยู่ข้างใน อะไรอยู่ข้างนอก ฟังก์ชันที่อยู่ข้างนอกจะถูกดิฟก่อน โดยยังไม่ต้องทำอะไรกับไส้ใน แล้วพจน์ถัดไปค่อยนำไส้ในมาดิฟบ้าง แล้วคูณต่อกันไป

สำหรับ f(x) = {(2x - 1)^5} จะเห็นว่า 2x – 1 เป็นชั้นใน แปลว่ากระทำกับ x เป็นอันดับแรก เสร็จแล้วจึงเอามายกกำลัง 5 ซึ่งกระทำทีหลัง เรียกว่าชั้นนอก การดิฟชั้นนอกก่อนโดยยังไม่ต้องทำอะไรกับใส่ในแปลว่าเราดิฟ “ยกกำลัง 5” ดื้อๆเลยแล้วคงรูปฟังก์ชันที่อยู่ข้างในไว้อย่างเดิม กลายเป็น

5{(2x - 1)^4}

ขั้นต่อไปคือทำการ “ดิฟไส้” ซึ่งคือ 2x-1 ได้ผลลัพธ์เป็น 2 นำมาคูณต่อข้างท้ายกลายเป็น

 5{(2x - 1)^4}(2)

คูณกันให้เสร็จเรียบร้อยจะได้ 10{(2x - 1)^4} เป็นผลลัพธ์ของการหาอนุพันธ์ โดยไม่ต้องคูณกระจายฟังก์ชันให้ยืดยาว

ลองอีกวิธีหนึ่ง เผื่อจะเข้าใจง่ายขึ้น

วิธีนี้เรียกว่าการเปลี่ยนตัวแปร (คุ้นๆไหม) โดยสมมุติให้พจน์ที่อยู่ข้างในเรียกว่า “บึ๋ย” จะได้ว่าทั้งฟังก์ชันของเรากลายเป็น “บึ๋ยกำลัง 5” ซึ่งดิฟแล้วจะได้ “5 บึ๋ยกำลัง 4” ตามสูตรที่เรามีอยู่ แต่งานยังไม่จบเพราะบึ๋ยคือ 2x-1 ดังนั้น จึงต้องนำอัตราการเปลี่ยนแปลงของบึ๋ยเมื่อเทียบกับ x (ซึ่งเท่ากับ 2) มาคูณโปะไว้ข้างท้าย ถึงจะได้อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันทั้งหมดเทียบกับ x

ดิฟอะไรใหญ่ๆดูบ้าง

อ่านมาถึงหน้านี้ เราจะพบว่ามีสูตรการหาอนุพันธ์เต็มไปหมด ถ้าถามว่า “แค่นี้หมดหรือยัง” ก็จะต้องตอบว่า “ยัง” แต่ข่าวดีก็คือ ที่มีอยู่เท่านี้พอใช้งานสำหรับการหาอนุพันธ์เกี่ยวกับฟังก์ชันพหุนาม รวมทั้งที่ติดรากต่างๆ และเลขยกกำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มด้วย สูตรทั้งหมดที่ผ่านมาเป็นการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเล็กๆที่มีพจน์เดียว (ภาษาคณิตศาสตร์เรียกว่าเอกนาม) ในขณะที่ฟังก์ชันจริงๆสามารถมีพจน์เยอะๆ นำมาต่อกันด้วยวิธีต่างๆทั้งบวก ลบ คูณ หาร เราใช้เครื่องมือที่มีอยู่แล้วมาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ใหญ่ขึ้นเหล่านี้ได้หมดเลย

พหุนามสร้างขึ้นจากเอกนามหลายๆตัวมาบวกลบกัน โชคดีที่การดิฟคือลิมิต ซึ่งกระจายเข้าไปในเครื่องหมายบวกลบได้ และดึงค่าคงที่ออกมาได้ การดิฟจึงมีคุณสมบัติเดียวกันนี้ติดมาด้วย เมื่อไหร่ที่ฟังก์ชันมีหลายพจน์บวกลบกันอยู่ หรือมีค่าคงที่คูณอยู่ เราสามารถกระจายดิฟเข้าไปได้ทันที แปลว่าดิฟทีละก้อนแล้วค่อยมาบวกลบกันทีหลังก็จะได้ค่าที่ถูกต้องเหมือนกัน

หมวดหมู่:

คณิตศาสตร์, แคลคูลัส

Tagged with: