ปัญหามีไว้แก้ … ไม่ใช่มีไว้แบก

ลู่เข้า ลู่ออก :: ลำดับวิ่งไปหาเลขอะไร

การที่ลำดับมีพจน์เป็นอนันต์ทำให้มีสมบัติชนิดใหม่เพิ่มขึ้นมา นั่นคือพจน์ของลำดับสามารถมีค่าวิ่งเข้าไป “ใกล้ๆ” เลขบางตัวมากเท่าไหร่ก็ได้โดยที่แต่ละพจน์ของลำดับไม่จำเป็นต้องเท่ากับเลขตัวนั้น ซึ่งถ้าเป็นลำดับจำกัด จะไม่สามารถทำได้

เช่น 5, 4, 3, 2, 1 แล้วจบด้วนๆแค่นี้ เราจะไปบอกว่าพจน์ต่อไป (ถ้ามี) มันควรจะเป็น 0 ก็บอกไม่ได้ เพราะจริงๆแล้วมันไม่มี ถ้าลำดับจำกัดจะวิ่งไปจบที่ตรงไหน เลขตัวสุดท้ายของลำดับก็ต้องเป็นตัวนั้นเป๊ะๆ ไม่มีทางบ่ายเบี่ยงได้ ซึ่งในกรณีนี้เป็น 1

แต่ลำดับ 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, … นั้นเข้าไปใกล้ 0 ได้มากเท่าที่ต้องการ เช่นต้องการแนบชิดกับ 0 ไม่เกินหนึ่งในล้าน ก็ไล่ลำดับไปที่พจน์ที่ 7 เป็นต้นไป พจน์ถัดๆไปจากนี้จะห่างจาก 0 ไม่เกินหนึ่งในล้านทั้งหมด หรืออยากเข้าใกล้ไม่เกินหนึ่งในล้านล้าน ก็วิ่งไปให้เลยพจน์ที่ 13 ก็จะได้ตามต้องการ

สิ่งที่น่าสนใจคือ เราจะพบว่าในลำดับนี้ไม่มีตัวไหนเป็น 0 เลยสักตัว (มันจะมีติ่งที่เป็นเลข 1 ห้อยท้ายอยู่ไกลลิบๆเสมอ) การที่มันเข้าไปใกล้ 0 ได้มากเท่าที่เราอยากได้นี้ เราเรียกว่าลำดับ “ลู่เข้า” (Converge) ไปหาเลข 0 ตัวเลขที่ลำดับลู่เข้าไปหาเรียกว่า “ลิมิต” (Limit)

แปลว่าในการ “ลู่เข้า” นั้น ตัวเลขที่ลำดับวิ่งไปหา อาจจะไม่ใช่พจน์ไหนเลยในลำดับก็ได้ ดังตัวอย่างข้างบนที่วิ่งไปหา 0 หรือจะเป็นตัวเดียวกันก็ได้เช่นกัน เช่นลำดับ 5, 5, 5, … ทิ่วิ่งไปเป็นอนันต์พจน์ ก็เรียกว่า “ลู่เข้าหา” เลข 5 เหมือนกัน

ลำดับที่ไม่ลู่เข้า คือไม่วิ่งเข้าไปหาตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งบ้างเลย เรียกว่า “ลู่ออก” (DIverge) ลำดับนั้นอาจจะมีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงเรื่อยๆ หรือมีค่าสลับไปมาระหว่างเลขสองตัว ก็เรียกว่าเป็นการลู่ออกเหมือนกัน

ดูยังไงว่าลู่เข้า

เราอาจสังเกตการลู่เข้าโดยนั่งดูพจน์ต่างๆไปเรื่อยๆก็ได้ ถ้าคุ้นเคยกับมันมากพอแล้วก็จะทำให้เห็นแนวโน้มว่าลำดับมีสิทธิ์จะวิ่งไปหาอะไร

ข่าวร้ายก็คือการนั่งดูอาจเสียเวลาเปล่า เพราะบางลำดับกว่าจะลู่เข้าใช้เวลานานมาก (อาจจะไปเริ่มลู่เข้าสักพจน์ที่สองล้าน ก่อนหน้านั้นก็วิ่งสะเปะสะปะ เป็นต้น) หรือแย่กว่านั้นคืออาจจะไม่ลู่เข้าเลยก็ได้ วิธีที่ชัวร์กว่านั้นคือการพิจารณา “พจน์ทั่วไป” ของลำดับแต่ละชนิด

