ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

Posts tagged ‘ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต’

แคลคูลัส – ตอนที่ 6: อินทิเกรต

แอนไทเดริเวทีฟ = ปฏิยานุพันธ์ = ปริพันธ์ = อินทิเกรต

มีคำถามเกิดขึ้นว่า ถ้ามีฟังก์ชันที่ผ่านการดิฟมาให้แล้ว จะรู้ได้ยังไงว่ามันถูกดิฟมาจากอะไร

คำถามนี้ตอบได้ง่ายๆ เพราะการดิฟนั้นเป็นสูตรสำเร็จ ถ้าดูออกว่าการดิฟแต่ละครั้งมันทำอะไรกับฟังก์ชันของเราบ้าง หากจะย้อนกลับไปหาต้นตอก่อนที่จะถูกดิฟ ก็จะได้สูตรสำเร็จที่บอกว่าฟังก์ชันนี้ถูกดิฟมาจากอะไร นักคณิตศาสตร์ตั้งชื่อให้มันว่า Antiderivative เรียกชื่อไทยว่าปฏิยานุพันธ์ (ปฏิ+อนุพันธ์) ซึ่งก็คือการย้อนกระบวนการหาอนุพันธ์

การหาปฏิยานุพันธ์ทำให้เราได้สูตรย้อนกลับของการหาอนุพันธ์ ซึ่งเป็นเรื่องบังเอิญมากที่สูตรเหล่านี้เอาไปใช้ทำอย่างอื่นได้ด้วย

อย่างอื่นที่ว่าคือการหาพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน อย่างที่บอกไว้ตอนต้นๆว่าแคลคูลัสใช้ทำสองอย่างซึ่งเรขาคณิตไม่เคยทำได้มาก่อน หนึ่งคือหาอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดจุดเดียว และใช้หาพื้นที่ของรูปร่างที่เป็นเส้นโค้งๆ ยึกยือ ไม่เป็นเหลี่ยมๆ

 

สูตรอินทิเกรต :: ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

ในการดิฟฟังก์ชันพหุนาม เราพบว่าเลขชี้กำลังของฟังก์ชันจะลดลงหนึ่งค่า และสัมประสิทธิ์จะถูกคูณเพิ่มเข้าไปด้วยเลขชี้กำลังนั้น การทำย้อนกลับก็ง่ายนิดเดียว ถ้ามีฟังก์ชันมาให้แล้วถามว่าฟังก์ชันนี้ดิฟมาจากอะไร ก็ทำได้โดย

-          เพิ่มเลขชี้กำลังเข้าไปอีกหนึ่ง

-          หารสัมประสิทธิ์หน้าพจน์นั้นออกเท่ากับเลขชี้กำลังที่บวกหนึ่งเข้าไปแล้ว

เช่นถ้าฟังก์ชันคือ 4{x^3} ถามว่าฟังก์ชันนี้ถูกดิฟมาจากอะไร ก็เพิ่มเลขชี้กำลังจาก 3 เป็น 4 และหารทั้งพจน์ด้วยเลขชี้กำลังตัวใหม่นี้ คือ 4 นั่นเอง คำตอบคือ {x^4} ซึ่งแปลว่าถ้าเราดิฟ x^4 กลับคืนเราจะได้ 4{x^3}

แต่ช้าก่อน เรื่องยังไม่จบ

ข้อสังเกตก็คือถ้าเรานำค่าคงที่สองตัวที่ไม่เท่ากันไปดิฟ ผลลัพธ์ออกมาจะได้ 0 เท่ากัน หรือถ้านำฟังก์ชันหน้าตาคล้ายๆกันสองฟังก์ชัน ต่างกันตรงที่แต่ละฟังก์ชันนั้นถูกบวกด้วยค่าคงที่ซึ่งไม่เท่ากัน เมื่อนำไปดิฟออกมาแล้วคำตอบจะเท่ากันเพราะค่าคงที่นั้นจะหายไปเฉยๆ ในทางคณิตศาสตร์จะบอกว่าการดิฟนั้นแม้จะทำให้รู้ข้อมูลบางอย่างเพิ่มขึ้นมา (คือความชันของกราฟ) แต่ก็ทำให้สูญเสียข้อมูลบางอย่างที่กู้กลับคืนมาไม่ได้ ซึ่งคือข้อมูลที่บอก “ตำแหน่ง” ในแนวแกน y (ข้อมูลที่บอกว่าฟังก์ชันนี้จะอยู่สูงจากพื้นมากน้อยขนาดไหน)

ดังนั้นเวลาหาปฏิยานุพันธ์ (หรืออินทิเกรต) ย้อนกลับ เราจึงต้องถือว่าฟังก์ชันก่อนจะดิฟมานั้นอาจมีค่าคงที่บวกอยู่ด้วยเสมอ แต่เราไม่รู้ว่าตัวเลขนั้นคืออะไรถ้าไม่ได้ใบ้มาด้วยวิธีการใดเลย จึงต้องเขียนติดตัวแปรไว้ ซึ่งนิยมใช้ตัว c (ย่อมาจาก constant แปลว่าค่าคงที่)

ข้อปฏิบัติเวลาอินทิเกรตทุกครั้งก็คือ หลังจากอินทิเกรตทีละพจน์แล้ว ต้องบวกค่าคงที่ซึ่งไม่ทราบค่านี้ไว้ด้วยเสมอ เช่นตัวอย่างที่ยกขึ้นมาตอนแรก ไม่ได้มีแต่ {x^4} ตัวเดียวที่ดิฟแล้วได้ 4{x^3} แต่เพื่อนพ้องน้องพี่ที่บวกด้วยค่าคงที่ใดๆคือ {x^4} + c  ก็ดิฟแล้วได้ เท่ากัน4{x^3}

สัญลักษณ์ของการอินทิเกรตคือ \int_{}^{} {\_\_dx}  คือมีเส้นโค้งๆคล้ายๆตัว s ที่ยืดออกยาวๆ กับ dx ปิดหัวท้าย ถ้าจะอินทิเกรตฟังก์ชันอะไรก็เขียนใส่ลงไปตรงกลาง เหตุที่ต้องมี dx ปิดท้ายสัญลักษณ์นั้นมีที่มาจากการ “ล้อ” สัญลักษณ์ที่ใช้ในกระบวนการหาพื้นที่ใต้กราฟด้วยลิมิต ซึ่งจะพูดถึงในหัวข้อถัดไป

ด้วยข้อตกลงทั้งหลายแหล่ข้างบน ทำให้เราเขียน “สูตรอินทิเกรต” ออกมาเป็นชุดๆ เหมือนสูตรอนุพันธ์ได้ดังนี้

ฟังก์ชันที่มีความชันเป็นค่าคงที่ ตัวมันย่อมมีหน้าตาเป็นเส้นตรง

\int_{}^{} {kdx = kx + c}

ฟังก์ชันพหุนาม เลขชี้กำลังจะเพิ่มขึ้น และสัมประสิทธิ์จะถูกหารด้วยเลขชี้กำลังตัวใหม่

 \int_{}^{} {{x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}}

ถ้ามีค่าคงที่คูณกับฟังก์ชันหนึ่งๆอยู่ ค่าคงที่สามารถดึงออกมาได้เพื่อไม่ให้เกะกะ ก่อนจะทำการอินทิเกรต

 \int_{}^{} {kf(x)dx} =k\int_{}^{} {f(x)dx}

ถ้าฟังก์ชันนั้นมีหลายพจน์ที่บวกลบกันอยู่ ก็ใช้สูตรเหล่านี้กระจายเข้าไปจัดการได้ทีละพจน์ เหมือนกับตอนหาอนุพันธ์ไม่มีผิด

ชื่อเพราะๆในภาษาไทยของการย้อนกระบวนการอนุพันธ์ คือ “ปริพันธ์ (หรืออินทิกรัล) ไม่จำกัดเขต” คำว่าไม่จำกัดเขตนี้แปลว่าถ้าให้ฟังก์ชันที่บอกความชันของกราฟมา แล้วเราอินทิเกรตกลับคืนไป เราจะได้ฟังก์ชันดั้งเดิมเริ่มต้นซึ่งเอาไปวาดกราฟทั้งเส้นได้อย่างสมบูรณ์ ไม่ได้ถูกตัดตอนมาเฉพาะส่วนใดส่วนหนึ่ง

พอเห็นชื่อ “ไม่จำกัดเขต” แล้วก็คงจะเดาได้ว่าเดี๋ยวคงเจอแบบ “จำกัดเขต” แน่ๆเลย ซึ่งปริพันธ์จำกัดเขตนั้นไปเกี่ยวข้องกับเรื่องที่เกริ่นไว้ตอนต้นบท คือการหาพื้นที่ซึ่งถูกปิดล้อมด้วยเส้นโค้งๆ ไม่เป็นรูปเหลี่ยมๆหรือเรขาคณิตที่คุ้นเคยกัน

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1,659 other followers