มีกฎอยู่บ้างเหมือนกัน ที่จะเอาไว้พิจารณาได้ว่าลำดับหน้าตาแบบไหนลู่เข้าหรือลู่ออก

ลำดับเลขคณิต จะลู่เข้ากรณีเดียวคือเมื่อ d = 0 หมายถึงเป็นลำดับคงที่ ถ้ามีการเพิ่มหรือลดค่า อย่างใดอย่างหนึ่ง (d ไม่เป็น 0) มันจะเพิ่มหรือลดไปเรื่อยๆไม่สิ้นสุด จึงไม่เข้าหาค่าใดเลย

ลำดับเรขาคณิต แบ่งเป็น 4 กรณี

  • r \le -1 จะได้ลำดับสลับระหว่างค่าบวกและลบไปเรื่อยๆ …ซึ่งลู่ออก
  • \left| r \right| < 1 ลำดับลู่เข้าหา 0 เพราะพจน์ถัดๆไปจะมีค่าลดลงเรื่อยๆ แม้ตอนที่ r ติดลบจะกลายเป็นลำดับสลับ แต่ก็เป็นการสลับที่เข้าใกล้ 0
  •  r = 1 ลำดับลู่เข้า เพราะกลายเป็นลำดับที่คงที่ มีค่าเท่าเดิมตลอด
  • r > 1 ลำดับลู่ออก เพราะมีค่าเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว

มีลำดับพิสดารอยู่ชนิดหนึ่ง ได้จากการนำ “พหุนาม” สองตัวมาหารกัน เราอาจคุ้นเคยกับพหุนามที่มีตัวแปรเป็น x พอมาใส่ n ซึ่งเป็นค่าไม่ต่อเนื่องก็จะได้กราฟเป็นจุดๆ แทนที่จะเป็นเส้นโค้งๆ

ตัวอย่างลำดับที่เป็นผลหารของพหุนาม ได้แก่

{a_n} = \frac{{{n^2} - 1}}{{3{n^2} + n - 5}}

{a_n} = \frac{{{n^3} - 3n}}{{4{n^2} + 2n + 1}}

{a_n} = \frac{{1 - n}}{{{n^2}}}

ลิมิตของลำดับผลหารพหุนาม มีอยู่สามกรณีที่ต่างกัน

  • ดีกรีของพหุนามตัวตั้งกับตัวหารมีค่าเท่ากัน ลำดับจะลู่เข้า ลิมิตหาได้จากสัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสูงสุดหารกัน
  • ดีกรีของตัวบนมากกว่าตัวล่าง ลำดับจะลู่ออก ซึ่งมีค่าเข้าสู่ infinity หรือ – infinity ขึ้นอยู่กับลำดับมีค่าเป็นบวกหรือลบ
  • ดีกรีของตัวล่างมากกว่าตัวบน ลำดับจะลู่เข้า และมีลิมิตอยู่ค่าเดียวคือ 0

สามกรณีที่ว่ามานี้เป็นผลสรุปจากการคำนวณสั้นๆ ไม่ใช่กฎที่ต้องจำ วิธีทำก็คือ ให้ดูว่า n กำลังสูงสุดเป็นเท่าไร (อาจจะอยู่ข้างบนหรือข้างล่างของเศษส่วนก็ได้) นำ n ยกกำลังสูงสุดนั้นไปหารทุกๆพจน์ ทั้งเศษและส่วน ถ้าพจน์ไหนตัดกันก็ตัดไปได้เลย (ไม่ต้องกลัวว่า n = 0 เพราะเป็นการพิจารณาลิมิตเมื่อ n มีค่ามากๆอยู่แล้ว) เราจะเหลือบางพจน์เป็นจำนวนเฉยๆ บางพจน์เป็นเศษส่วนซึ่งเป็นจำนวนหารด้วยตัวแปร n พจน์ไหนที่เหลือเป็นเศษส่วนที่มี n อยู่ข้างล่าง เราสรุปได้ไม่ยากว่าเมื่อ n มากขึ้นพจน์เหล่านั้นจะเข้าใกล้ 0 สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือพจน์ที่เป็นจำนวนเปล่าๆไม่ได้หารด้วยอะไร เมื่อนำจำนวนเหล่านั้นมาหารกันก็จะได้ลิมิตของทั้งลำดับ

About these ads

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 1,660 other followers

%d bloggers like this: